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3-1.2 空间向量的数乘运算_图文

3.1.2

空间向量的数乘运算

回顾: 上一节课 ,我们把平面向量的有关概念及加减运
算扩展到了空间.
加法 减法 运算 运 算 律 平面向量 加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则 加法交换律 ? ? ? ? a?b ? b?a 加法结合律: ? ? ? ? ? ? (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 空间向量

加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则 ? ? ? ? 加法交换律 a ? b ? b ? a

? ? (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

加法结合律 ? ? ? ?

注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量 的加、减法实质是一样的.
2

回顾: 平面向量的数乘运算定义:

? 实数? 与向量a 的积是一个向量, ? 记作? a ,它的长度和方向规定 如下: ? ? (1) ? a ? ? a ? ? (2) 当 ? ? 0时, ? a 的方向与a 的方向相同; ? ? 当 ? ? 0时, ? a 的方向与a 的方向相反; ? ? ? ? 特别地, 当 ? ? 0或 a ? 0时 , ?a ? 0 .

类似地,我们是否可以定义空间向量的数 乘运算呢?
3

一、 空间向量的数乘运算定义:
? 与平面向量一样,实数 ?与空间向量 a 的积仍然是 ? 一个向量,记作 ?a ,它的长度和方向规定 如下:

? ? (1) ? a ? ? a ? ? (2) 当 ? ? 0时, ? a 的方向与a 的方向相同; ? ? 当 ? ? 0时, ? a 的方向与a 的方向相反; ? ? ? ? 特别地, 当 ? ? 0或 a ? 0时 , ?a ? 0 .
以上运算称为空间向量的数乘运算.
4

一、 空间向量的数乘运算定义:
空间向量的数乘运算满足分配律及结合律:

?

? ? ? ? 即:? (a ? b) ? ? a ? ? b ? ? ? (? ? ?) a ? ?a ? ?a ? ? ? (? a) ? (?? )a

5

例1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量 表达式,并标出化简结果的向量.(如图)
??? ? ??? ? D1 C1 (1) AB ? BC ??? ? ??? ? ???? ? (2) AB ? AD ? AA1 A1 B1 ? ??? ? ???? ? M 1 ??? (3) ( AB ? AD ? AA1 ) 3 G ??? ? ??? ? 1 ???? ? (4) AB ? AD ? CC1 D C 2 ??? ? ??? ? ??? ? 解: (1) AB ? BC=AC; ??? ? ??? ? ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? ???? ? A B ? ???? (2) AB ? AD ? AA1 ? AC ? AA1 ? AC ? CC1 ? AC1 ? ??? ? ???? ? ? ??? ? 1 ??? 1 ??? (3) ( AB ? AD ? AA1 ) ? AC 1 ? AG 3 3
??? ? ??? ? 1 ???? ? ???? ? (4) AB ? AD+ CC1=AM . 2
6

复习回顾 平面向量共线定理

7

复习回顾 平面向量共线定理
? ? ? ? 平面向量共线定理: 平面任意两个向量 a b( b ≠ 0 ), ? ? ? ? a // b 的充要条件是存在实数 ? ,使 a ? ? b ? ? 规定 : o 与任一向量 a 是共线向量
8

二、空间向量共线及其充要条件
1. 共线向量 : 空间两个向量方向相同或相反,则这两个向量叫 做共线向量或平行向量. ? ? ? ? a 平行于 b 记作 a // b . ? ? 规定 : o 与任一向量 a 是共线向量

9

二、空间向量共线及其充要条件
1. 共线向量 : 空间两个向量方向相同或相反,则这两个向量叫 做共线向量或平行向量. ? ? ? ? a 平行于 b 记作 a // b . ? ? 规定 : o 与任一向量 a 是共线向量 ? 2.空间向量共线 ? ? ? 空间任意两个向量 a 、 ( b ≠ 0 ), b 定理: ? ? ? ? a // b 的充要条件是存在实数 ? ,使 a ? ? b
10

OB 、 OC 为棱的平行六面 练习 1: 已知 OE 是以 OA 、 例2. CFEG 的对角线,点 M 是 △ ABC 的重心. 体 OADB ─ G 求证:点 M 在直线 OE 上. E

C
B

F

?M
N

D A

O

点评: 证三点共线,向量是一个有力的工具
11

? 思考:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线,
如何表示直线 l 上的任一点 P ?
? ?

A?

l

O ??? ? ? ??? ? ? ⑴∵ AP // a ,∴存在唯一实数 t ? R ,使 AP ? t a . ??? ? ? ∴ 点 P 在直线 l 上 ? ? 唯一实数 t ? R, 使 AP ? t a ①
??? ? ??? ? ??? ? ⑵对于任意一点 O,有 AP ? OP ? OA

? a

BP

? 注:非零向量 a 叫做 直线 l 的方向向量.

??? ? ??? ? 则点 P 在直线 l 上 ? ? 唯一实数 t ? R, 使 OP ? OA ? t ??? ? ? ⑶点 B 在直线 l 上,且 AB ? a ??? ? ??? ? 则点 P 在直线 l 上 ? ? 唯一实数 t ? R, 使 OP ? OA ? t 注:①、②、③式都称为空间直线的向量表示式, 即空间直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定 .

? a②
??? ? AB ③
12

三.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量. A 注意:空间任意两个 O 向量是共面的,但空 间任意三个向量就不 a 一定共面的了。 ?

? ? 2. 共面向量定理 : 如果两个向量 a 、 b 不共线 , 则向 ? ? ? ? 量 p 与向量 a 、 b 共面的充要条件是存在唯一的有 ? ? ? ? 序实数对 ( x, y) 使 p ? xa ? yb .
即“平面向量的基本定理” 就是空间向量的共面定理

? b? A a B

?? p
13

例3 (课本例)已知

ABCD ,从平面AC外一点O引向量

OE ? kOA, OF ? kOB, OG ? kOC , OH ? kOD
求证:四点E、F、G、H共面;
O

点评:根据共面向量定理,只要满足 下列条件四点共面。

EG ? x EH ? y EF

?

?

?

D

C

A
H

B
G
F
14

E

三.共面向量: 3.“四点共面”的充要条件: 空间一点P位于平面ABC内的充要条件 是存在有序实数对 x,y 使 ? ? ? AP ? x AB ? y AC 或对空间任一点O,有

OP ? OA ? x AB ? y AC
此式称为空间平面 ABC的向量表示式

?

?

?

?

?C b A ? a
O

?? p

P

B
15

三.共面向量: 3.“四点共面”的充要条件: 空间一点P位于平面ABC内的充要条件 是存在有序实数对 x,y 使 ? ? ? AP ? x AB ? y AC 或对空间任一点O,有

OP ? OA ? x AB ? y AC
易得同起点的四个向量,终点共面的充要条件:

?

?

?

?

同起点的四个向量 , 终点P, A, B, C共面 ? OP ? x OA? y OB? z OC?x ? y ? z ? 1?
? ? ? ?
16

例4、已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的 任一点O,确定在下列条件下,M是否与A,B,C 三点共面:

???? ? 1 ??? ? 1 ??? ? 1 ???? (1)OM ? OA ? OB ? OC; 3 3 3 ???? ? ??? ? ??? ? ???? (2)OM ? 2OA ? OB ? OC.

17

课外补充练习:

1.下列说明正确的是: D (A)在平面内共线的向量在空间不一定共线
(B)在空间共线的向量在平面内不一定共线

(C)在平面内共线的向量在空间一定不共线
(D)在空间共线的向量在平面内一定共线 2.下列说法正确的是:C (A)平面内的任意两个向量都共线 (B)空间的任意三个向量都不共面 (C)空间的任意两个向量都共面 (D)空间的任意三个向量都共面
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课外补充练习:

A 3.对于空间任意一点O,下列命题正确的是:
??? ? ??? ? ???? (A)若 OP ? OA ? t AB ??? ? ??? ? ???? (B)若 3OP ? OA ? AB ??? ? ??? ? ???? (C)若 OP ? OA ? t AB ??? ? ??? ? ???? (D)若 OP ? ?OA ? AB

,则P、A、B共线 ,则P是AB的中点 ,则P、A、B不共线 ,则P、A、B共线

4.已知点M在平面ABC内,并且对空间任意一点

???? ? ??? ? 1 ??? ? 1 ???? O, OM ? xOA + OB + OC , 则x的值为( D) 3 3 1

( A)1

( B)0

(C )3

( D)

3
19

小结
1.空间向量的数乘运算定义。

2.共线向量的定义及空间向量共线定 理。 3.共面向量的定义及空间向量共面定 理。

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