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2014年全国初中数学联赛决赛试题及参考答案


2014 年全国初中数学联赛决赛试题 (3 月 23 日上午 8:45—11:15)
班级:: 姓名: 成绩: 本试卷共五道大题,全卷满分 140 分;不能使用计算器。 一、选择题: (本题满分 42 分,每小题 7 分) 1 .已知 x, y 为整数,且满足 ( ? 【 】 A. 1 个

1 x

1 1 1 2 1 1 )( 2 ? 2 ) ? ? ( 4 ? 4 ) ,则 x ? y 的可能的值有 y x y 3 x y
C. 3 个 D. 4 个 】

B. 2 个

2.已知非负实数 x, y, z 满足 x ? y ? z ? 1 ,则 t ? 2 xy ? yz ? 2 zx 的最大值为 【 A.

9 12 D. 16 25 3. 在△ ABC 中,AB ? AC ,D 为 BC 的中点,BE ? AC 于 E , 交 AD 于 P , 已知 BP ? 3 , PE ? 1 ,则 AE = 【 】
B. C. A.

4 7

5 9

6 2

B. 2

C. 3

D. 6

4.6 张不同的卡片上分别写有数字 2,2,4,4,6,6,从中取出 3 张,则这 3 张卡片上所 写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 【 】 A.

1 2

B.

2 5

C.

2 3

D.

3 4 1 ? 18 ,则 x3


3 5 .设 [t ] 表示不超过实数 t 的最大整数,令 {t} ? t ? [t ] . 已知实数 x 满足 x ?

1 (3 ? 5) D.1 2 6. 在△ ABC 中,?C ? 90? ,?A ? 60? ,AC ? 1 ,D 在 BC 上,E 在 AB 上, 使得△ ADE 为等腰直角三角形, ?ADE ? 90? ,则 BE 的长为 【 】 1 A. 4 ? 2 3 B. 2 ? 3 C. ( 3 ? 1) D. 3 ? 1 2
B. 3 ? 5 C. 二、填空题: (本题满分 28 分,每小题 7 分) 1.已知实数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 1 , 2.使得不等式

1 {x} ? { } ? x 1 A. 2



1 1 1 ? ? ? 1 ,则 abc ? ____. a ?b?c b ?c ?a c ? a ?b

9 n 8 ? ? 对唯一的整数 k 成立的最大正整数 n 为 . 17 n ? k 15 3. 已知 P 为等腰△ ABC 内一点,AB ? BC ,?BPC ? 108? ,D 为 AC 的中点,BD 与 PC 交于点 E ,如果点 P 为△ ABE 的内心,则 ?PAC ? .
2 4.已知正整数 a, b, c 满足: 1 ? a ? b ? c , a ? b ? c ? 111, b ? ac ,则 b ?



1

三、 (本题满分 20 分)设实数 a , b 满足 a2 (b2 ? 1) ? b(b ? 2a) ? 40 , a(b ? 1) ? b ? 8 ,求

1 1 ? 2 的值. 2 a b

四、 . (本题满分 25 分)如图,在平行四边形 ABCD 中, E 为对角线 BD 上一点,且满足 ?ECD ? ?ACB , AC 的延长线与△ ABD 的外接圆交于点 F . 证明: ?DFE ? ?AFB .

D A B E C F

五、 (本题满分 25 分) 设 n 是整数,如果存在整数 x, y, z 满足 n ? x ? y ? z ? 3xyz ,则称 n 具有性质 P .
3 3 3

(1)试判断 1,2,3 是否具有性质 P ; (2)在 1,2,3,…,2013,2014 这 2014 个连续整数中,不具有性质 P 的数有多少个?

2

2014 年全国初中数学联赛决赛参考答案
一、选择题: (本题满分 42 分,每小题 7 分) 1. 【答】 C. 由已知等式得

x ? y x2 ? y 2 2 x4 ? y 4 ? 2 2 ? ? 4 4 , 显 然 x, y 均 不 为 0 , 所 以 x ? y = 0 或 xy x y 3 x y

3xy ? 2( x ? y) .
若 3xy ? 2( x ? y ) ,则 (3 x ?2)(3 y ? 2) ? 4 ? .又 x, y 为整数,可求得 ? 以 x ? y ? 1 或 x ? y ? ?1 . 因此, x ? y 的可能的值有 3 个. 2. 【答】 A.

? x ? ?1, ? x ? ?2, 或? 所 ? y ? 1. ? y ? 2,

1 t ? 2 xy ? yz ? 2 zx ? 2 x( y ? z ) ? yz ? 2 x( y ? z ) ? ( y ? z ) 2 4 1 7 3 1 7 3 4 ? 2 x(1 ? x) ? (1 ? x) 2 ? ? x 2 ? x ? ? ? ( x ? ) 2 ? , 4 4 2 4 4 7 7 3 2 4 易知:当 x ? , y ? z ? 时, t ? 2 xy ? yz ? 2 zx 取得最大值 . 7 7 7
3. 【答】 B. 因为 AD ? BC , BE ? AC ,所以 P, D, C , E 四点共圆,所以 BD ? BC ? BP ? BE ? 12 , 又 BC ? 2 BD ,所以 BD ? 6 ,所以 DP ? 3 . 又易知△ AEP ∽△ BDP ,所以

PE 1 AE PE ? ? BD ? ? 6? 2. ,从而可得 AE ? BD DP DP 3

4. 【答】 B. 若取出的 3 张卡片上的数字互不相同,有 2×2×2=8 种取法;若取出的 3 张卡片上的数字 有相同的,有 3×4=12 种取法.所以,从 6 张不同的卡片中取出 3 张,共有 8+12=20 种取法. 要使得三个数字可以构成三角形的三边长,只可能是: (2,4,4) , (4,4,6) , (2,6,6) , (4,6,6) ,由于不同的卡片上所写数字有重复,所以,取出的 3 张卡片上所写的数字可以作为 三角形的三边长的情况共有 4×2=8 种. 因此,所求概率为 5. 【答】 D. 设 x?

8 2 ? . 20 5

1 1 1 1 1 1 ? a ,则 x3 ? 3 ? ( x ? )( x 2 ? 2 ? 1) ? ( x ? )[( x ? ) 2 ? 3] ? a(a 2 ? 3) ,所以 x x x x x x

a(a2 ? 3) ? 18,因式分解得 (a ? 3)(a2 ? 3a ? 6) ? 0 ,所以 a ? 3 .

3

由x?

1 1 1 1 ? 3 解得 x ? (3 ? 5) ,显然 0 ? {x} ? 1, 0 ? { } ? 1 ,所以 {x} ? { } ? 1. x 2 x x

6. 【答】 A. 过 E 作 EF ? BC 于 F ,易知△ ACD ≌△ DFE ,△ EFB ∽△ ACB . 设 EF ? x , 则 B E? 2 x, AE ? 2 ? 2 x , DE ? 2(1 ? x) , DF ? AC ? 1 , 故

12 ? x 2? [

2? (1 x

2 ,即 ) ] x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 . 又 0 ? x ? 1 ,故可得

C

D F

x ? 2? 3 .
故 BE ? 2 x ? 4 ? 2 3 . 二、填空题: (本题满分 28 分,每小题 7 分) 1. 【答】 0. 由题意知
A E

B

1 1 1 ? ? ? 1 ,所以 1 ? 2c 1 ? 2a 1 ? 2b

(1 ? 2a)(1 ? 2b) ? (1 ? 2b)(1 ? 2c) ? (1 ? 2a)(1 ? 2c) ? (1 ? 2a)(1 ? 2b)(1 ? 2c)
整理得 2 ? 2(a ? b ? c) ? 8abc ,所以 abc ? 0. 2. 【答】144.

7 k 8 k ?1 7 k ?1 8 ? ? , 由 k 的 唯 一 性 , 得 ? 且 ? , 所 以 8 n 9 n 8 n 9 2 k? 1 k? 1 8 7 1 ? ? ? ? ? ,所以 n ? 144 . n n n 9 8 7 2 7 k 8 当 n ? 144 时,由 ? ? 可得 126 ? k ? 128 , k 可取唯一整数值 127. 8 n 9
由 条 件 得 故满足条件的正整数 n 的最大值为 144. 3. 【答】 48 ? . 由题意可得 ?PEA ? ?PEB ? ?CED ? ?AED , 而 ?PEA ? ?PEB ? ?AED ? 180? , 所以 ?PEA ? ?PEB ? ?CED ? ?AED ? 60? , 从而可得 ?PCA ? 30? . 又 ?BPC ? 108? ,所以 ?PBE ? 12? ,从而 ?ABD ? 24? . 所以 ?BAD ? 90? ? 24? ? 66? ,

B

1 1 (?BAD ? ?CAE ) ? (66? ? 30?) ? 18? , 2 2 所以 ?PAC ? ?PAE ? ?CAE ? 18? ? 30? ? 48? ?PAE ?
4. 【答】36.

E C

P A

D

设 a , c 的最大公约数为 (a, c) ? d , a ? a1d , c ? c1d , a1 , c1 均为正整数且 (a1 , c1 ) ? 1 ,
2 2 则 b2 ? ac ? d 2 a1c1 , 所以 d | b , 从而 d | b , 设 b ?bd , 则有 b12 ? a1c1 , a1 ? c1 , 1 ( b1 为正整数)

4

而 (a1 , c1 ) ? 1 ,所以 a1 , c1 均为完全平方数,设 a1 ? m2 , c1 ? n2 ,则 b1 ? mn , m, n 均为正整数, 且 (m, n) ? 1 , m ? n . 又 a ? b ? c ? 111,故 d (a1 ? b1 ? c1 ) ? 111,即 d (m2 ? n2 ? mn) ? 111 . 注意到 m2 ? n2 ? mn ? 12 ? 22 ? 1? 2 ? 7 ,所以 d ? 1 或 d ? 3 . 若 d ? 1 ,则 m2 ? n2 ? mn ? 111 ,验算可知只有 m ? 1, n ? 10 满足等式,此时 a ? 1 ,不符 合题意,故舍去. 若 d ? 3 , 则 m2 ? n2 ? mn ? 37 , 验 算 可 知 只 有 m ? 3, n ? 4 满 足 等 式 , 此 时

a ? 27, b ? 36, c ? 48 ,符合题意.
因此,所求的 b ? 36 . 三、 (本题满分 20 分) 解 由已知条件可得 a2b2 ? (a ? b)2 ? 40 , ab ? (a ? b) ? 8 . …………5 分 ………10 分

设 a ? b ? x , ab ? y ,则有 x 2 ? y 2 ? 40 , x ? y ? 8 , 联立解得 ( x, y) ? (2,6) 或 ( x, y) ? (6, 2) .

2 若 ( x, y) ? (2,6) ,即 a ? b ? 2 , ab ? 6 ,则 a , b 是一元二次方程 t ? 2t ? 6 ? 0 的两根,但

这个方程的判别式 ? ? (?2) ? 24 ? ?20 ? 0 ,没有实数根;………… …
2

15 分

2 若 ( x, y) ? (6, 2) ,即 a ? b ? 6 , ab ? 2 ,则 a , b 是一元二次方程 t ? 6t ? 2 ? 0 的两根,这

个方程的判别式 ? ? (?6) ? 8 ? 28 ? 0 ,它有实数根.所以
2

1 1 a 2 ? b2 (a ? b)2 ? 2ab 62 ? 2 ? 2 ? ? 2 2 ? ? ? 8. a 2 b2 ab a 2b 2 22
四、 .

………20 分

D A B E C F

由 ABCD 是 平 行 四 边 形 及 已 知 条 件 知 ?ECD ? ?ACB ? ?DAF . ………5 分 又 A 、 B 、 F 、 D 四 点 共 圆 , 所 以 ?BDC ? ?ABD ? ?AFD ,………… ….10 分 所以△ ECD ∽△ DAF , …… …15 分 证 明 所以

ED CD AB ? ? . ………20 分 DF AF AF 又 ?EDF ? ?BDF ? ?BAF ,所以△ EDF ∽△ BAF ,故 ?DFE ? ?AFB .…………… ………25 分
5

五、 (本题满分 25 分) 解 取 x ? 1 , y ? z ? 0 ,可得 1 ? 13 ? 03 ? 03 ? 3 ?1? 0 ? 0 ,所以 1 具有性质 P ;

取 x ? y ? 1 ,z ? 0 , 可得 2 ? 13 ? 13 ? 03 ? 3 ?1?1? 0 , 所以 2 具有性质 P ; ………………… 5分 若 3 具有性质 P ,则存在整数 x, y, z 使得 3 ? ( x ? y ? z)3 ? 3( x ? y ? z)( xy ? yz ? zx) ,从 而可得 3 | (x ? y ? z )3 ,故 3 | (x ? y ? z ) ,于是有 9 | (x ? y ? z )3 ? 3(x ? y ? z )(xy ? yz ? zx), 即 9 | 3 ,这是不可能的,所以 3 不具有性质 P . ……………………10 分

(2)记 f ( x, y, z) ? x 3 ? y 3 ? z 3 ? 3xyz ,则

f ( x, y, z) ? ( x ? y)3 ? z 3 ? 3xy( x ? y) ? 3xyz ? ( x ? y ? z)3 ? 3( x ? y) z( x ? y ? z) ? 3xy( x ? y ? z)
= ( x ? y ? z)3 ? 3( x ? y ? z)( xy ? yz ? zx)

1 ( x ? y ? z )( x 2 ? y 2 ? z 2 ? xy ? yz ? zx) 2 1 ? ( x ? y ? z )[( x ? y ) 2 ? ( y ? z ) 2 ? ( z ? x) 2 ] . 2 1 2 2 2 即 f ( x, y, z ) ? ( x ? y ? z )[( x ? y ) ? ( y ? z ) ? ( z ? x) ] 2 ?
……………………15 分 不妨设 x ? y ? z ,



如果 x ? y ? 1, y ? z ? 0, x ? z ? 1,即 x ? z ? 1, y ? z ,则有 f ( x, y, z ) ? 3z ? 1 ; 如果 x ? y ? 0, y ? z ? 1, x ? z ? 1,即 x ? y ? z ? 1 ,则有 f ( x, y, z ) ? 3z ? 2 ; 如果 x ? y ? 1, y ? z ? 1, x ? z ? 2 ,即 x ? z ? 2, y ? z ? 1 ,则有 f ( x, y, z ) ? 9( z ? 1) ; 由此可知,形如 3k ? 1 或 3k ? 2 或 9 k ( k 为整数)的数都具有性质 P .……………………20 分 又 若 3 |f ( x ,y ,z? )

? x (

? y

3

z? )

3? x (

? y

z ) (x ?y

? y, z 则z) x| x 3 ( ? y? z3 ), 从 而

3| ( x ? y ? z) ,进而可知 9 | f ( x, y, z) ? ( x ? y ? z)3 ? 3( x ? y ? z)( xy ? yz ? zx) .
综合可知:当且仅当 n ? 9k ? 3 或 n ? 9k ? 6 ( k 为整数)时,整数 n 不具有性质 P . 又 2014=9×223+7,所以,在 1,2,3,…,2013,2014 这 2014 个连续整数中,不具有性 质 P 的数共有 224×2=448 个. …………………25 分
6


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