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2.1合情推理与演绎推理课件(第一课时)


1本节知识结构

推 理
合情推理
(或然性推理)

演绎推理 (必然性推理)

归纳
(部分到整体、 特殊到一般)

类比 三段论 (特殊到特殊) (一般到特殊)

2、什么是推理
推理是人们思维活动的过程,是根据一 个或几个已知的判断来确定一个新的判断的 思维过程。

在日常生活中,人们常常需要进行这样那样的推理。 例如: 医生诊断病人的病症, 警察侦破案件, 气象专家预测天气的可能状态, 考古学家推断遗址的年代, 数学家论证命题的真伪等等。 在数学中,证明的过程更离不开推理。

3、数学猜想
数学中有各种各样的猜想,如:歌德 巴赫猜想、费马猜想、地图的“四色猜 想”、歌尼斯堡七桥猜想等等。

归纳推理
歌德巴赫猜想的提出过程:
3+7=10,3+17=20,13+17=30,
10=3+7,20=3+17,30=13+17.

偶数=奇质数+奇质数
6=3+3, 8=3+5,10=5+5,12=5+7,14=7+7,16=5+11,…, 1 000=29+971,…

⑴ 一个偶数(不小于6)总可以表示成两个 奇质数之和; ⑵ 没有发现反例 。

归纳推理的定义:
由某类事物的部分对象具有某些特征,推
出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,

或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为
归纳推理(简称归纳).

简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别
到一般的推理。

例:观察下图,可以发现
1+3=4=22, 1+3+5=9=32, 1+3+5+7=16=42, 1+3+5+7+9=25=52, ??
2 1+3+?+(2n-1)=n .

试证明这 个结论

归纳推理的一般步骤:
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、 归纳整理; ⑵ 提出带有规律性的结论,即猜想; ⑶ 检验猜想。

类比推理
“火星上是否有生命”

【例2】如图,利用类比推测球的有关性质
圆 圆心与弦(非直径) 中点的连线垂直于弦 与圆心距离相等的 两条弦长相等 球 球心与截面圆(不经过 球心的截面圆)圆心的 连线垂直于截面圆。 与球心距离相等的两个截面 圆面积相等;与球心距离不 等的两个截面圆面积不等; 与球心距离较近的截面圆面 积较大。 球的表面积 S
2

圆的周长C= 圆的面积S=

?d
?r

? 4?r 4 3 球的体积 V ? ?r 3

2

类比推理的定义:
由两类对象具有某些类似特征,和其

中一类对象的某些已知特征,推出另一类
对象也具有这些特征的推理称为类比推理

(简称类比).
简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.

发明行星三大运动定律的开普勒曾说类比 数学家波利亚曾指出“类比是一个伟大的 推理是「自然奧妙的参与者」和自己「最好 引路人 ,求解立体几何往往有赖于平面几何的类 的老师」 比问题.”

类比推理的一般步骤:
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;
⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征, 从而得出一个猜想; ⑶ 检验猜想。

? 类比推理举例

例3 类比平面内直角三角形的勾股定理,试 给出空间 中四面体性质的猜想.

例3 类比平面内直角三角形的勾股定理,试 给出空间中四面体性质的猜想.

直角三角形
∠C=90° 3个边的长度a,b,c 2条直角边a,b和1条斜边c

3个面两两垂直的四面体
∠PDF=∠PDE=∠EDF=90°

4个面的面积S1,S2,S3和S 3个“直角面” S1,S2,S3 和1个“斜面” S

合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过 观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提 出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理。 通俗地说,合情推理是指“合乎情理”的推理。

合情推理的应用
数学研究中,得到一个新结论之前,合情推理常常 能帮助我们猜测和发现结论。 证明一个数学结论之前,合情推理常常能为我们提 供证明的思路和方向

同样地,类比推理得到的结论也不一定可靠,

例如:
平面内,两组对边分别相等的四边形是平行四边形

平面内,同时垂直于一条直线的两条直线互相平行

得到猜想:
空间中,两组对边分别平行的四边形是平行四边形

空间中,同时垂直于一条直线的两条直线互相平行

小结:
这节课我们学习了归纳推理和类比推理 这两种合情推理。 归纳推理是由特殊到一般的推理; 类比推理是由特殊到特殊的推理.


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