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高一数学(人教A版)必修3课件:几何概型 2


成才之路· 数学人教A版 ·必修3

第三章
3.3.1 几何概型

温故知新 1.下列试验中是古典概型的有( A.种下一粒大豆观察它是否发芽 B.从规格直径为(250± 0.6) mm的一批合格产品中任意抽 一根,测量其直径d C.抛一枚硬币,观察其出现正面或反面的情况 D.某人射击中靶或不中靶
[答案] C

)

2.从甲、乙、丙、三人中任选两名代表,甲被选中的 概率为( 1 A. 2 ) 1 B. 3 2 C. 3 D.1

[答案] C

[解析]

用列举法求基本事件的总数为3,甲被选中的基

2 本事件个数为2,即P=3.

3.掷一枚均匀的硬币两次,事件M:一次正面向上,一 次反面向上;事件N:至少一次正面向上,则下列结果正确 的是( )

1 1 A.P(M)= ,P(N)= 3 2 1 1 B.P(M)=2,P(N)=2 1 3 C.P(M)= ,P(N)= 3 4 1 3 D.P(M)=2,P(N)=4

[答案]

D

[解析]

基本事件为(正,正),(正,反),(反,正),(反,

1 3 反).∴P(M)= ,P(N)= . 2 4

4.打开Excel软件,选定A1格,键入“=RANDBE- TWEEN________”,按Enter键,则在此格中的数是从整数a 到整数b的取整数值的随机数.
[答案] (a,b)

5.抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1,2,3,4的 x 正四面体,其底面落于桌面,记所得的数字分别为x,y,则 y 为整数的概率是________.

1 [答案] 2

[解析]

所有结果共有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),

(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2), x (4,3),(4,4)共16种.能使 为整数的有(1,1),(2,1),(2,2), y (3,1),(3,3),(4,1),(4,2),(4,4)8种, x 8 1 ∴ 为整数的概率为 = . y 16 2

新课引入

数学与我们的生活密切相关,我们最好能将学到的数学 知识用到生活中,更加可贵的是,同学们能主动发现生活中 的问题,然后再考虑用什么数学知识来解决,遇到没学过的 知识还能积极探索!

现举一例:我们每天都与公交车打交道!每个人都可能 会有这种想法,刚到车站,公交车就来了,不用等待,这是 多么好的事情.那么,不用等待的概率是多少呢?这是一个 概率问题,但是用古典概型无法解决.本节,我们共同研究 几何概型就可以解决这个问题.

自主预习 阅读教材P135-136,回答下列问题: 1.几何概型 (1)定义: 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 (面积或体积)成 比例 ,则称这样的概率模型为几何概率模 型,简称为几何模型.

[归纳总结] 几何概型的两个特点,一是无限性,即在 一次试验中,基本事件的个数可以是无限的;二是等可能 性,即每一个基本事件发生的可能性是均等的.

(2)计算公式. 在几何概型中,事件A的概率的计算公式是:
构成事件A的区域长度?或面积或体积? P(A)= 试验的全部结果构成的区域长度?或面积或体积? .

[破疑点]

几何概型的概率计算公式中的“长度”并不

是实际意义上的长度,它的意义取决于试验的全部结果构成 的区域,当区域分别是线段、平面图形和几何体时,相应的 “长度”分别是线段的长度、平面图形的面积和几何体的体 积.

一个红绿灯路口,红灯亮的时间为30秒,黄灯亮的时间 为5秒,绿灯亮的时间为45秒.当你到达路口时,恰好看到 黄灯亮的概率是( 1 A.12
[答案] C

) 1 C.16 5 D.6

3 B.8

[解析]

设看到黄灯亮为事件A,构成事件A的“长度”

等于5,试验的全部结果所构成的区域长度是30+5+45= 5 1 80,所以P(A)= = . 80 16

2.均匀分布 当X为区间[a,b]上的任意实数,并且是 等可能 的,我们 称X服从[a,b]上的均匀分布,X为[a,b]上的均匀 随机数 .

X服从[3,40]上的均匀分布,则X的值不能等于( A.15 C.35
[答案] D [解析] 由于X∈[3,40],则3≤X≤40,则X≠45.

)

B.25 D.45

3.几何概型与古典概型的异同 概率 类型 不同点 相同点 每个基本事件出 现的可能性一 样,即满足等可 能性

几何 试验中所有可能出现的结 概型 果(基本事件)有无限多个 古典 试验中的所有可能出现的 概型 结果只有有限个

下列概率模型中,是几何概型的有(

)

①从区间[-10,10]内任取出一个数,求取到1的概率; ②从区间[-10,10]内任取出一个数,求取到绝对值不大 于1的数的概率; ③从区间[-10,10]内任取出一个数,求取到大于1而小于 2的数的概率;

④向一个边长为4 cm的正方形ABCD内投一点P,求点P 离中心不超过1 cm的概率. A.1个 C.3个
[答案] C

B.2个 D.4个

[分析]

判断一个概率模型是否为几何模型,关键是看

它是否具备几何概型的两个特点. [解析] ①中的概率模型不是几何概型,因为虽然区间

[-10,10]有无限多个点,但取到1只是1个数字不能构成区 域;②中的概率模型是几何模型;③中的概率模型是几何概 型;④中的概率模型是几何概型.

与长度有关的几何概型问题
学法指导 与长度有关的几何概型问题综述: (1)如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表 示,则其概率的计算公式为: 构成事件A的区域长度 P(A)= . 试验的全部结果所构成的区域长度

(2)将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机 地取一点,该区域中每一点被取到的机会都一样,而一个随 机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域 中的点,这样的概率模型就可以用几何概型来求解.

(3)几何概型的计算步骤: ①判断是否为几何概型; ②确定并计算基本事件空间; ③计算事件A所含基本事件对应的区域的几何度量; ④代入公式计算.

(4)在求解与长度有关的几何概型时,首先找到几何区域 D,这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段,然后找 到事件A发生对应的区域d,在找d的过程中,确定边界点是问 题的关键,但边界点是否取到却不影响事件A的概率. [特别提醒] 解几何概型问题时,常常需要寻找不等关 系.要找不等关系,先找等量关系,再借助图形分析寻找不 等关系.

取一根长度为3 m的绳子,拉直后在任意位置剪 断,那么剪得两段的长度都不小于1 m的概率是多少? [分析] 从每一个位置上剪断绳子,都是一个基本事件,

剪断位置可以是长度为3 m的绳子上的任意一点,基本事件有 无穷多个,而且每一个基本事件的发生是等可能的,因此事 件发生的概率只与剪断位置所处的绳子的长度有关,符合几 何概型的条件.

[解析]

记事件A={剪得两段绳子都不小于1 m}.如图,

把绳子三等分,于是,当剪断位置处在中间一段时,事件A发 1 生,由于中间一段的长度为3×3=1(m), 1 所以事件A发生的概率为P(A)=3.

规纳总结:求解几何概型的概率关键是将所有基本事件 及事件A包含的基本事件转化为相应测度,进而求解.

某汽车站每隔15分钟就有一辆汽车到达,乘客到达车站 的时刻是任意的,求一位乘客到达车站后等车时间大于10分 钟的概率.

[分析]

把时刻抽象为点,时间就抽象为线段,故可用

几何概型求解.

[解析]

设上辆车于时刻T1到达,而下一辆车于时刻T2到

达,线段T1T2的长度为15,设T是线段T1T2上的点,且T1T= 5,T2T=10.如图所示.

记等车时间大于10分钟为事件A,则当乘客到达车站的 时刻t落在线段T1T上时,事件A发生,区域T1T2的长度为15, T1T的长度 5 1 区域T1T的长度为5.所以P(A)= = = . T1T2的长度 15 3 1 答:乘客等车时间大于10分钟的概率是3.

规纳总结:本题把时间用一条线段表示,使问题变得 直观,本题也可以用区间表示,即公式的分母为区间(0,15], 分子为区间(0,5).

与面积有关的几何概型问题
学法指导 与面积有关的几何概型问题解法: (1)如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积 表示,则其概率的计算公式为: 构成事件A的区域面积 P(A)= . 试验的全部结果所构成的区域面积

(2)解几何概型问题的关键点: ①根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题. ②找出或构造出随机事件对应的几何图形,利用图形的 几何特征计算相关面积,套用公式从而求得随机事件的概 率.

已知-2≤x≤2,-2≤y≤2,点P的坐标为(x, y). (1)求当x,y∈R时,P满足(x-2)2+(y-2)2≤4的概率; (2)求当x,y∈Z时,P满足(x-2)2+(y-2)2≤4的概率. [分析] 本题第(1)问为几何概型,可采用数形结合的思想

画出图形,然后利用几何概型的概率公式求解,第(2)问为古 典概型只需分别求出-2≤x≤2,-2≤y≤2内的点的个数以及 (x-2)2+(y-2)2≤4的点的个数即可.

[解析]

(1)如图,点P所在的区域为正方形ABCD的内部

(含边界),满足(x-2)2+(y-2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆 心,2为半径的圆面(含边界). 1 2 π × 2 4 π ∴所求的概率P1= = . 4×4 16

(2)满足x,y∈Z,且-2≤x≤2,-2≤y≤2的点(x,y)有 25个,满足x,y∈Z,且(x-2)2+(y-2)2≤4的点(x,y)有6 个. 6 ∴所求的概率P2=25.

如图在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板,上面画 了小、中、大三个同心圆,半径分别为2cm,4cm, 6cm,某人站在3m远向此板投镖.设投镖击中线上或没有击 中木板时都不算,可重投,问:

(1)投中大圆内的概率是多少? (2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少? (3)投中大圆之外的概率是多少?

[解析]

投中正方形木板上每一点(投中线上或没投中不

算)都是一个基本事件,这一点可以是正方形木板上任意一 点,因而基本事件有无限多个,且每个基本事件发生的可能 性都相等.所以,投中某一部分的概率只与这部分的几何度 量(面积)有关,这符合几何概型的条件.

设事件A=“投中大圆内”;B=“投中小圆与中圆形成 的圆环”,C=“投中大圆之外”. μΩ=S正方形=162=256(cm2) μA=S大圆=π×62=36π(cm2) μB=S中圆-S小圆=π×42-π×22=12π(cm2) μC=S正方形-S大圆=256-36π(cm2). 由几何概率公式得:

μA 36π 9π (1)P(A)= = = , μΩ 256 64 μB 12π 3π (2)P(B)=μ =256=64, Ω μC 256-36π 9π (3)P(C)= = =1- . μΩ 256 64

与体积有关的几何概型问题
学法指导 体积型几何概型问题解法探秘: 1.如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度 量,我们要结合问题的背景,选择好观察角度,准确找出基 本事件所占的体积及事件A占的体积.其概率的计算公式 为: 构成事件A的体积 P(A)= . 试验的全部结果构成的体积

2.解决此类问题一定要注意几何概型的条件,并且要特 别注意所求的概率是与体积有关还是与长度有关,不要将二 者混淆. 有一杯2升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯 从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个细菌的概率.

[分析]

细菌在这2升水中的分布可以看作是随机的,所

以基本事件的个数是无限且等可能的,故该问题为几何概型 问题.又取得0.1升水可作为事件的区域,所以该问题是与体 积有关的几何概型问题.

[解析]

记“小杯水中含有这个细菌”为事件A,则事件A

的概率只与取出的水的体积有关,符合几何概型的条件. ∵小瓶中有0.1升水,原瓶中有2升水, 0.1 ∴,是几何概型求概率的公式得P(A)= 2 =0.05.

正方体ABCD-A1B1C1D1,棱长为a,在正方体内随机取 点M. (1)求M落在三棱柱ABC-A1B1C1内的概率; (2)求M落在三棱锥B-A1B1C1内的概率; a (3)求M到面ABCD的距离大于3的概率;

a (4)求M到面ABCD及面A1B1C1D1的距离都大于3的概率. [分析] 求解. 求出各几何体的体积,利用几何概型的概率公式

[解析]

V正方体=a3,

1 2 1 3 1 (1)∵V三棱柱= a · a= a ,∴所求概率P1= . 2 2 2 1 1 1 2 1 3 (2)∵V三棱锥= 3 · S△A1BB1· B1C1= 3 · a= 6 a ,∴所求概率P2 2a · 1 = . 6 a a a a- a- - 3 2 3 3 1 (3)P3= = .(4)P4= = . a 3 a 3

在等腰Rt△ABC中,过直角顶点C在∠ACB内部 任作一条射线CM,与线段AB交于点M,求|AM|<|AC|的概率. [错解] 在AB上取点C′,使AC′=AC.在∠ACB内作射

线CM看作在线段AC′上任取一点M,过C、M作射线CM,则 AC′ AC 2 概率为 AB =AB = 2 .

[错因分析] 虽然在线段AC′上任取一点M是等可能的, 但过点C和任取的点所作的射线是不均匀的,因而不能把等可 能取点看作等可能作射线,尽管点与射线是一一对应的,因 此在确定基本事件时,一定要注意选择好观察角度,注意判 断基本事件发生的等可能性.

[正解]

在∠ACB内的射线CM是均匀分布的,所以射线

CM在任何位置都是等可能的.在AB上取AC′=AC,则∠ 67.5 ACC′=67.5° ,故满足条件的概率为 =0.75. 90

[点评]

如图在角AOB内任意作射线,则射线落在∠BOR

CM DR BN 内的概率是一定的,但 , , 的值是变化的. AC AD BE

1.在区间(10,20)内的所有实数中,随机取一个实数a, 则这个实数a<13的概率是( 1 A.3 3 C.10
[答案] C

) 1 B.7 7 D.10

[解析]

要使实数a<13,则要a∈(10,13),∴实数a<13

13-10 3 的概率为P= = . 20-10 10

2.(2012~2013济南市高一数学月考)在长为10 cm的线段 AB上任取一点P,并以线段AP为边作正方形,这个正方形的 面积介于25 cm2与49 cm2之间的概率为( 3 A. 10 2 C. 5
[答案] B

)

1 B. 5 4 D. 5

[解析]

在线段AB上任取一点P,事件“正方形的面积介

于25 cm2与49 cm2之间”等价于事件“5<|AP|<7”,则所求 7-5 1 概率为 10 =5.

3.取一根长度为5

m的绳子,拉直后在任意位置剪断, )

那么剪得的两段长度都不小于2 m的概率是( 1 A.2 1 C.3
[答案] B

1 B.5 D.不能确定

[解析]

如图,当剪断位置处在线段BC上时,事件M=

“剪得的两段长度都不小于2 m”发生. 5-4 1 ∴P(M)= 5 =5.

4.(2012~2013· 吉林油田一中3月月考)在腰长为2的等腰 直角三角形内任取一点,使得该点到此三角形的直角顶点的 距离不大于1的概率为( π A. 16 π C. 4
[答案] B

)

π B. 8 π D. 2

[解析]

如图,在等腰直角三角形的直角边OA、OB上分

别取中点C、D,则OC=1、OD=1,则事件“点到此三角形 S扇形COD 的直角顶点的距离不大于1”的概率为:P= = SRt△AOB 1 ×2×2 2 π =8. 1 π 4

5.在500 mL的水中有一个草履虫,现从中随机取出2 mL 水样放到显微镜下观察,则发现草履虫的概率为( A.0 C.0.004
[答案] C
[解析] 0.004. 2 取体积做测度,则由几何概型公式得:P= 500 =

)

B.0.002 D.1

6.一只蚂蚁在三边边长分别为3,4,5的三角形的边上爬 行,某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概 率为________.

1 [答案] 2

[解析]

如图所示,△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,

则△ABC的周长为3+4+5=12.设某时刻该蚂蚁距离三角 形的三个顶点的距离均超过1为事件A,则P(A)= DE+FG+MN 3+2+1 1 = 12 =2. BC+CA+AB

7.判断下列试验中事件A发生的概率是古典概型,还是 几何概型. (1)抛掷两颗骰子,求出现两个“4点”的概率. (2)图中有一个转盘.甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指 针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.求甲获胜的概率是多 少?

[分析]

古典概型具有有限性和等可能性,而几何概型则

是在试验中出现无限多个结果,且与事件的区域的几何度量 有关.

[解析]

(1)抛掷两颗骰子,出现的可能结果有6×6=36

种,且它们都是等可能的,因此属于古典概型; (2)游戏中指针指向B区域时有无限多个结果,而且不难发 现“指针落在阴影部分”也是有无限多个结果,且无论哪一 种结果都是等可能的,与转盘面积和阴影部分面积大小有 关,因此属于几何概型.

8.在一个大型商场的门口,有一种游戏是向一个画满边 长为5 cm的均匀方格的大桌子上掷直径为2 cm的硬币,如果 硬币完全落入某个方格中,则掷硬币者赢得一瓶洗发水,请 问随机掷一个硬币正好完全落入方格的概率有多大? [分析] 因为硬币能否完全落入某个方格中,关键看硬币

的中心落在方格中的哪个位置,若要使硬币完全落入方格 中,则其中心必须距方格的边界至少有一个硬币半径的长度 (即1 cm),因此,要使硬币完全落在方格内,硬币的中心必须 落在以正方形的中心为中心,以5-1-1=3(cm)为边长的小正 方形表示的区域内。

[解析]

如下图,边长为5 cm的正方形形成的区域表示试

验的所有基本事件构成的区域,当硬币的中心落入图中以3 cm为边长的正方形区域时,则试验成功,所以,随机地投一 32 9 个硬币正好完全落入方格的概率为P=52=25.


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