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周周练(3)排列组合概率统计立几

卢湾高级中学 08~09 学年高三数学试卷(3)
班级 学号 姓名 得分 命题老师:曹贻平

一. 填空题 1.某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品,产品数量之比依次为 2 : 3 : 5 ,现用分层抽样方法抽 出一个容量为 n 的样本,样本中 A 种型号产品有 16 件.那么此样本的容量 n= 2.如果(x+ x )n 的展开式中所有奇数项和等于 512, 则展开式中的中间项为 3.正三棱锥侧面都是直角三角形,底面边长为 2a,则顶点到底面的距离等于 4.某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单, 开演前又增加了两个新节目. 如果将这两个新节 目插入原节目单中, 那么不同插法的种数为 5. an 是(1+ x )n 展开式中含 x 的项的系数, 则 lim (
n??

2

1 1 1 )= ? ??? a 2 a3 an
3, 且a ? AB, a ? AC, 则向量a 的

6.已知 A(0,2,3) ,B(-2,1,6) ,C(1,-1,5) ,若 | a |? 坐标为 .

7. 正方体 AC1 中,DD1 与平面 AD1C 所成角等于 8. 已知三棱锥 O—ABC 中,OA、OB、OC 两两垂直,OC=1,OA+OB=4,则三棱锥 O—ABC 体积 的最大值是 9. (理)一台 X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为 0.8000,有四台这种型号的自动机床 各自独立工作,则在一小时内至多 2 台机床需要工人照看的概率是

?2 x ? 3 y ? 0 ? (文) 已知 ? x ? y ? 0 ,则 z ? 3x ? y 的最小值为___________ ? y?0 ?
10.定义符号

? xt ? x1 ? x2 ? ? ? xn ,现有一组数据的样本方差为: s 2 ?
t ?1

n

1 256

?a
i ?1

256

2 i

? 256 ,则

该组数据的平均数 x ? 11. 四面体的顶点和各棱中点共 10 个点, 在其中取 4 个不共面的点, 则不同的取法共有 二. 选择题 12.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有 150 个、120 个、180 个、150 个销售点.公司为了调查 产品销售的情况,需从这 600 个销售点中抽取一个容量为 100 的样本,记这项调查为①: 在丙地区 中有 20 个特大型销焦点,要从中抽取 7 个调查其销售收入和售后服务情况,记这项调查为②, 则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是 ( ) A. 分层抽样,系统抽样法 B .分层抽样法,随机抽样法 C. 系统抽样法,分层抽样法 D. 随机抽样法,分层抽样法 13.棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是 ( ) A、有一侧棱垂直于底面 B、有一侧棱垂直于底面的两条边 C、有一个侧面是矩形,且与底面垂直 D、有一个侧面与底面一条边垂直
1

14.正方体的八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点,则正方体的表面积与正四面体的表面积 之比为 ( ) A、 2 B、 3 C、

6 2

D、

2 3 3

15.从数字1,2,3,4,5中,随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数,其各位数字 之和等于9的概率为 ( ) A、 三.解答题 16. 解关于 n 的不等式:

13 125

B、

16 125

C、

18 125

D、

19 125

1 1 2 ? 4 ? n ?5 3 Cn Cn Cn

17、 (理) 从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛,设随机变量 ? 表示所选 3 人中女生的人数. (1)求 ? 的分布列; (2)求 ? 的数学期望; (3)求“所选 3 人中女生人数 ? ? 1 ”的概率. (文) 在 100 件产品中有 90 件一等品,10 件二等品,从中随机取出 4 件产品. (1)求恰含 1 件二等品的概率; (2)求至少含 1 件二等品的概率.(结果精确到 0.01)

2

18. (理) :据气象预报,现在在气象台 A 处向东 350 千米 B 处的海面上有一个台风中心形成,测得 台风以 40 千米/小时的速度向西北方向移动,距中心不超过 300 千米的地方都受到台风影响, 从现在起,多少时间后气象台受到台风影响?气象台受到台风影响的时间大约是几小时?(结 果精确到 0.1 小时) (文) :制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损,某投资人 打算投资甲、乙两个项目.根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 100%和 50%,可能 的最大亏损分别为 30%和 10%.投资人计划投资金额不超过 10 万元,要求确保可能的资金亏损 不超过 1.8 万元.问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?

19. 已知正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,侧面是正方形,E、F 分别是棱 CC1、A1B1 中点, (1) 、求证:C1F∥平面 A1BE (2) 、若 AB=a,求 C1F 和平面 A1BE 间的距离。

3

20. (理)已知正四棱锥 S—ABCD 中,所有棱长都相等,如图所示 (1)求二面角 B—SC—D 的大小; (2)若 P 为 SA 的中点,点 M 在 BD 上,且 DM ? 3MB ,求证: DP ? 平面 PAM ; (3)如果点 Q 在棱 SC 上,那么直线 BQ 与 PD 能否垂直? 请说明理由

4

(文)空间四边形 ABCD 中,AB=BC=CD=DA=6,对角线 AC=BD=8, E 为 BD 的中点。 (1)求证: BD ? 平面 AEC (2)求点 A 到平面 BCD 的距离 (3)求异面直线 AB 与 CD 所成角

5

21. 规定 C x =

x( x ? 1) ?( x ? m ? 1) 0 m ,其中 x ?R , m 是正整数,且 C x =1,这是组合数 C n ( n 、 m! m 是正整数,且 m ≤ n )的一种推广.
m 5 m n?m m m ?1 m

(1)求 C ?15 的值; (2)组合数的两个性质:① C n = C n
m

;② C n + C n

= C n ?1 .

是否都能推广到 C x ( x ?R , m 是正整数)的情况?若能推广,则写出推广的形式并给出证 明;若不能,则说明理由; (3)已知组合数 C n 是正整数,证明:当 x ?Z , m 是正整数时, C x ? Z .
m
m

6

答案: 1. 80;2. 252x 9. (理)
15 2 ;3.

6 3 2 ;8. ; a ;4. 42;5. 2;6. (1,1,1)or(?1,?1,?1) ;7. arcsin 3 3 3

608 ;(文)0;10. 16;11. 141;12. B;13. B;14. B;15. D 625

5 5 Cn Cn 2 16. 解: 3 ? 4 ? 2 ? n ? 11n ? 12 ? 0 ? 5 ? n ? 12, n ? Z Cn Cn

17. 解:(理):(1) P(? ? 0) ? (文):(1) P ( A) ?

1 3 1 4 , P(? ? 1) ? , P(? ? 2) ? ;(2) E? ? 1 ;(3) 5 5 5 5

3 1 4 C90 ? C10 1424 C90 ? ;(2) P( A) ? 1 ? 4 ? 0.35 4 4753 C100 C100

18. 解:(理):设 n 小时后气象台受到台风影响,台风中心坐标 ( x, y ) ,则

? x ? 350 ? 20 2n ? (350 ? 20 2n) 2 ? (20 2 ) 2 ? 300 2 ? 16 n 2 ? 140 2n ? 325 ? 0 ? ? y ? 20 2n
, ?1.948 ? n ? 10.4 2 6 ? n ? 8.5 答:2.0 小时后气象台受到台风影响,总影响时间为 8.5 小时。 (文): 19. (1)证:略;(2) h ?

2 a 4

20. 解:(理)(1) ? ? arccos ;(2)证略;(3)不能 (文)(1)证略;(2) AE ? 2 5 , cos? ? ? (3) ? ? arccos 21. 解:

1 3

3 4 8 5 ? sin ? ? ? S ?AEC ? 8 ? h ? ; 5 5 5

7 9

(?15)( ?16)( ?17 )( ?18)( ?19) ? ?11628 5! 1 (2)性质①不能推广。例如取 x= 2 ; C 2 有意义,但 C
(1) C ?15 ?
5

2 ?1 无意义;性质②能推广,它的推广形 2

式是 Cx ? Cx
m

m ?1

m m m ?1 1 ? Cx ?1 ,x ? R ,m 是正整数, 事实上, m = 1 时, Cx ? Cx ? x ? 1 ? Cx ?1 当 当 有

m ? 2 时,
7

m m Cx ? Cx ?1 ?

x( x ? 1)( x ? 2) ??? ( x ? m ? 1) x( x ? 1)( x ? 2) ??? ( x ? m ? 2) ? m! (m ? 1)!

=

x( x ? 1)( x ? 2) ??? ( x ? m ? 2) x ? m ? 1 x( x ? 1) ??? ( x ? m ? 2)( x ? 1) m ( ? 1) ? ? Cx ?1 (m ? 1)! m m! m m (3)当 x ? m 时,组合数 C x ∈Z 。当 0 ? x ? m 时, C x = 0∈Z 。 当 x ? 0 时,? ? x ? m ? 1 ? 0, x( x ? 1) ??? ( x ? m ? 1) (? x ? m ? 1) ??? (? x ? 1)(? x) m m ? Cx ? ? (?1)m ? (?1)m C? x ? m?1 ? Z . m! m!

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