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自相关函数1

自相关函数 自相关函数,信号处理、时间序列分析中常用的数学工具,反映了同一序 列在不同时刻的取值之间的相关程度。 目录 [隐藏] 1 定义 1.1 统计学 1.2 信号处理 2 自相关函数的性质 3 自相关函数举例 4 参考文献 定义[编辑] 自相关函数在不同的领域,定义不完全等效。在某些领域,自相关函数等 同于自协方差。 统计学[编辑] 将一个有序的随机变量系列与其自身相比较,这就是自相关函数在统计学 中的定义。每个不存在相位差的系列,都与其自身相似,即在此情况下,自相 关函数值最大。如果系列中的组成部分相互之间存在相关性(不再是随机 的),则由以下相关值方程所计算的值不再为零,这样的组成部分为自相关。
b5E2RGbCAP

......... 期望值。 ........ 在 t(i)时的随机变量值。 ........ 在 t(i)时的预期值。 .... 在 t(i+k)时的随机变量值。 .... 在 t(i+k)时的预期值。 ......... 为方差。 所得的自相关值 R 的取值范围为[-1,1],1 为最大正相关值,-1 则为最大负 相关值,0 为不相关。 信号处理[编辑] 在信息分析中,通常将自相关函数称之为自协方差方程。 用来描述信息在 不同时间 的,信息函数值的相关性。 ,其中“ ”是卷积算符, 为取共轭。 自相关函数的性质[编辑] 以下以一维自相关函数为例说明其性质,多维的情况可方便地从一维情况 推广得到。

对称性:从定义显然可以看出 R(i) 数

=

R(?i)。连续型自相关函数为偶函

当 f 为实函数时,有: 当 f 是复函数时,该自相关函数是厄米函数,满足: 其中星号表示共轭。 连续型实自相关函数的峰值在原点取得,即对于任何延时 τ ,均有 。该结论可直接有柯西-施瓦茨不等式得到。离散型自相关函数亦有此结 论。 周期函数的自相关函数是具有与原函数相同周期的函数。 两个相互无关的函数(即对于所有 τ ,两函数的互相关均为 0)之和的自 相关函数等于各自自相关函数之和。 由于自相关函数是一种特殊的互相关函数,所以它具有后者的所有性质。 连续时间白噪声信号的自相关函数是一个 δ 函数,在除 τ = 0 之外的 所有点均为 0。 维纳-辛钦定理(Wiener–Khinchin theorem)表明,自相关函数和功率谱 密度函数是一对傅里叶变换对:p1EanqFDPw 实值、对称的自相关函数具有实对称的变换函数,因此此时维纳-辛钦定理 中的复指数项可以写成如下的余弦形式:DXDiTa9E3d 自相关函数举例[编辑] 白噪声的自相关函数为 δ 函数: 参考文献[编辑]


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