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高三数学一轮复习精析教案14《几何概型及随机模拟》


第 21 讲
一.【课标要求】

几何概型及随机模拟

1.了解随机数的意义,能运用模拟方法(包括计算器产生随机数来进行模拟)估计 概率,初步体会几何概型的意义; 2.通过阅读材料,了解人类认识随机现象的过程

二.【命题走向】
本讲内容在高考中所占比较轻,纵贯近几年的高考对概率要求降低,但本讲内容使新 加内容,考试涉及的可能性较大 预测 2010 年高考: (1)题目类型多以选择题、填空题形式出现,; (2)本建考试的重点内容几何概型的求值问题,我们要善于将实际问题转化为概率 模型处理。

三.【要点精讲】
1.随机数的概念 随机数是在一定范围内随机产生的数, 并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等 的。 2.随机数的产生方法 (1)利用函数计算器可以得到 0~1 之间的随机数; (2)在 Scilab 语言中,应用不同的函数可产生 0~1 或 a~b 之间的随机数。 3.几何概型的概念 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这 样的概率模型为几何概率模型; 4.几何概型的概率公式: P(A)=

构成事件A的区域长度(面积或体积) 。 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

5.几种常见的几何概型 (1)设线段 l 是线段 L 的一部分,向线段 L 上任投一点.若落在线段 l 上的点数与线段 L 的长度成正比,而与线段 l 在线段 l 上的相对位置无关,则点落在线段 l 上的概率为: P=l 的长度/L 的长度 (2)设平面区域 g 是平面区域 G 的一部分,向区域 G 上任投一点,若落在区域 g 上的 点数与区域 g 的面积成正比,而与区域 g 在区域 G 上的相对位置无关,则点落在区域 g 上概 率为: P=g 的面积/G 的面积 (3)设空间区域上 v 是空间区域 V 的一部分,向区域 V 上任投一点.若落在区域 v 上 的点数与区域 v 的体积成正比,而与区域 v 在区域 v 上的相对位置无关,则点落在区域 V 上 的概率为: P=v 的体积/V 的体积

四.【典例解析】
题型 1:线长问题

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例 1. (09 山东 11)在区间 ? ?1,1? 上随机取一个数 x , cos

?x
2

的值介于 0 到

1 之间的概率 2


为 A.



1 3

B.

2

?

C.

1 2

D.

2 3

【解析】在区间[-1,1]上随机取一个数 x,即 x ? [?1,1] 时,要使 cos

?x
2

的值介于 0 到

1 ? ?x ? ? ?x ? 2 2 之间,需使 ? ? ?? 或 ? ? ∴ ?1 ? x ? ? 或 ? x ? 1 ,区间长度为 2 2 2 3 3 2 2 3 3 2 1 2 ?x 1 ,由几何概型知 cos 的值介于 0 到 之间的概率为 3 ? .故选 A. 2 3 3 2 2
答案 A

例 2.(2009 辽宁卷文)ABCD 为长方形,AB=2,BC=1,O 为 AB 的中点,在长方形 ABCD 内随机取一点,取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为 ( A. )

?
4

B. 1 ?

?
4

C.

?
8

D. 1 ?

?
8
?
2

【解析】 长方形面积为 2,以 O 为圆心,1 为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为 因此取到的点到 O 的距离小于 1 的概率为 取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为 1 ? 答案 B

?
2

÷2=

?
4

?
4

例 3.假设车站每隔 10 分钟发一班车,随机到达车站,问等车时间不超过 3 分钟的 概率 ? 解:以两班车出发间隔 ( 0, 10 ) 区间作为样本空间 S, 乘 0← S → 度 客随机地到达,即在这个长 是 10 的区间里任何一个点 都 10 是等可能地发生,因此是几何概率问题。 要使得等车的时间不超过 3 分钟,即到达的时刻应该是图中 A 包含的样本点, p=

a的长度 3 = = 0.3 。 S的长度 10

题型 2:面积问题

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例 4.投镖游戏中的靶子由边长为 1 米的四方板构成,并 将此板分成四个边长为 1/2 米的小方块。实验是向板中投镖, 事件 A 表示投中阴影部分为成功,考虑事件 A 发生的概率。 分析与解答:类似于引例 1 的解释,完全可以把此引例中 的实验所对应的基本事件组与大的正方形区域联系在一起,既 事件组中的每一个基本事件与大正方形区域中的每一个点一一 对应,则事件 A 所包含的基本事件就与阴影正方形中的点一一 对应, 这样我们用阴影正方形的面积除以大正方形的面积表示事件 A 的概率是合理的。 这 一点我们完全可以用引例 1 的方法验证其正确性 解析:P(A)=(1/2)2/12=1/4。 例 5.(CB 对讲机问题)(CB 即 CitizenBand 市民波段的英文缩写)两个 CB 对讲机 持有者,莉莉和霍伊都为卡尔货运公司工作,他们的对讲机的接收范围为 25 公里,在下 午 3:0O 时莉莉正在基地正东距基地 30 公里以内的某处向基地行驶,而霍伊在下午 3:00 时正在基地正北距基地 40 公里以内的某地向基地行驶,试问在下午 3:0O 时他们能够通 过对讲机交谈的概率有多大? 解:设 x 和 y 分别代表莉莉和霍伊距某地的距离, 于是 0 ? x ? 30,0 ? y ? 40 则他俩所有可能的距离的数据构成有序点对 (x,y),这里 x, 都在它们各自的限制范围内, y 则所有 这样的有序数对构成的集合即为基本事件组对应的几 何区域,每一个几何区域中的点都代表莉莉和霍伊的 一个特定的位置,他们可以通过对讲机交谈的事件仅 当他们之间的距离不超过 25 公里时发生 (如右图) 因 此构成该事件的点由满足不等式

x 2 ? y 2 ? 25
的数对组成,此不等式等价于

x 2 ? y 2 ? 625
右图中的方形区域代表基本事件组,阴影 部分代表所求事件,方形区域的面积为 1200 平方米公里,而事件的面积为

625? ?1? 2 , ? ?? ?25? ? 4 ?4?
于是有 p ?

625? / 4 625? 2 ? ? ? 0.41 。 1200 4800 90

例 6. (意大利馅饼问题)山姆的意大利馅饼屋中设有一个投镖靶 该靶为正方形板. 边 长为 18 厘米,挂于前门附近的墙上,顾客花两角伍分的硬币便可投一镖并可有机会赢得 一种意大利馅饼中的一个,投镖靶中画有三个同心圆,圆心在靶的中心,当投镖击中半径 为 1 厘米的最内层圆域时.可得到一个大馅饼;当击中半径为 1 厘米到 2 厘米之间的环域
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时,可得到一个中馅饼;如果击中半径为 2 厘米到 3 厘米之间的环域时,可得到一个小馅 饼,如果击中靶上的其他部分,则得不到谄饼,我们假设每一个顾客都能投镖中靶,并假 设每个圆的周边线没有宽度,即每个投镖不会击中线上,试求一顾客将嬴得: (a)一张大馅饼, (b)一张中馅饼, (c)一张小馅饼, (d)没得到馅饼的概率 解析:我们实验的样本空间可由一个边长为 18 的正方形表示。右图表明 R 和子区域 r1、r2、r3 和 r,它们分别表示得大馅饼、中馅饼、小馅饼或没得到馅饼的事件

r1的面积 ? (1) 2 ? (a ) p (r1 ) ? ? ? ? 0.01 ; 2 R的面积 18 324 (b) p (r2 ) ?


r2的面积 ? (2) 2 ? ? (1) 2 3? ? ? ? 0.03 2 R的面积 324 18 r3的面积 ? (3) 2 ? ? (2) 2 5? ? ? ? 0.05 2 R的面积 324 18

(c) p (r3 ) ?


r4的面积 324 ? ? (3) 2 3? (d ) p (r4 ) ? ? ? ? 0.91 。 2 R的面积 324 18
题型 3:体积问题 例 7.(1)在 400 毫升自来水中有一个大肠杆菌,今从中随机取出 2 毫升水样放到显 微镜下观察,求发现大肠杆菌的概率。 解析:由于取水样的随机性,所求事件的概率等于水样的体积与总体积之比,即 2/400=0.005。 (2)如果在一个 5 万平方公里的海域里有表面积达 40 平方公里的大陆架贮藏着 石油,假如在这海领域里随意选定一点钻探,问钻到石油的概率是多少? 解析:由于选点的随机性,可以认为该海域中各点被选中的可能性是一样的,因而所求概率 自然认为等于贮油海域的面积与整个海域面积之比,即等于 40/50000=0.0008。

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x ? y ? z , x ? z ? y, y ? z ? x 区域中的概率; 这也就是落在图中由Δ ADC, ADB, BDC, Δ Δ
Δ AOC,Δ AOB,Δ BOC 所围成的区域 G 中的概率。由于 V (T ) ? 1,

1 1 1 V (G ) ? 13 ? 3 ? ? ? 13 ? , 3 2 2 1 ? p ? V (G ) / V (T ) ? 2
由此得,能与不能构成三角形两事件的概率一样大。 题型 4:随机模拟

例 9.随机地向半圆 0 ? y ? 2ax ? x 2 ( a 为正常数)内掷一点,点落在园内任何区 域的概率与区域的面积成正比,求原点与该点的连线与 x 轴的夹角小于 ? / 4 的概率. 解析:半圆域如图 y x 设 A ? ‘原点与该点连线与 x 轴夹角小于 ? / 4 ’ 由几何概率的定义

? /4
0
a

x

y 例 10.随机地取两个正数 x 和 y ,这两个数中的每一个都不超过 1,试求 x 与 y 之和 x 不超过 1,积不小于 0.09 的概率.

1 2 1 2 ?a ? a A的面积 1 1 2 P( A) ? ?4 ? ? 。 1 2 半园的面积 2 ? ?a 2

解析: 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1 ,不等式确定平面域 S 。

A ? ‘ x ? y ? 1, xy ? 0.09 ’则 A 发生的充要条件为 0 ? x ? y ? 1, 1 ? xy ? 0.09 不
y
1

等式确定了 S 的子域 A , 故:

y
S

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A

0 0

0 .9

y
1

y .1

y

0.9 A的面积 0.9 ? ? (1 ? x ? )dx 0.1 S的面积 x ? 0.4 ? 0.18ln 3 ? 0.2

P( A) ?

例 11. 曲线 y=-x2+1 与 x 轴、y 轴围成一个区域 A,直线 x=1、直线 y=1、x 轴围成一 个正方形,向正方形中随机地撒一把芝麻,利用计算机来模拟这个试验,并统计出落在区 域 A 内的芝麻数与落在正方形中的芝麻数 答案:如下表,由计算机产生两例 0~1 之间的随机数,它们分别表示随机点(x,y)的 坐标。如果一个点(x,y)满足 y≤-x2+1,就表示这个点落在区域 A 内,在下表中最后一列 相应地就填上 1,否则填 0。

x 0.598895 0.512284 0.496841 0.112796 0.359600 0.101260 ? 0.947386 0.117618 0.516465 0.596393 五. 【思维总结】

y 0.940794 0.118961 0.784417 0.690634 0.371441 0.650512 ? 0.902127 0.305673 0.222907 0.969695

计数 0 1 0 1 1 1 ? 0 1 1 0

1.几何概率是考研大纲上要求的基本内容,也是近年来新增考察内容之一; 2.有关几何概率的题目难度不大,但需要准确理解题意,利用图形分析问题。本讲 将着重介绍如何利用图形解决几何概率的相关问题; 3.学好几何概率对于解决后续均匀分布的问题有很大帮助。 4.关于几何概型: (1) 我们是就平面的情形给出几何概型的, 同样的方法显然也适用于直线或空间的情形, 只需将“面积”相应地改变为“长度”、“体积”; (2)几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验,如果一个随机试验有无限 多个等可能的基本结果,每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示,而所 有基本结果对应于一个区域Ω ,这时,与试验有关的问题即可利用几何概型来解决

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