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浙江省瑞安中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题

瑞安中学 2015 学年第二学期高二期中考试 数学试题
本试题卷分选择题和非选 择题两部分.全卷共 4 页,选择题部分 1 至 2 页,非选择题部 分 2 至 4 页。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 参考公式: 柱体的体积公式: V ? Sh

其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高

1 锥体的体积公式: V ? Sh 其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高 3 台体的体积公式:V ? 1 h( S1 ? S1S 2 ? S2 ) 其中 S1、S2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示 3

台体的高 球的表面积公式: S ? 4? R 2 球的体积公式: V ? 4 ?R 3
3

其中 R 表示球的半径

选择题部分(共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求。 1.设集合 A ? {x | ?2 ? x ? 3} , B ? {x | x ? 1 ? 0} ,则集合 A ? B 等于 ( ▲ )

{x | ?2 ? x ? ?1} (A)

{x | ?2 ? x ? ?1} ( C){x | ?1 ? x ? 3} (D){x |1 ? x ? 3} (B)
( ▲ )
2

2.下列函数中,其图象既是轴对称图形又在区间 (0, ??) 上单调递增的是 (A) y ?

1 x

(B) y ? lg | x ? 1|

(C) y ? 2

x

(D) y ? ? x ? 1 ( ▲ )

3.已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,那么该三棱锥的体积等于

3

3

3 正(主)视图 1 3 俯视图

1 侧(左)视图

1

(A)

3 3 cm 2

(B) 2 cm

3

(C) 3 cm

3

(D) 9 cm

3

4. 已知 a , b 为实数,则“ a ? b ? 2 ”是“ a ? 1 且 b ? 1 ”的 (A)充分不必要条件 (C)充要条件 5.下列命题中错误 的是 .. (B)必要不 充分条件 (D)既不充分也不必要条件

( ▲ )

( ▲ )

(A)如果平面 ? ? 平面 ? ,过 ? 内任意一点作交线的垂线,那么此垂线必垂直于 ? (B) 如果平面 ? ? 平面 ? ,那么平面 ? 内一定存在直线平行于平面 ? (C)如果平面 ? 不垂直于平面 ? ,那么平面 ? 内一定不存在直线垂直于平面 ? (D)如果平面 ? ? 平面 ? ,平面 ? ? 平面 ? , ? ? ? ? l ,那么 l ? ? 6. 为了得到函数 y ? cos( 2 x ?

?
3

) 的图象,只需将函数 y ? sin 2 x 的图象
5? 个单位 12 5? (D)向左平移 个单位 12
(B)向右平移

( ▲ )

5? 个单位 6 5? (C)向左平移 个单位 6
(A)向右平移 7.已知双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1 ? a ? 0, b ? 0 ? 与圆 x 2 ? y 2 ? c 2 (c ? a 2 ? b 2 ) 交于 A、B、C、 2 a b
( ▲ ) (D)

D 四点,若四边形 ABCD 是正方形,则双曲线的离心率是 (A) 1 ? 2 (B) 2 ? 2 2 (C) 2 ? 2

1? 2 2
( ▲ )

2 8.设 a ? 0 , (3x ? a)(2 x ? b) ? 0 在 x ? (a, b) 上恒成立,则 b ? a 的最大值为

(A)

1 3

(B)

1 2

(C)

3 3

(D)

2 2

非选择题部分(共 110 分) 二、填空题:本大题共 7 小题,单空题 4 分,多空题每空 3 分,共 36 分。

1 π 9.设函数 f ( x) ? sin(2x ? ) ,则该函数的最小正周期为 2 3



,值域为

▲ ▲

. ,若直

10.动直线 l : (3? ? 1) x ? (1 ? ? ) y ? 6 ? 6? ? 0 过定点 P ,则点 P 的坐标为 线 l 与 x 轴的正半轴有公共点,则 ? 的取值范围是 ▲
2 2

. ▲ ,

11.已知过点(1,1)的直线 l 与圆 C:x +y -4y+2=0 相切,则圆 C 的半径为 直线 l 的方程为 ▲ .

12.在 ?ABC 中, AC ? 4 , M 为 AC 的中点, BM ? 3,则 BC ? BA ?

??? ? ??? ?





2

13. 已知 x ? 0,y ? 0 , x ? 2 y ? 1 ,则

y 1 ? 的最小值为 x y





14. “ 斐 波 那契 数 列 ”是数 学 史 上 一 个著 名 数 列, 在 斐 波 那 契数 列 {an } 中 , a1 ? 1 ,
a2 ? 1 [:] an ? 2 ? an ?1 ? an (n ? N ? ) 则 a8 ?



;若 a2018 ? m 2 ? 1 ,则数列 {an } 的前

2016 项和是



. (用 m 表示) .

15.已知函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? 2 , g ( x) ? f ( f ( x)) ,若 f ( x) 与 g ( x) 有相同的值域,则实数

b 的取值范围是





三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本题满分 15 分)如图所示,在平面四边形 ABCD 中, ?D = 2?B ,且 AD ? 1 ,

CD ? 3 , cos B ?

3 . 3

A D

(I)求△ ACD 的面积; (II)若 BC ? 2 3 ,求 AB 的长.
B C

17.(本题 满分 15 分)已知数列 {an } 是公差不为零的等差数列, a1 ? 1 ,且 a2 , a4 , a8 成等 比数列. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设数列 {bn } 满足: a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ? ? anbn ? 2
n ?1

, n ? N ,令 cn ?

?

bn ?1 , 2n ?1

n ? N ? ,求数列 {cn cn ?1} 的前 n 项和 Sn .

3

18.(本题满分 15 分)如图,已知平面 QBC 与直线 PA 均垂直于 Rt ?ABC 所在平面,且

PA ? AB ? AC .
(Ⅰ)求证: PA ∥平面 QBC ; (Ⅱ)若 PQ ? 平面QBC ,求二面角 Q ? PB ? A 的余弦值.

Q

P

C B
(第 18 题图)

A

19. (本题满分 15 分)已知抛物线 C: y 2 ? 2 px( p ? 0) ,其焦点为 F ?1,0 ? ,过 F 作斜率为 k 的直线交抛物线 C 于 A 、 B 两点,交其准线于 P 点. (Ⅰ)求 p 的值; (Ⅱ)设 PA ? PB ? ? PA ? PB ? PF ,若 k ? [ ,1] ,求实数 ? 的取值范围.

1 4

(第 19 题图)

20. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x ?1 .
2 2 (Ⅰ)对于任意的 1 ? x ? 2 ,不等式 4m f ( x) ? 4 f (m) ? f ( x ?1) 恒成立,求实数 m 的取

值范围; (Ⅱ)若对任意实数 x1 ?[1, 2] ,存在实数 x2 ?[1, 2] ,使得 f ( x1 ) ?| 2 f ( x2 ) ? ax2 | 成立,求 实数 a 的取值范围.

4

5

瑞安中学 2015 学年第二学期高二期中考试 数学答案 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。 1.C 2.B 3.A 4.B 5.A 6.D 7 .C 8.A

二、填空题:本大题共 7 小题,9-12 题:每小题 6 分,13-15 题:每小题 4 分,共 36 分。 9. π , [ ? 12. 5

1 1 , ] 2 2
13. 4

10. (0, ?6) , ? ? 1 或 ? ? ? 14. 21 ; m
2

1 3

11. 2 , x ? y ? 0

15. b ? 4 或 b ? ?2

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分。 16. 解: (Ⅰ) cos D ? cos 2 B ? 2 cos B ? 1 ? ?
2

1 3

???????(2 分)

因为 ?D ? ? 0, ? ? ,所以 sin D ? 所以△ACD 的面积 S ? (Ⅱ)在△ACD 中,

2 2 ,??????????(4 分) 3

1 ? AD ? CD ? sin D ? 2 .??????(7 分) 2

AC2 ? AD2 ? DC2 ? 2 AD ? DC ? cos D ? 12 ,所以 AC ? 2 3 ??(11 分)
所以,在△ABC 中, AB ? 2 BC cos B ? 2 ? 2 3 ?

3 ?4 3

??? (15 分)

17.解: (I)设等差数列 {an } 的公差为 d ,因为 a1 ? 1 ,且 a2 , a4 , a8 成等比数列. 所以 a4 ? a2 ? a8 ,即 (a1 ? 3d ) ? ( a1 ? d )(a1 ? 7 d ) ,
2 2

解得 d ? 0 (舍)或 d ? 1 ?????????????????????5 分 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? a1 ? (n ? 1)d ? n ,即 an ? n . ????7 分 (II)由 a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ? ? anbn ? 2
n ?1 n



a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ? ? an ?1bn ?1 ? 2 ( n ? 2 )
两式相减得 an bn ? 2 则 cn ?
n ?1

? 2n ? 2n ,即 bn ?

2n (n ? 2 ) ,??????10 分 n

bn ?1 b ?2 1 1 ? ? , cn ?1 ? n , n ?1 n?2 2 n ?1 2 n?2 1 1 1 所以 cn cn ?1 ? ,???????????? 13 分 ? ? (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2 1 1 1 1 1 1 1 1 n 则 Sn ? ? ? ? ? ? ? . ??15 分 ? ? ? ? 2 3 3 4 n ? 1 n ? 2 2 n ? 2 2( n ? 2)
18.方法一: (Ⅰ)证明:过点 Q 作 QD ? BC 于点 D , ∵平面 QBC ⊥平面 ABC 又∵ PA ⊥平面 ABC
1

∴ QD ? 平面 ABC

∴ QD ∥ PA

又∵ QD ? 平面 QBC ???6 分 又∵ PB ? PC , PQ ? PQ

∴ PA ∥平面 QBC (Ⅱ)解:∵ PQ ? 平面 QBC ∴ ?PQB ? ?PQC ? 90? ∴ ?PQB ? ?PQC ∴ AD ? 平面 QBC

∴ BQ ? CQ ∴ PQ ∥ AD , AD ? QD

∴点 D 是 BC 的中点,连结 AD ,则 AD ? BC ∴四边形 PADQ 是矩形 设 PA ? 2a ,∴ PQ ? AD ? 过 Q 作 QR ? PB 于点 R , ∴ QR ?

2a , PB ? 2 2a

∴ BQ ?

6a

2a ? 6a 6 PQ 2 2a 2 2 ? a , PR ? ? ? a 2 PB 2 2a 2 2 2a 取 PB 中点 M ,连结 AM ,取 PA 的中点 N ,连结 RN 1 1 1 ∵ PR ? PB ? PM , PN ? PA ∴ MA ∥ RN 4 2 2 ∵ PA ? AB ∴ AM ? PB ∴ RN ? PB ∴ ?QRN 为二面角 Q ? PB ? A 的平面角
连结 QN ,则 QN ? QP 2 ? PN 2 ?

2a 2 ? a 2 ? 3a

又∵ RN ?

2 a 2

3 2 1 2 a ? a ? 3a 2 QR 2 ? RN 2 ? QN 2 2 3 2 ? ?? ∴ cos ?QRN ? 2QR ? RN 3 6 2 2? a? a 2 2 3 即二面角 Q ? PB ? A 的余弦值为 ? ???15 分 3
方法二: (I)证明:同方法一 (Ⅱ)解:∵ PQ ? 平面 QBC ,∴ ?PQB ? ?PQC ? 90 ,又∵ PB ? PC , PQ ? PQ
?

∴ ?PQB ? ?PQC ∴ AD ? 平面 QBC

∴ BQ ? CQ ,∴点 D 是 BC 的中点,连结 AD ,则 AD ? BC ∴ PQ ∥ AD , AD ? QD ,∴四边形 PADQ 是矩形

分别以 AC , AB, AP 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系 O ? xyz 设 PA ? 2a ,则 Q (a, a, 2a ) , B (0, 2a, 0) , P (0, 0, 2a ) , 设平面 QPB 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ∵ PQ ? (a, a, 0) , PB ? (0, 2a, ?2a )

?

??? ?

??? ?

? ? ax ? ay ? 0 ? n ? (1, ?1, ?1) ?2ay ? 2az ? 0 ?? 又∵平面 PAB 的法向量为 m ? (1, 0, 0) ??12 分 设二面角 Q ? PB ? A 为 ? ,则 ?? ? ?? ? m?n 3 | cos ? |?| cos ? m, n ?|? ?? ? ? 3 | m |?| n |
∴? 又∵二面角 Q ? PB ? A 是钝角

2

∴ cos ? ? ?

3 3

即二面角 Q ? PB ? A 的余弦值为 ? 19.解: (Ⅰ)因为焦点 F ?1,0 ? ,所以

3 . 3

???15 分 ??? ???4 分

p ? 1 ,解得 p ? 2 . 2

(Ⅱ)由题可知:直线 AB 的方程为 y ? k ? x ? 1?? k ? 0 ? ,准线的方程为 x ? ?1 ?6 分 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则

PA ? 1 ? k 2 ? x1 ? 1?, PB ? 1 ? k 2 ? x2 ? 1?, PF ? 2 1 ? k 2 .

??????8 分

? ? y ? k ? x ? 1? 由? 2 消去 y 得 k 2 x 2 ? 2k 2 ? 4 x ? k 2 ? 0 , ? ? y ? 4x

?

?

故 x1 ? x2 ?

2k 2 ? 4 ,x1 x2 ? 1 . k2

??????10 分

由 PA ? PB ? ? PA ? PB ? PF 得 解得 ? ?

? x1 ? 1? ? ? x2 ? 1? ? 2? ?1 ? k 2 ? ? ? x1 ? 1? ? ? x2 ? 1?
?15 分

1 1 8 1 .(13 分), 因为 k ? [ ,1] ,所以 ? ? [ , ] . 2 4 4 17 2 ?1 ? k ?

20.解:(Ⅰ) 由 4m2 f ( x) ? 4 f (m) ? f ( x ?1) 对任意的 1 ? x ? 2 恒成立
2 2 2 2 得 4m ( x ?1) ? 4(m ?1) ? ( x ?1) ?1 对任意的 1 ? x ? 2 恒成立 2 2 整理得 (4m ?1) x ? 2x ? 4 ? 0 对任意的 1 ? x ? 2 恒成立

即有 m ?
2

x2 ? 2 x ? 4 对任意的 1 ? x ? 2 恒成立 4 x2
2

???3 分

x2 ? 2 x ? 4 1 1 1 ? 1 1 ? 1 又 ? ? ? 2 ?? ? ? ? 2 4x 4 2 x x ? x 4 ? 16
由 1 ? x ? 2 ,则 ?

? x2 ? 2 x ? 4 ? 1 ? ? 2 4x ? ?min 4
???6 分

2 故m ?

1 ? 1 1? ,则实数 m 的取值范围为 ? ? , ? 4 ? 2 2?

(Ⅱ) y ? f ( x1 )(1 ? x1 ? 2) 的值域为 D1 ? [0,3] , ???7 分 令 g ( x) ?| 2 f ( x) ? ax | 即 g ( x) ?| 2 x ? ax ? 2 |
2

3

原问题等价于当 x ? [1, 2] 时, g ( x) 的值域为 [0, t ] ,其中 t ? 3 .???9 分 也等价于 g ( x) ? 0 在 [1, 2] 上有解且 g ( x) ? 3 或 ?3 在 [1, 2] 上有解.

1 x 3 5 若 g ( x) ? 3 在 [1, 2] 上有解,即 a ? 2 x ? 在 [1, 2] 上有解,从而 ?3 ? a ? ; 2 x
若 g ( x) ? 0 在 [1, 2] 上有解,即 a ? 2( x ? ) 在 [1, 2] 上有解,从而 0 ? a ? 3 ;

2 x2 ? 1 9 若 g ( x) ? ?3 在 [1, 2] 上有解,即 a ? 在 [1, 2] 上有解,从而 3 ? a ? ; 2 x
综上,所求 a 的取值范围为 0 ? a ?

3 或 a ? 3. 2

???14 分

法二: y ? f ( x1 )(1 ? x1 ? 2) 的值域为 D1 ? [0,3] ,???7 分 令 g ( x) ?| 2 f ( x) ? ax | 即 g ( x) ?| 2 x2 ? ax ? 2 | 原问题等价于当 x ? [1, 2] 时, g ( x) 的值域为 [0, t ] ,其中 t ? 3 . ???9 分 令 h( x) ? 2 x2 ? ax ? 2,(1 ? x ? 2) (1)当

a ? 1 时,即 a ? 4 时, h(1) ? h( x) ? h(2) 4

所以 h(1)h(2) ? 0 且 h(1) ? ?3 或 h(2) ? 3 即0 ? a ? 3且a ? 3 或a ? 所以 0 ? a ? (2)当

3 2
??????11 分

3 或 a ? 3. 2

a ? 2 时,即 a ? 8 时, h(1)h(2) ? 0 ,无解;??????12 分 4 a (3)当 1 ? ? 2 ,即 4 ? a ? 8 时, 4
因为 h(1) ? ?a ? 0 ,所以 h(2) ? 6 ? 2a ? 0 ,从而 a ? 3 无解. ???13 分 综上,所求 a 的取值范围为 0 ? a ?

3 或 a ? 3. 2

???14 分

4


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