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《高等数学》(一)微积分 教学大纲


一、

《高等数学一》课程教学大纲 课程基本情况

开课单位:数学教研室 课程编码:CK0081201 适应专业:专科经济管理类各专业 修课方式:必修 总学时:108 学时 考核方式:考试 教 材: 《高等数学》(一)微积分 章学诚主编 武汉大学出版社 教学参考书: 《高等数学》 侯风波主编 高等教育出版社出版 《高等数学》 同济大学数学教研室编 《高等数学》 上海市高等工程专科学校教材编写组编写

二、

课程的性质、任务和目的

高等数学课是高等专科学校经济管理类各专业必修的一门重要的基础课。 通过本课程学 习,学生将较系统的获得大纲所列内容的基本知识,必需的基础理论和常用的运算方法,为 学生学习后继课和解决实际问题提供必不可少的数学基础知识及常用的数学方法。 通过教学要实现传授知识和发展能力两方面的教学目的,能力培养要贯穿教学全过程。 本课程关于能力方面的要求是:逐步培养学生具有比较熟练的基本运算能力、自学能力、综 合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力、 初步抽象概括问题的能力以及一定的逻辑推 理能力。教学中要认真探讨和贯彻“以应用为目的,以必需够用为度”的原则。教学重点要 放在“掌握概念,强化应用,培养技能”上。执行大纲时,要注意以下几点: 1.适当注意数学自身的系统性和逻辑性,课程内容应具有较大的覆盖面,不同专业在 保证必修内容的基础上,可以根据需要有所侧重和选择。 2.对难度较大的部分基础理论,不追求严格的论证和推导,只作简单说明。 3.对与实际应用联系较多的基础知识、基本方法和基本技能应重点加强。 4.注重基本运算的训练,不追求过分复杂的计算和变换。

三、

课程的主要内容与学时分配
1. 1. 函数概念、分段函数、复合函数、基本初等函数,简单实际问题函数关系 建立。 学时) (2 2. 2. 函数极限概念,无穷小、无穷大概念及其相互关系,无穷小比较。 学时) (2 3. 3. 极限存在准则,两个重要极限,极限运算法则。 学时) (2 4. 4. 函数连续概念,间断点分类,初等函数连续性,闭区间上连续函数性质。 (2 学时)

(一) 函数、极限与连续(8+2 学时)

(二) 一元函数微分学(16+4+2*学时)
1. 导数概念及其几何意义,变化率举例,可导与连续关系。 学时) (2 2. 导数运算法则和基本公式。 学时) (2 3. 高阶导数,隐函数和参数方程所确定函数的导数。 学时) (2 4. 微分概念,微分运算及微分在近似计算中的应用。 学时) (2 5. 罗尔定理与拉格朗日中值定理,洛比达法则,未定式 0 0 , ? ? 的极限。 学 (2 时) 5. 6. 函数极值的概念,函数单调性判别和函数极值求法,简单实际问题的最值 的求解,函数的凹凸性、拐点,简单函数图形的描绘。 学时) (6 *7.曲率和曲率半径的概念,曲率和曲率半径的求法。 学时) (2

(二) (三) 一元函数积分学(16+4 学时)
1. 1. 不定积分的概念与性质,不定积分基本公式。 学时) (2 2. 2. 不定积分的第一、第二换元积分法,分部积分法,积分表使用。 学时) (2 3. 3. 定积分概念,定积分性质。 学时) (2 4. 4. 原函数存在定理,微积分基本公式。 学时) (2 5. 5. 定积分的换元法、分部法、广义积分。 学时) (4 6. 6. 定积分的微元法,平面图形的面积,旋转体的体积,平面曲线弧长。 (2 学时)

7. 7. 变力做功,物体质量,液体压力等物理量的定积分表达式。 学时) (2

(三) (四) 常微分方程(8+2+2*学时)
1. 1. 常微分方程、方程的阶、解、通解、初始条件、特解等基本概念,可分离 变量的微分方程的解法。 学时) (2 2. 2 . 一 阶 线 性 微 分 方 程 的 解 法 。 * 特 殊 的 高 阶 微 分 方 程 (2 y ( n ) ? f ( x), y ?? ? f ( x, y ?) 及 y ?? ? f ( y, y ?) 的降阶法。 学时) 3. 3. 二阶线性微分方程解的结构,二阶常系数齐次线性微分方程的解法。 (2 学时) 4. 4. 自由项为多项式与指数函数、三角函数之积的二阶常系数非齐次线性微分 方程的解法。 学时) (2 5. 5. 微分方程在几何和物理方面的简单应用。 学时) (2

(五) 向量代数与空间解析几何(8+2 学时)
1.空间直角坐标系及向量的概念(向量、单位向量、向量模与方向余弦) 。向量的运算 (线性运算、数量积、向量积)两个向量平行与垂直条件。 学时) (2 2.平面方程(点法式、一般式)与直线方程(点向式、一般式)(2 学时) 。 3.常用二次曲面,以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程及其 图形。空间曲面关于坐标面的投影柱面及投影曲线。 学时) (4

(六)多元函数微分学(10+2?+2 学时)
1.多元函数概念,二元函数极限与连续的概念。 学时) (2 2.偏导数,全微分概念及其几何意义。 学时) (2 3.复合函数的求导法则,二阶偏导数的求法。 学时) (2 4.曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线。 学时) (2 5.多元函数极值概念,函数极值的求法,条件极值与拉格朗日乘数法。简单实际问题 的最值应用。 学时) (2 *6.方向导数与梯度概念及计算。 学时) (2

(七)多元函数积分学(6+2+4?学时)
1.二重积分的概念,二重积分的性质,二重积分的计算方法(直角坐标与极坐标)(2 。 学时) *2.三重积分的概念,三重积分的计算(直角坐标、柱坐标与球面坐标)(2 学时) 。 3.对坐标的曲线积分概念与性质,对坐标曲线积分的计算。格林公式,曲线积分与路 径无关的条件。 学时) (4 ?4.对坐标的曲面积分的概念与计算,高斯公式。 学时) (2

(八)无穷级数(8+2+4?学时)
1.无穷级数收敛、发散的概念,无穷级数性质。正项级数比较、比值审敛法。交错级 数审敛法,绝对收敛与条件收敛。 学时) (2 2.幂级数的概念,幂级数的收敛区间,幂级数的基本性质。 学时) (2 3.泰勒公式和函数展开成泰勒级数的充要条件。用 e , sin x, ln(1 ? x), (1 ? x) 的马克 劳林展开式将一些简单函数展开成幂级数。 学时) (2 4.幂级数的简单应用。 学时) (2 *5.傅立叶级数概念,将函数展开成傅立叶级数的充分条件,以 2? 为周期函数及定义 在 ?? ? , ? ? 和 ?- L, L? 上的函数展开成傅立叶级数,在 ?0, L ? 上将函数展开成正弦和余弦级 数。 学时) (4
x m

(九)数学软件包入门(2+4 学时)
数学软件包的初步认识,用数学软件包做高等数学,用数学软件做代数题。 学时) (2

四、课程教学基本要求及重点
1.函数、极限与连续教学基本要求
(1)理解函数的概念。 (2)了解分段函数。

(3)了解复合函数的概念。 (4)能熟练列出简单问题的函数关系式。 (5)了解函数极限的描述性定义。 (6)了解无穷小、无穷大的概念及其相互关系,会对无穷小进行比较。 (7)知道夹逼准则和单调有界数列极限存在准则,会用两个重要极限求极限。 (8)掌握极限四则运算法则。 (9)理解函数在一点连续的概念,会判断间断点的类型。 (10)知道初等函数的连续性,知道在闭区间上连续函数的性质(介值定理、最大值和 最小值定理。 ) (11)会求连续函数和分段函数的极限。 单元教学重点: 函数的概念,极限与无穷小的概念,利用两个重要极限求极限,利用极限四则运算法则 求极限,函数的连续性。

2.一元函数微分学教学基本要求
(1)理解导数和微分的概念,了解导数、微分的几何意义,知道函数可导、可微、连 续之间的关系,能用导数描述一些实际问题中的变化率。 (2)熟悉导数和微分的运算法则(包括微分形式不变性) ,导数的基本公式。了解高阶 导数的概念,熟练掌握初等函数一、二阶导数的求法,会求 e , sin x,1 (1 ? x) 的 n 阶导数。 (3)掌握隐函数和参数方程所确定的函数的一阶导数的求法,会求它们的二阶导数。 (4)了解罗尔定理和拉格朗日中值定理。 (5)理解函数的极值概念。掌握求函数的极值,判断函数的增减与函数图形的凹向, 以及求函数图形的拐点等方法, 能描绘简单的常用函数的图形 (包括水平渐近线和铅直渐近 线) 。掌握简单的最大值和最小值的应用题的求解。 (6)会用洛必达(L’Hospital)法则求未定型 0/0 与∞/∞的极限(其它未定型不作 要求) 。 *(7)知道曲率和曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径。 单元教学重点: 导数和微分的概念,导数的基本公式,导数和微分的运算法则,由方程所确定的隐函数 的导数。 拉格朗日(Lagrange)中值定理,洛必达(L’Hospital)法则,函数的单调性与极值, 简单的最大值和最小值的应用题的求解。
x

3.一元函数积分学教学基本要求
(1)理解不定积分和定积分的概念及其性质。 (2)熟悉不定积分的基本公式,熟练掌握不定积分的第一类换元法和分部积分法,掌 握第二类换元法(限于三角置换,根式置换) ,会查积分表。 (3) 知道变上限的定积分是变上限的函数, 知道有关求导定理。 熟练掌握牛顿 (Newton) —莱布尼兹(Leibniz)公式。 (4)了解广义定积分的概念,会计算一些简单的广义积分。 (5)掌握定积分的微元法,并能用于求某些几何量和物理量。 单元教学重点: 不定积分和定积分的概念,不定积分和定积分的换元法及分部积分法,牛顿(Newton) —莱布尼兹(Leibniz)公式,定积分的微元法及在某些几何量和物理量方面的应用。

4.常微分方程教学基本要求
(1)了解微分方程、方程的阶、解、通解、初始条件、特解等概念。 (2) 熟练掌握可分离变量微分方程及一阶线性微分方程的解法, 会解简单的齐次方程。 (3)知道特殊的高阶微分方程 y ? f ( x), y ?? ? f ( x, y ?) 及 y ?? ? f ( y, y ?) 的降阶法。 (4)知道二阶线性微分方程解的结构。 (5)熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。
(n)

(6)掌握自由项为 Pm ( x)e (A sin ?x ? B cos?x) 的二阶常系数非齐次线性微分方程
x

的解法。 (7)会用微分方程知识解决一些简单的实际问题。 单元教学重点: 微分方程的基本概念,可分离变量微分方程及一阶线性微分方程的解法,二阶常系数 齐次线性微分方程及简单的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。

5.向量代数与空间解析几何教学基本要求
(1)理解空间直角坐标系。 (2)理解向量的概念。 (3)掌握向量的坐标表示及运算(线性运算、点乘及叉乘)会求两个向量的夹角,知 道向量的方向余弦,知道两个向量平行与垂直的充要条件。 (4)了解平面方程、直线方程的概念,会求简单的平面方程,直线方程。 (5)了解曲面方程的概念。知道常用二次曲面的方程其图形,知道以坐标轴为旋转轴 的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程及其图形。 (6)知道空间曲线的参数方程和一般方程,会求简单空间曲线在坐标平面上投影。 单元教学重点: 向量的概念,向量的坐标表示及运算,两个向量平行与垂直的充要条件。简单的平面 方程与直线方程的确定,常用二次曲面的方程及其图形。

6.多元函数微分学教学基本要求
(1)理解多元函数的概念。 (2)知道二元函数的极限、连续性等概念,及有界闭域上连续函数的性质。 (3)了解偏导数、全微分的概念。 (4)掌握复合函数的求导法则。会求二阶偏导数(抽象函数的二阶偏导数不作要求) 。 (5)会求隐函数的偏导数。 (6)会求曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线。 *(7)了解方向导数和梯度的概念。 (8)了解多元函数极值的概念,会求函数的极值。了解条件极值的概念,会用拉格朗 日乘数法求条件极值。会解一些简单的最大值和最小值的应用问题。 单元教学重点: 多元函数的概念,偏导数、全微分的概念,复合函数求导法则,曲面的切平面与法线, 多元函数极值及一些简单的最大值和最小值的应用。

7.多元函数积分学教学基本要求
(1)理解二重积分的概念,知道二重积分的性质。 (2)掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标) 。 (3)会用二重积分解决简单的应用题(体积、质量、曲面面积、重心、转动惯量) 。 *(4)了解三重积分的概念,会求三重积分的概念,会求三重积分(直角坐标、柱面 坐标、球面坐标) 。 (5)了解对坐标的曲线积分的概念,知道它的性质,掌握它的计算方法。 (6)知道格林公式。会运用曲线积分与路径无关的条件。 * (7)知道对坐标的曲面积分的概念,会求对坐标的曲面积分。 单元教学重点: 二重积分的概念,二重积分的计算方法(直角坐标,极坐标) ,对坐标的曲线积分的概 念及计算方法,格林(Green)公式及曲线积分与路径无关的条件。

8.无穷级数教学基本要求
(1)理解无穷级数的收敛,发散及级数和的概念。了解无穷级数收敛的必要条件,知 道无穷级数的基本性质。 (2)了解几何级数和 P 级数的收敛性。 (3)会用正项级数的比较审敛法,掌握正项级数的比值审敛法。 (4)掌握交错级数的莱布尼兹审敛法。 (5)知道无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念,及绝对收敛与收敛的关系。 (6)会求幂级数的收敛半径。

(7)知道幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。 (8)知道泰勒(Taylor)公式和函数展开成泰勒级数的充要条件 ( 不证),能利用

e x , sin x, ln(1 ? x), (1 ? x) m 的马克劳林(Maclaurin)展开式把一些简单的函数展开成幂级
数。

?- L, L? 上的函数展开成傅里叶级数,能将定义在[0,L]上的函数展开成正弦或余弦级数, 知道傅里叶级数的复数形式。 单元教学重点: 无穷级数的收敛、发散及级数和的概念,正项级数的比较审敛法及比值审敛法。求幂级
数的收敛半径,利用 e , sin x, ln(1 ? x), (1 ? x) 的马克劳林(Maclaurin)展开式把一些简单 的函数展开成幂级数。
x m

*(9)知道函数展开成傅里叶级数的充分条件,并能以 2? 为周期及定义在 ?? ? , ? ?和

9.数学软件包入门
了解数学软件包的主要功能,会用数学软件包进行代数运算,微分运算和积分运算, 会用数学软件包做代数题。 注:基本要求分为三个级别: 概念﹑理论: “理解” ﹑“了解”﹑“知道” 运算方法: “熟练掌握” ﹑“掌握” ﹑“能” ﹑“熟悉”相当于“理解”或“熟练 掌握” 。

五、课程时数分配表

课 时 分 配 表
序 课题名称 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 函数、极限与连续 一元函数微分学 一元函数积分学 常微分方程 向量与空间解析几何 多元函数微分学 多元函数积分学 无穷级数 数学软件包入门 理论课 8 16 16 8 8 10 6 8 2 习题课 2 4 4 2 2 2 2 2 4 上机 共 计 10 20 20 10 10 12 8 10 6 课 时 分 配

机动 总课时 82 20 4

2 108

注:表中内容不包括带?号内容,如选带?号内容,课时另计。

六、大纲说明与教法建议
1. 1. 制订本大纲的基本依据是国家教委 1997 年下达的《高等专科学校高等数学课 程教学基本要求》 ,在制订过程中参考了本校历年,特别是 1998 年制订的《高等数 学教学大纲》 。 2. 2. 在本课程的教学中,要从高等工程专科教育的培养目标出发,正确处理好“以 应用为目的”和“以必需、够用为度”的关系,全面实现高等数学课程作为重要基 础课的教学基本要求。同时,要注意与相关课程的配合与衔接。 3. 3. 本课程的教学以掌握概念、强化应用、培养技能为教学重点。在教学的各个环 节中,要充分注意引导学生通过对各种实际问题建立数学模型、求解及分析,掌握 数学概念、方法的应用,逐步培养综合应用所学知识解决实际问题的能力。要结合 教学内容特点培养学生独立学习习惯。要充分重视习题课的安排和课外作业的选 择。要使学生有足够的复习和练习时间,及时地、正确地独立完成足够数量的课外 作业。 4. 4. 要不段探索适合高等工程专科教育特点和要求的教学方式,注意现代化教学手 段的应用,发挥教与学两个方面的积极性和教师的主导作用,切实提高教学质量和 教学效率,在规定的学时范围内,结合专业特点,保证总体大纲的贯彻执行。 5. 5. 本大纲所列各专业必修内容实际总学时不低于 108 学时,其中讲课与习题课比 例约为 5:1,上机实验 4 学时。课内、课外学时比例需达到 1:1.2—1.5,以保证 复习时间并完成总量不低于 400 题的课外作业。


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