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第四讲 不 等 式


第四讲

不 等 式

初中阶段已经学习了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法。高中阶段将进一步 学习一元二次不等式和分式不等式等知识。 本讲先介绍一些高中新课标中关于不等式的必备 知识。 一、一元二次不等式及其解法 1.形如 ax2 ? bx ? c ? 0(或 ? 0) (其中a ? 0) 的不等式称为关于 x 的一元二次不等式。 2.一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(或 ? 0) 与二次函数 y ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 及一元 二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的关系(简称:三个二次)。以二次函数 y ? x 2 ? x ? 6 为例:
2

(1) 作出图象; (2) 根据图象容易看到,图象与 x 轴的交点是 (?3, 0), (2, 0) ,即当

x ? ?3或2 时, y ? 0 。就是说对应的一元二次方程 x 2 ? x ? 6 ? 0 的
两实根是 x ? ?3或2 。 (3) 当 x ? ?3或x ? 2 时, y ? 0 ,对应图像位于 x 轴的上方。就是说

x 2 ? x ? 6 ? 0 的解是 x ? ?3或x ? 2 。
2 当 ?3 ? x ? 2 时 , y ? 0 , 对 应 图 像 位 于 x 轴 的 下 方 。 就 是 说 x ? x ? 6 ? 0 的 解 是

?3 ? x ? 2 。
一般地,一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解,步骤如下: (1) 将二次项系数先化为正数; (2) 观测相应的二次函数图象。 ①如果图象与 x 轴有两个交点 ( x1 ,0),( x2 ,0) ,此时对应的一元二次方程有两个 不相等的实数根 x1 , x2 (也可由根的判别式 ? ? 0 来判断)。 那么(图 1):

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) ? x ? x1或x ? x2 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) ? x1 ? x ? x2

②如果图象与 x 轴只有一个交点 ( ? 相的实数根 xx ? x2 ? ?

b , 0) ,此时对应的一元二次方程有两个 2a

b (也可由根的判别式 ? ? 0 来判断)。 2a

那么(图 2):

ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) ? x ? ?

b 2a

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) ? 无解
③如果图象与 x 轴没有交点,此时对应的一元二次方程没有实数根 (也可由 根的判别式 ? ? 0 来判断) 。 那么(图 3):

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) ? x 取一切实数 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) ? 无解

如果单纯的解一个一元二次不等式的话,可以按照一下步骤处理: (1) 化二次项系数为正; (2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积,则求出两根 x1 , x2 .那么“ ? 0 ” 型的解为 x ? x1或x ? x2 (俗称两根之外);“ ? 0 ”型的解为 x1 ? x ? x2 (俗称两根之间); (3) 否则,对二次三项式进行配方,变成 ax ? bx ? c ? a( x ?
2

b 2 4ac ? b 2 ) ? ,结合完 2a 4a

全平方式为非负数的性质求解。 【例 1】解不等式 x ? x ? 6 ? 0 。
2

分析: 不等式左边可以因式分解,根据“符号法则——正正(负负)得正、 正负得负” 的原则, 将其转化为一元一次不等式组。

说明:当把一元二次不等式化为 ax2 ? bx ? c ? 0(或 ? 0) 的形式后,只要左边可以分解为 两个一次因式,即可运用本题的解法。 【例 2】解下列不等式: (1) ( x ? 2)( x ? 3) ? 6
2

(2) (x-1)(x+2) ? (x-2)(2x+1)

分析:要先将不等式化为 ax ? bx ? c ? 0(或 ? 0) 的形式,通常使二次项系数为正数。

【例 3】解下列不等式: (1) x ? 2 x ? 8 ? 0
2

(2) x ? 4 x ? 4 ? 0
2

(3) x ? x ? 2 ? 0
2

【例 4】已知对于任意实数 x , kx ? 2 x ? k 恒为正数,求实数 k 的取值范围。
2

【例 5】已知关于 x 的不等式 kx2 ? (k 2 ? 1) x ? 3 ? 0 的解为 ?1 ? k ? 3 ,求 k 的值。 分析:对应的一元二次方程的根是 ?1 和 3 ,且对应的二次函数的图象开口向上。根据一元 二次方程根与系数的关系可以求解。

说明:本例也可以根据方程有两根 ?1 和 3 ,用代入法得: k (?1) ? (k ? 1)(?1) ? 3 ? 0 ,
2 2

k ? 32 ? 3(k 2 ? 1) ? 3 ? 0 ,且注意 k ? 0 ,从而 k ? 1 。
二、简单分式不等式的解法 【例 6】解下列不等式: (1)

2x ? 3 ?0 x ?1

(2)

x?3 ?0 x ? x ?1
2

分析:(1) 类似于一元二次不等式的解法,运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式 组处理;或者因为两个数(式)相除异号,那么这两个数(式)乘也异号,可将分式不等式直接 转化为整式不等式求解。 (2) 注意到经过配方法,分母实际上是一个正数。

【例 7】解不等式

1 ?3 x?2

说明:(1) 转化为整式不等式时,一定要先将右端变为 0。 (2) 本例也可以直接去分母,但应注意讨论分母的符号:

? x ? ?2 ? x ? ?2 ?x ? 2 ? 0 ?x ? 2 ? 0 1 5 ? ? ?3? ? 或? ?? 5 或? 5 ? x ? ? 或x ? ?2 三 、 含 x?2 3 x?? ?3( x ? 2) ? 1 ?3( x ? 2) ? 1 ? x ? ? 3 ? 3 ? ?
有字母系数的一元二次不等式 一元一次不等式最终可以化为 ax ? b (a ? 0) 的形式。

b ; a b (2) 当 a ? 0 时,不等式的解为: x ? ; a
(1) 当 a ? 0 时,不等式的解为: x ? (3) 当 a ? 0 时,不等式化为: 0 ? x ? b ; ① 若 b ? 0 ,则不等式无解;② 若 b﹤0,则不等式的解是全体实数。 【例 8】求关于 x 的不等式 m x ? 2 ? 2mx ? m 的解。
2

1 ,求实数 k 的值。 2 b 分析:将不等式整理成 ax ? b 的形式,可以考虑只有当 a ? 0 时,才有形如 x ? 的解,从 a b 1 而令 ? ? 。 a 2
2 【例 9】已知关于 x 的不等式 k ? kx ? x ? 2 的解为 x ? ?


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