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8.5抛物线的定义及标准方程10


抛物线及其标准方程

与一个定点的距离和一条定直线的 距离的比是常数e的点的轨迹 是什么 ?
椭圆 (0<e<1)

双曲线

(e > 1)

图8-19

平面内与一个定点F和一条定 直线L的距离相等的点的轨迹叫做 抛物线。点F叫做抛物线的焦点, 直线L叫做抛物线的准线。

如图8-20,建立 直 角 坐 标 系 xOy , 使 x 轴经过点 F 且垂直于直 线 L ,垂足为 K ,并使 原 点 与 线 段 KF 的 中 点 重合。
设|KF|= ( >0),那么焦点F的坐标为
p p ( ,0 ),准线L的方程为x= 2 2

设点M(x,y)是抛物线上任意一 点,点M到L的距离为d。由抛物线的 定义,抛物线就是集合 P={M|MF|=d}。
转化出关于 x .y的等式化简得抛 物线的方程

方程①叫做抛物线的标准方程.它 表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上, p p , 0 坐标是( ),它的准线方程是x= 2 2

设|KF|= ( >0), M(x,y)是抛物线上任意 一点,点M到L的距离为d, 由抛物线的定义,抛物线 就是集合P={M|MF|=d},

将上式两边平方并化简 ,得x 2 ? 2 py( p ? 0) ②

y 2 ? ?2px

y 2 ? 2px

x 2 ? 2py

x 2 ? ?2py

例1(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x, 求它的焦点坐标和准线方程; (2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2), 求它的标准方程。

1、根据下列条件写出抛物线的标准方程: (1)焦点是F(3,0); y2=12x
1 (2)准线方程是x=- ; 4 y2=x

(3)焦点到准线的距离是2; y2=4x , y2=-4x , x2=4y , x2=-4y

已知抛物线的方程是x2 +4y=0, 求它的焦点坐标和准线方程. 解: 把 抛物线的方程x2 +4y=0化为标准方程, x2 =-4y. 所以p=2,

焦点坐标是(0,-1),

准线方程是 y = 1

2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:

(1) y 2 ? 20x;
1 ( 2) x ? y ; 2
2

F(5,0),x=-5

(3)2 y ? 5x ? 0;
2

(4) x 2 ? 8 y ? 0;

F(0 , -2) , y=2 ;

1 . 选择题:
(1) 准线方程为x=2的抛物线的标准方程是( B )
(A) y2 = - 4x
(C) y2 = 4x

(B) y2 = - 8x
(D) y2 = 8x

(2) 抛物线x2 +y=0 的焦点位于 ( C )
(A) x轴的负半轴上 (B) x轴的正半轴上 (C) y轴的负半轴上 (D) y轴的正半轴上

2 . 填空题:

(1) 焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线
的标准方程为
y2 = 16x 或 x2 = -12x

(2) 经过点(-8,8)的抛物线的标准方程为
y2 = -8x 或 x2 = 8y

1 . 解:设直线与x轴,y轴交于点F1、F2 , 将y=0或x=0分别代入直线方程可解得 F1(4,0),F2(0,3),故所求抛物线 方程为: y2=16x 或 x2=-12y

2 . 解:因为点(-8,8)在第二象限,所以 抛物线开口向上或者开口向左,设抛 物线方程为y2=-2P1x或x2=2P2y,由x=-8时, y=8得:P1=4,P2=4, 所以:所求抛物线方程为: y2= - 8x 或 x2= 8y

1 . 抛物线的定义 :
平面内与一个定点F和一条定直线L的 距离相等的点的轨迹叫做 抛物线 .点F叫

做抛物线的焦点,直线L叫做抛物线的准线.

2 .抛物线的图形及其标准方程

P119

习题2、4、5

求抛物线y 2 =4ax的焦点坐标和准线方程。


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