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【步步高】(全国通用)2016版高考数学大二轮总复习 增分策略 第四篇 第1讲 集合与常用逻辑用语课件_图文

第四篇

回归教材,纠错例析,帮你减少高考失分点

1.集合与常用逻辑用语

栏目索引

要点回扣 易错警示

查缺补漏

要点回扣 1. 集合的元素具有确定性、无序性和互异性,在解决有关 集合的问题时,尤其要注意元素的互异性.
问题 1 已知集合 A={1,3, m},B={1,m},A∪B=A, 则 m 等于( B ) A.0 或 3 C.1 或 3 B.0 或 3 D.1 或 3

2.描述法表示集合时,一定要理解好集合的含义 ——抓住 集合的代表元素 . 如: {x|y = f(x)}—— 函数的定义域; {y|y = f(x)}—— 函数的值域; {(x , y)|y = f(x)}—— 函数图象上 的点集.

问题 2

集合 A = {x|x + y = 1} , B = {(x , y)|x - y = 1} ,则

A∩B=________. ?

3.遇到A∩B=?时,你是否注意到“极端”情况:A=?或B =?;同样在应用条件A∪B=B?A∩B=A?A?B时,不要 忽略A=?的情况. 问题3 设集合A={x|x2-5x+6=0},集合B={x|mx-1=
1 1 {0,2,3} 0},若A∩B=B,则实数m组成的集合是_____________.

4.对于含有n个元素的有限集合M,其子集、真子集、非空 子集、非空真子集的个数依次为2n,2n-1,2n-1,2n-2. 7 问题4 满足{1,2}?M?{1,2,3,4,5}的集合M有________ 个.

5. 注重数形结合在集合问题中的应用,列举法常借助 Venn
图解题,描述法常借助数轴来运算,求解时要特别注意端 点值.
问题 5 已知全集 I=R,集合 A={x|y= 1-x},集合 B= {x|0≤x≤2},则(?IA)∪B 等于( C )

A.[1,+∞) B.(1,+∞) C.[0,+∞) D.(0,+∞)

6.“ 否命题 ” 是对原命题 “ 若 p ,则 q” 既否定其条件,又 否定其结论;而“命题p的否定”即:非p,只是否定命题p 的结论. 问题6 已知实数a、b,若|a|+|b|=0,则a=b.该命题的否 a、b,若|a|+ 命题和命题的否定分别是否命题:已知实数 _____________________________ |b|≠0,则a≠b; _______________ 命题的否定:已知实数a、b,若|a|+|b|=0,则a≠b _________________________________________________.

7.要弄清先后顺序:“A的充分不必要条件是B”是指B能推 出A,且A不能推出B;而“A是B的充分不必要条件”则是 指A能推出B,且B不能推出A. 问题7 设集合M={1,2},N={a2},则“a=1”是“N?M” 充分不必要 条件. 的___________

8.要注意全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是

全称命题.如对“a,b都是偶数”的否定应该是 “a,b不
都是偶数”,而不应该是“a,b都是奇数”.求参数范围

时,常与补集思想联合应用,即体现了正难则反思想.

问题8 若存在a∈[1,3],使得不等式ax2+(a-2)x-2>0成 ?2 ? ? (-∞,-1)∪?3,+∞? ? ? ? 立,则实数x的取值范围是_____________________.
解析 不等式即(x2+x)a-2x-2>0,

设f(a)=(x2+x)a-2x-2.
研究“任意a∈[1,3],恒有f(a)≤0”. ?f?1?≤0, ? 2? ? 则? 解得 x∈?-1,3? ?. ? ? ?f?3?≤0,
则实数 x

?2 ? ? 的取值范围是(-∞,-1)∪?3,+∞? ?. ? ?

易错警示 易错点1 忽视空集致误 例1 设集合A={x|x2+4x=0,x∈R},B={x|x2+2(a+1)x +a2-1=0,a∈R,x∈R},若B?A,求实数a的取值范围. 错因分析 集合 B 为方程 x2 + 2(a + 1)x + a2 - 1 = 0 的实数根

所构成的集合,由B?A,可知集合B中的元素都在集合A中,
在解题中容易忽视方程无解,即B=?的情况,导致漏解.

解 因为A={0,-4},所以B?A分以下三种情况:
①当B=A时,B={0,-4}, 由此知0和-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两个根, 由根与系数的关系,得
?Δ=4?a+1?2-4?a2-1?>0, ? ?-2?a+1?=-4, ? 2 ?a -1=0,

解得 a=1;

②当?≠B?A时,B={0}或B={-4},

并且Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,
解得a=-1,此时B={0}满足题意;

③当B=?时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,
解得a<-1. 综上所述,所求实数a的取值范围是a≤-1或a=1.

易错点2 忽视区间端点取舍
例2 记 f(x)= x+3 2- 的定义域为 A,g(x)=lg[ (x-a-1) x+1

(2a-x)] (a<1)的定义域为 B.若 B?A,求实数 a 的取值范围.

错因分析

在求解含参数的集合间的包含关系时,忽视

对区间端点的检验,导致参数范围扩大或缩小.



x+3 x-1 ∵2- ≥0,∴ ≥0. x+1 x+1

∴x<-1或x≥1,即A=(-∞,-1)∪[1,+∞).
由(x-a-1)(2a-x)>0,得(x-a-1)(x-2a)<0.

∵a<1,∴a+1>2a,∴B=(2a,a+1).
∵B?A,∴2a≥1或a+1≤-1,
1 即 a≥2或 a≤-2,而 a<1,

1 ∴2≤a<1 或 a≤-2.
故当 B?A 时,实数 a 的取值范围是 1 (-∞,-2]∪[2,1).

易错点3 混淆充分条件和必要条件 例3 若p:a∈R,|a|<1,q:关于x的二次方程x2+(a+1)x +a-2=0的一个根大于零,另一个根小于零,但不满足p,

则p是q的(

)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件
C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

错因分析

解答本题易出现的错误是颠倒了充分条件和

必要条件,把充分条件当成必要条件而致误. 解析 p:a∈R,|a|<1?-1<a<1?a-2<0,

可知满足q的方程有两根,且两根异号,
所以p是q的充分条件,但p不是q的必要条件,

如当a=1时,q中方程的一个根大于零,另一个根小于零,
但不满足p.

本题也可以把命题q中所有满足条件的a值求出来,再进行
分析判断,

实际上一元二次方程两根异号的充要条件是两根之积小于0,
对于本题就是a-2<0,即a<2,故选A. 答案 A

易错点4 “或”“且”“非”理解不清 例4 已知命题p:关于x的方程x2-ax+4=0有实根;命题q: 关于x的函数y=2x2+ax+4在[3,+∞)上是增函数.若p或q 是真命题,p且q是假命题,则实数a的取值范围是( A.(-12,-4)∪[4,+∞)B.[-12,-4]∪[4,+∞) C.(-∞,-12)∪(-4,4)D.[12,+∞) )

错因分析
断错误.

当p或q为真命题时,p,q之间的真假关系判

解析 命题p等价于Δ=a2-16≥0,解得a≤-4或a≥4;
a 命题 q 等价于-4≤3,解得 a≥-12.

因为p或q是真命题,p且q是假命题,则命题p和q一真一假.
当p真q假时,a<-12;

当p假q真时,-4<a<4,故选C.
答案 C

查缺补漏 实数a为( A.-1 C.-1或2 ) B.2 D.1或-1或2

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1. 已知集合 A= {1,3, a} ,B= {1 ,a2- a+ 1},若 B?A,则

解析 因为B?A,所以a2-a+1=3或a2-a+1=a. 若a2-a+1=3,即a2-a-2=0,解得a=-1或a=2. 当a=-1时,A={1,3,-1},B={1,3},满足题意;

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当a=2时,A={1,3,2},B={1,3},满足题意. 若a2-a+1=a,即a2-2a+1=0,解得a=1, 此时集合A中有重复元素1,舍去. 由以上,可知a=-1或a=2.故选C.

答案 C

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x 2.设全集 U=R,A={x| <0},B={x|2x<2},则图中阴 x-2 影部分表示的集合为( )

A.{x|x≥1}

B.{x|1≤x<2}

C.{x|0<x≤1} D.{x|x≤1}

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解析 A={x|0<x<2},B={x|x<1},
由题图可知阴影部分表示的集合为(?UB)∩A={x|1≤x<2}.

答案 B

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3. 已知集合 A= {x|x<a} ,B ={x|1<x<2},且A∪(?RB) =R , 则实数a的取值范围是( C ) A.a≤1 B.a<1 C.a≥2 D.a>2 解析 ∵B={x|1<x<2},∴?RB={x|x≤1,或x≥2}, 又∵A={x|x<a},且A∪(?RB)=R, 利用数轴易知应有a≥2,故选C.

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4.(2015· 天津)设x∈R,则“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”
的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

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解析 由|x-2|<1得,1<x<3,
由x2+x-2>0,得x<-2或x>1, 而1<x<3?x<-2或x>1, 而x<-2或x>1 1<x<3, 所以,“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的充分而不必要条 件,选A. 答案 A

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x-4 5.已知集合 A={x∈R| ≤0},B={x∈R|(x-2a)(x-a2- x+1 1)<0},若 A∩B=?,则实数 a 的取值范围是( )

A.(2,+∞) B.[2,+∞)
C.{1}∪[2,+∞) D.(1,+∞)
x-4 解析 由 ≤0,得 A={x∈R|-1<x≤4}, x+1

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B={x∈R|(x-2a)(x-a2-1)<0}={x∈R|2a<x<a2+1}.

若B≠?,则在数轴上可以看出2a≥4,所以a≥2;
若B=?,只能a=1,综上选C.

答案 C

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6.已知p:关于x的函数y=x2-3ax+4在[1,+∞)上是增函
数,q: y= (2a -1)x为减函数,若p且q为真命题,则a 的取
1 2 C.2<a≤3 ? ?1 ? 2? ? ? ? 解析 p?a∈?-∞,3?,q?a∈?2,1? ?, ? ? ? ? ?1 2? ? , ∴a∈? ?2 3?. ? ?

值范围是( C ) 2 1 A.a≤3 B.0<a<2

1 D.2<a<1

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7.已知集合A={-1,m},B={x|x>1},若A∩B≠?,则

,+∞) 实数m的取值范围是(1 ________. 解析 因为A∩B≠?且-1?B,所以必有m∈B,
所以m>1.

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y+2 8.设全集 U={(x,y)|x,y∈R},集合 M={(x,y)| =1}, x-2 N={(x,y)|y≠x-4},那么(?UM)∩(?UN)=______.

解析 由题意,知M={(x,y)|y=x-4(x≠2)}, M表示直线y=x-4上的点集, 但是除掉点 (2 ,-2) , ? UM表示直线 y =x - 4 外的点集,且 包含点(2,-2);

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N表示直线y=x-4外的点集, ?UN表示直线y=x-4上的点集, 所以(?UM)∩(?UN)={(2,-2)}. 答案 {(2,-2)}

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9.已知条件p:x2+2x-3>0,条件q:x>a,且綈p是綈q的充 [1,+∞) 分不必要条件,则a的取值范围为__________. 解析 由x2+2x-3>0可得x>1或x<-3,
“綈p是綈q的充分不必要条件”等价于“q是p的充分不必 要条件”, 故a≥1.

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10.给出如下四个结论: ①若“p∨q”为真命题,则p,q均为真命题; ②“ 若 a > b , 则 2a > 2b - 1” 的 否 命 题 为 “ 若 a≤b , 则 2a≤2b-1”;
③“?x∈R,x2+x≥1”的否定是“?x0∈R,x2 0+x0≤1”;
1 ④“x>0”是“x+x ≥2”的充要条件.

其中正确的是________.

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解析

①若 “p∨q” 为真命题,则p,q不一定都是真命题,

所以①不正确; ②“ 若 a > b ,则 2a > 2b - 1” 否命题为 “ 若 a≤b ,则 2a≤2b -1”,所以②正确;
③“?x∈R,x2+x≥1”的否定是“?x0∈R,x2 0+x0<1”, 所以③不正确; 1 ④“x>0”是“x+x ≥2”的充要条件,所以④正确.

答案 ②④