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《二倍角的正弦、余弦、正切公式》课件6 - 副本


唐山市丰润区第二中学

二倍角的正弦、余弦、正切公式 教师:孟庆辉

两角和(差)的正弦、余弦、正切公式

C(? ?? ) : cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

24 ? 3 问题探究1 : 若第二象限角? 满足 sin ? ? ,则sin2? =____. 25

3 3 填空 : 若? , ? 为第二象限角, 且 sin ? ? ,cos ? ? ? , 5 5 4 4 ?1 则sin(? ? ? )=____; cos ? ? ? , sin ? ?
5
5

sin( ? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? S (? ? ? ) : sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? tan ? ? tan ? T(? ? ? ) : tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ?

?

?
? 2sin ? cos ?

5

?

利用S 、C 、T 尝试推导下公式: (? ? ?) (? ? ?) (? ? ?) sin 2? ? sin ? ? ? ? sin? cos? ? cos? sin? ? 2 sin ? cos ? 2 2 cos 2? ? cos ? ? ? ? ? cos ? ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? sin ? cos

?

?

二倍角公式:
S 2?

tan ? ? tan ? 2 tan ? tan 2? ? ? tan ?? ? ?? ? 2 1 ? tan ? tan ? 1 ? tan ?

C 2?

sin 2? ? 2sin ? cos ? cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ?

T2? tan 2? ?

2 tan ? k? ? ? ?? ? 且 ? ? k? ? ? k ? Z ? 2 2 4 1 ? tan ? 2

? ?R ? ?R

二倍角公式:
S 2?

2 tan ? k? ? ? ? ? ? 且 ? ? k? ? ? k ? Z ? 2 2 4 1 ? tan ? 2 3 3 问题探究2 : 若 cos sin ? ? ,则cos2? =__________。 5 5
T2? tan 2? ?

C 2?

sin 2? ? 2sin ? cos ? cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ?

? ?R ? ?R

? cos2 ? ? 1 ? sin2 ?
? cos ? ? sin ? ? 1 ? 2sin 2 ? ?
2 2

7 25

cos 2? ? 2cos ? ? 1
2

二倍角公式:
S 2?

C 2?

sin 2? ? 2sin ? cos ? cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ?

T2? tan 2? ?

C 2?

2 tan ? k? ? ? ? ? ? 且 ? ? k? ? ? k ? Z ? 2 2 4 1 ? tan ? 2 其它表示形式
2

? ?R ? ?R

5 ? ? 例1.已知 sin 2? ? , ? ? ( , ),求 sin 4?, cos 4? ,tan 4?的值。 13 4 2 ? ? ? 由 ? ? ? , 得 解: ? 2? ? ?
2 5 ? sin 2? ? , 13 4

cos 2? ? 1 ? 2 sin ?

cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 1

12 ? cos 2? ? ? 1 ? sin 2? ? ? 13
2

2

5 ? ? 例 1 已知 sin 2? ? , ? ? ( , ),求 sin 4?, cos 4? ,tan 4?的值。 13 4 2 ? ? ? 由 ? ? ? ,得 ? 2? ? ? 解:
2 2 12 5 2 由 sin 2? ? , 得 cos 2? ? ? 1 ? sin 2? ? ? 13 13 4

∴sin4 ? = 2sin2?cos2? = ?
119 cos4? = 1 ? 2sin 2? ? 169
2

120 169

sin 4? 120 169 120 ?(? )? ?? tan4? = 169 119 119 cos 4?

例 1 已知 sin 2? ?

变式 :

5 ? ? , ? ? ( , ),求 sin 4?, cos 4? ,tan 4?的值。 13 4 2

4 ? ? 已知 cos ? ? , ? ( , ? ),求 sin ? ,cos ?, tan ?的值。 2 5 2 2

?

解: ?

4 ? ? , ? sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 3 2 2 2 5 2 2 5 ? 24 ? ∴sin?=2sin cos = ? 2 25 2 7 2 ? ?1 ? ∴cos? = 2cos 2 25
? ? ? , cos

?

?

?

sin ? 24 ?? tan? = cos ? 7

例2.化简求值
(1)sin 75 cos 75 ?
0 0 2 0 2 0

1 1 0 0 .2 s in 7 5 c o s 7 5 ? 2 4
0

(2)cos 15 ? sin 15 ? c o s 3 0 tan15 (3) ? 2 0 1 ? tan 15
0

?

3 2

3 6

? 4? (4)cos ? sin ? 2 2
4

cos ?

例2.化简求值
(5)1 ? 2cos ? ? cos 2? ?
2

1 ? 2 co s 2 ? ? ( 2 co s 2 ? ? 1) ? 2

1 1 (6) ? ? 1 ? tan ? ? (1 ? tan ? ) 1 ? tan ? 1 ? tan ?

(1 ? tan ? )(1 ? tan ? )

2 tan ? ? 2 1 ? tan ?

? tan 2?

随堂练习 1.求下列各式的值
1 1 0 (1)sin15 cos15 ? sin 30 ? 2 4
0 0

(2)sin

2

?
8

? cos

2

?

2 ? ? cos ? ? 8 4 2
2 ?2 2

?

(3)2cos 2 22.50 ? 1 ? cos 450 ? 2 ?

tan 67.50 1 1 0 (4) tan 135 ? ? 2 0 ? 1 ? tan 67.5 2 2

(5)cos ? ? sin ? ? (cos ? ? sin ? )(cos ? ? sin ? )
4 4

2

2

2

2

? cos 2?
? (6)1 ? 2sin ? 2
2

cos?

巩固练习 2.(填空)

sin ? cos ? ?
tan ? ? 2 1 ? tan ?

1 sin 2? 2

sin 2? ? 2 cos ?

sin ?

1 ? cos 2? ? 2

cos ?
2

1 ? cos 2? ? 2

sin 2 ?

学习回顾小结
1、二倍角正弦、余弦、正切公式的推导、记忆
S 2?

C 2?
T2?

2、注意公式的等价变化和正反应用

2sin cos ? ? sin 2?

1 ? cos 2? cos ? ? 2
2

1 ? cos 2? sin ? ? 2
2

革命尚未成功,

同志仍须努力!


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