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常微分方程初等解法的研究


2015 届 本 科 毕 业 论 文 ( 设 计 )
论文题目:常微分方程初等解法的研究



院:数学科学学院

专业班级:数学与应用数学 11-1 班 学生姓名:汤鹏 指导老师:张新东副教授 答辩日期:2015 年 5 月 5 日

新疆师范大学教务处

新疆师范大学 2015 本科毕业论文(设计)

目录
引 言 .............................................................. 1 1 常微分方程的定义及分类 ........................................... 2 1.1 定义 ....................................................... 2 1.2 一阶线性微分方程 ............................................ 2 1.3 一阶线性微分方程组 .......................................... 2 2 一阶线性微分方程的解法 ........................................... 4 2.1 分离变量法 ................................................. 4 2.2 常数变易法 ................................................. 5 2.3 全微分法 .................................................... 6 2.4 参数法 ...................................................... 7 3 n 阶常系数线性微分方程的解法 ..................................... 9 3.1 单根的情形 ................................................. 9 3.2 重根的情形 ................................................. 10 4 常微分方程的应用 ................................................ 11 4.1 人口动力学问题 ............................................ 11 4.2 简谐运动 .................................................. 11 4.3 电路理论 .................................................. 12 4.4 MATLAB 解常微分方程 ........................................ 13 5 总结 ............................................................ 15 参考文献 .......................................................... 16 致 谢 ............................................................. 17

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常微分方程初等解法的研究

摘 要 :本 文 主 要 对 常 微 分 方 程 的 初 等 解 法 进 行 研 究 ,使 大 家 更 深 一 步 地 了 解 常 微 分 方 程 的 分 类 、解 法 及 其 在 其 他 领 域 的 应 用 。首 先 总 结 阐 述常微分方程的定义和几种常见的类型, 然后讲解了常微分方程的解 法及方程组解的情况,最后讲述了常微分方程在以下四个方面的应 用 : 动 力 学 问 题 、 简 谐 运 动 、 电 路 理 论 及 用 MATLAB 解常微分方程。

关 键 词 : 常 微 分 方 程 ; 初 等 解 法 ; 方 程 组 ; 动 力 学 ; MATLAB

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Research elementary solution of ordinary differential equations
Abstract: This paper mainl y elementary solution of ordinary differential equation is studied, make you a deeper understanding of classification, the ordinary differential equation solution and itsapplication in other fields. Firstl y summarizes the t ype describes the definition of ordinary differential equa tions and several common, then explain the ordinary differential equation solution and the solution of equations, and finally describes the application of ordinary differential equations in the following four aspects: dynamics, simple harmonic motion,bound ary value problem and the solution of ordinar y differential equation with MATLAB. Keywords: Ordinary differential Equations; Dynamics; MATLAB equations; The primary solution;

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引言
常微分方程是数学中的一个重要的方程之一。 常微分方程是人类 在 生 活 实 践 中 得 来 的 。据 史 料 记 载 它 的 的 出 现 要 比 微 积 分 还 要 早 。笛 卡尔在光学问题上的研究由切线性质引出的镜面形状、 伽利略研究自 由 落 体 运 动 等 等 [10]。 事 实 上 , 这 些 问 题 都 要 建 立 并 求 解 微 分 方 程 。 本 文 首 先 给 出 了 常 微 分 方 程 的 相 关 定 义 、分 类 及 其 解 法 ,想 让 大 家对常微分方程的相关知识进行整理和汇总, 在此基础上应用实际应 用例子,以体现常微分方程的重要作用。

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1 常微分方程的定义及分类
1.1 定义
一般来说,微分方程就是联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数(或微 分)之间的关系式[7]。 当未知函数中依赖于一个自变量时,相应的微分方程称为常微分方程[8]。

1.2 一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的形式:

dy ? p( x) y ? q( x) (1.2.1) dx
其中 p ? x ? 和 q ? x ? 是区间 a ? x ? b 上的已知函数。
如果 q ? x ? ? 0 ,即

dy ? p( x) y (1.2.2) dx
则称其为一阶线性齐次方程。如果 q( x) ? 0 ,则称(1.2.1)式为一阶线性非齐次 方程[8]。

1.3 一阶线性微分方程组
一阶线性微分方程组: 如果在一阶微分方程组中, 函数 f i ( x, y1 , y2 ,?, yn )(i =1,2,?, n) 关于 y1 , y2 ,?, yn 是 线性的,一阶微分方程组可以写成:

? dy1 ? dx ? a11 ? x ? y1 ? a12 ? x ? y 2 ? ? ? a1n ? x ? y n ? f1 ? x ? ? ? dy2 ? a ? x ? y ? a ? x ? y ? ? ? a ? x ? y ? f ? x ? ? 21 1 22 2 2n n 2 (1.3.1) ? dx ? ? ? ? dyn ? a ? x ? y ? a ? x ? y ? ? ? a ? x ? y ? f ? x ? n1 1 n2 2 nn n n ? ? dx
则称(1.3.1)为一阶线性微分方程组。 为了方便记忆,可以把(1.3.1)写成向量的形式。为此,记

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? a11 ?x ? a12 ?x ? ? a1n ?x ? ? ? ? ? a21 ?x ? a22 ?x ? ? a2 n ?x ?? A?x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? ? ? ? a x ? a x n2 nn ? ? n1
? ? ? F ?x ? ? ? ? ? ? ? ? f1 ? x ? ? ? f 2 ? x ?? ? ? ? ? ? f n ? x ??



(1.3.1)可以写成向量形式 dY ? A?x ?Y ? F ?x ? (1.3.2) dx 如果(1.3.2)上 F ?x ? ? 0 ,方程组(1.3.2)可变成

dY ? A?x ?Y (1.3.3) dx 则称(1.3.3)为一阶线性齐次方程组。

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2 一阶线性微分方程的解法
2.1 分离变量法 1)显示变量可分离方程的解法
形如

dy ? f ?x ?? ? y ? (2.1.1) dx 的方程,称为显示变量可分离方程。
如果 ? ? y ? ? 0 ,我们可将(2.1.1)写成
dy dy ? f ? x ?dx 这样变量就分离开了。两 ??y?

边积分可得

? ? ? y ? ? ? f ?x ?dx ? c

(2.1.2)

则称(2.1.2)是(2.1.1)的通解。 如果存在 y 0 ,使 ? ? y0 ? ? 0 ,直接代入,可知 y ? y0 也是(2.1.1)的解,可能不 在通解中,必须予以补上[9]。 例1 求解方程

dy a3 ? dx b2 y ? a3
解 分离变量得

b2 y ? a3 dy ? a3 dx
积分得 1 b 2 y ? a 3 b 2 y ? a 3 ? a 3 dx b2 2 b2 y ? a3 b2 y ? a3 ? x a3 3b 2 这曲线就是摆线[3]。

?

?

?

?

2)微分形式变量可分离方程的解法
形如

M1 ?x?N1 ? y ?dx ? M 2 ?x?N2 ? y ?dy (2.1.3)
是变量可分离方程的微分形式表达式。这是, x和 y 在方程中的地位是“平等” 的。
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1)当 N 1 ? y0 ? ? 0 ,则 y ? y0 为方程(2.1.3)的解。同理 M 2 ?x0 ? ? 0 ,则 x ? x0 也 是方程(2.1.3)的解。 2)当 N1 ? y ?M 2 ?x ? ? 0时 ,分离变量可得:
N2 ?y? M ?x ? dy ? 1 dx N1 ? y ? M 2 ?x ?

对上式两端同时积分得(2.1.3)的通积分

? N ? y ?dy ? ? M ?x?dx ? C
1 2

N2 ? y?

M 1 ?x ?

例2

求解方程 x y 2 ?1 dx ? y x 2 ?1 dy ? 0

?

?

?

?

解 首先,易见 y ? ?1, x ? ?1是方程的解, 其次,当 x 2 ? 1 y 2 ? 1 ? 0 时,分离变量得

?

??

?

xdx ydy ? 2 ?0 2 x ?1 y ?1
积分,得方程的通积分
ln x 2 ? 1 ? ln y 2 ? 1 ? ln C

(C ? 0)



?x
2.2 常数变易法

2

?1 y 2 ?1 ? C

??

?

(C ? 0)

常数变易法主要针对是一阶线性非齐次方程。即 dy ? p ( x) y ? f ( x) dx 对于一阶齐次方程 dy ? p ( x) y ? 0 dx 的通解是
? p ? x ?dx y ? Ce ?

使用常数变易法解决一阶非齐次方程的解,可将常数 C 变易成函数 C ? x ? ,即令
? p ? x ?dx (2.1.4) y ? C?x?e ?

为方程(1.2.1)的解,其中 C ? x ? 待定。将(2.1.4)代入(1.2.1)中并积分可
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以得到

C ? x ? ? ? f ? x ?e ?

p ? x ?dx

?C

将其代入(2.1.4)得(1.2.1)的通积分公式为
? p ? x ?dx ? p ? x ?dx ? p ? x ?dx y ? Ce ? ?e ? ? f ?x?e dx

例3 求解方程 dy y ? ? x2 dx x 解 先求对应齐次方程 dy y ? dx x 的通解是

y ? Cx
由常数变易法得,令

y ? C ?x ?x
为原方程的解,并代入原方程有
C ' ?x ?x ? C ?x ? ? C ?x ? ? x 2

整理并积分得 代入原方程的通解为 1 y ? Cx ? x3 2

C ?x ? ?

1 2 x ?C 2

2.3 全微分法
如果微分形式的一阶方程

M ?x, y ?dx ? N ?x, y ?dy ? 0 (2.3.1)
的左端恰好是一个二元函数 U ?x, y ? 的全微分,即

dU?x, y ? ? M ?x, y ?dx ? N ?x, y ?dy (2.3.2)
则称(2.3.1)是全微分方程[1]。 下面将以例题的形式介绍全微分法 例4 求解方程 3x 2 ? 6xy2 dx ? 6x 2 y ? 4 y 3 dy ? 0

?

?

?

?

解 因为

?M ?N ? 12xy ? ?y ?x

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所以原方程是全微分方程。 为了计算方便我们取 x0 ? 0, y0 ? 0 故方程的通积分为

? ?3x
x 0

2

? 6 xy2 dx ? ? 4 y 3dy ? C
0

?

y


x 3 ? 3x 2 y 2 ? y 4 ? C

2.4 参数法
参数法主要针对的是一阶隐式微分方程
F x, y, y ' ? 0

?

?

(1)如果能解出 y ' ,就得到一个或者几个显示微分方程,能用初等积分很容易 解出方程的通解。 (2)如果不能解出 y ' ,这就要用到参数法。 本文主要介绍一类可积分类型。即,
F x, y ' ? 0 F y, y ' ? 0

?

?

? ?

? ?

(1)首先讨论
F x, y ' ? 0 (2.4.1)

?

?

1)把方程(2.4.1)化成参数形式。即,

? x ? ? ?t ? t 为参数 ? ' ? y ? ? ?t ?
dy ? y ' dx

(2.4.2)

2)对于(2.4.2)和沿着(2.4.1)的任何一条积分曲线恒满足基本关系式

这样,把(2.4.2)代入上式并积分得

y ? ?? ?t ? ? ' ?t ?dt ? C
于是得到方程(2.4.1)的参数通解

? ? x ? ? ?t ? ? y ? ?? ?t ? ? ' ?t ?dt ? C ? ? 同理,可以讨论
F y, y ' ? 0

?

?

(2.4.3)

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? x ? ? ?t ? 1 设其可以表示的参数形式 ? ' ,由于 dx ? ' dy ,将其代入参数方程组中积 y ? y ? ? ?t ?
分得 x ? ?

? ' ?t ? dt ? C ? ?t ?

? ? ' ?t ? x ? ? ? ? ?t ?dt ? C 从而(2.4.3)的参数形式通解为 ? ? y ? ? ?t ? ?

例5

求解方程

x 1? y'

? ?

2

? y'

解 令 y ' ? tan?t ? ,有 x ? sin ?t ?,原方程的参数形式为

? x ? sin t ? ? y ? tan t
由基本关系 dy ? y ' dx 有 dy ? sin tdt ,积分可的 y ? ? cost ? C 。从而原方程的参数 通解为

? x ? sin t ? ? y ? ? cost ? C

消去参数 t,得到原方程的通解为 y ? C ? 1 ? x 2

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n 阶常系数线性微分方程的解法

3.1 单根的情形
形如

y?n ? ? a1 y?n?1? ??? an?1 y ' ? an y ? 0 (3.1.1)
为 n 阶常系数线性微分方程。这里的 a1 , a2 ?an 是实常数。对这样的方程求解的 方法是待定实数函数法。 经简单的研究(3.1.1)的特征方程为

P?? ? ? ?n ? a1?n?1 ??? an?1? ? an ? 0 (3.1.2)
它的根为特征根。 1)单根只为实数 当(3.1.2)有 n 个互异的根 ?1 , ?2 ,? , ?n ,则

y1 ? e?1x , y2 ? e?2 x ,?, yn ? e?n x (3.1.3)
是(3.1.1)的一个基本解组[1]。 例6 求解方程 y '' ? 5 y ' ? 0 的通解。

解 特征方程为 ?2 - 5? ? 0 特征根为 ?1 ? 0,?2 ? 5 , 故所求通解为 y ? C1 ? C2e5 x 其中 C1 , C2 为任意常数。 2)单根中有复数 复根一定是共轭出现的。即 ?k ? a ? bi?a, b?为实数 ,则 ?k ?1 ? a - bi 也是(3.1.1) 的根。这两个根所对应的解是实变量复值函数

yk ? e?a?bi ? ? eax cosbx ? ieax sin bx yk ?1 ? e?a-bi ? ? eax cosbx - ieax sin bx
例7 解 求方程 y ''' ? 3 y '' ? 9 y ' ? 13y ? 0 的通解。 特征方程为 ?3 ? 3?2 ? 9? ? 13 ? 0

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由此得 ?1 ? -1 , ?2 ? 2 ? 3i, ?3 ? 2 ? 3i 因此,原方程的通解为 y ? C1e? x ? e2 x ?C2 cos3x ? C3 sin 3x?

3.2 重根的情形
1)重根只为实数 如 果 ( 3.1.1 ) 有 的 特 征 根 ?1 , ?2 ,?, ?p , 它 们 的 重 数 分 别 是

m1, m2 ,?, mp , m ? 1且m1 ?m2 ??? mp ? n ,则它们相对应的(3.1.1)的特解是

e ?1x , xe?1x ,? , x m1 ?1e ?1x e ?2 x , xe?2 x ,? , x m2 ?1e ?2 x ???? e
?p x

, xe

?px

,? , x

m p ?1 ? p x

e

? ? ? 上的基本解组。 构成了(3.1.1)在区间 ?- ?,

例8

求方程 y '' ? 4 y ' ? 4 y ? 0 的通解。

解 特征方程为 ?2 ? 4? ? 4 ? 0

?1 ? -2 是二重特征根,故所求的通解是 y ? e?2 x ?C1 ? C2 x ?
2)重根中有复数 同理可以得到复根一定是共轭出现的。 即 ?k ? a ? bi?a, b?为实数 , 则 ?k ?1 ? a - bi 也 是(3.1.1)的 m1 重特征根。因此,此时(3.1.2)中含有如下 2m1 个复值解

e ax cosbx, xeax cosbx,?, x m1 ?1e ax cosbx e ax sin bx, xeax sin bx,?, x m1 ?1e ax sin bx
例9 求方程 y ?4? ? 4 y ''' ? 5 y '' ? 4 y ' ? 4 y ? 0

解 特征方程是 ?4 ? 4?3 ? 5?2 ? 4? ? 4 ? 0 故特征根是 ?1, 2 ? 2, ?3 ? i, ?4 ? ?i 它们对应的实解为 e 2 x , xe2 x , cos x, sin x 所求的通解为 y ? e2 x ?C1 ? C2 x? ? C3 cos x ? C4 sin x
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常微分方程的应用

4.1 人口动力学问题
假设某地区的 t 时刻人口数量为 x ?t ? ,在没有迁入或迁出的情况下,人口增长率 与 t 时刻的人口数成正比。则有

dx ? kx dt

(4.1.1)

其中, k 为常数。(4.1.1)是著名的马尔萨斯人口发展方程[6]。 假设该地区 t ? 0 时初始人口数为 x?0? ? x0 ? 0 ,注意到人口数量 x?t ? ? 0 ,可 将 (4.1.1) 中分离变量, 改写成

dx 两边从 0 到 t 积分, 并整理得到 x?t ? ? x0ekt ? kdt , x
n x?n ? xn ? ? ek , 表明该地区的人口成集合 x0 x0

若以年为单位取自然数变化则有 级数增长。

? ?

4.2 简谐运动
描述弹簧振动的方程
p d 2x dx ? q ? cx ? f ?t ? 2 dt dt

如果其中 p 为物体的质量, f ?t ? ? 0 且 q ? 0 ,即假设没有外力且忽略阻力,这是 得到方程
p d 2x ? cx ? 0 (4.2.1) dt 2

此时称弹簧的振动为简谐振动。
2 令h ?

c d 2x ,方程(4.2.1)变为 2 ? h 2 x ? 0 p dt

这是一个二阶常系数齐次方程。特征方程为 ?2 ? h 2 ? 0 特征根为 ?1, 2 ? ?ih 它的通解为 x ? C1 cosh t ? C2 sinh t 其中 C1 , C2 是任意常数。
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(4.2.2)

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为了进一步的认识简谐振动,可将(4.2.2)变为下面形式:
x ? A sin ?ht ? ? ? (4.2.3)

其中
2 C12 ? C2 ? A,

C1
2 C12 ? C2

? sin ? ,

C2
2 C12 ? C2

? cos?

由此可见,物体在平衡位置附近作简谐运动。 量 A 称为振幅,幅角 kt ? ? 称为位相,相位在 t ? 0 时所取之值,即 ? ,称为初位 相, k ?
c 2? p 是固有振动频率,T ? 为周期[1]。易见, k 仅与弹簧的刚 ? 2? p h c

度和物体的质量有关。将(4.2.2)对 t 微分,可以得到物体运动的速度 dx v? ? Ak cos(ht ? ? ) dt 为了确定振幅级初位相,必须给出初值条件。例如,假设在初始时刻 t ? 0 时,物 体的位置是 x ? x0 ,速度是 v ? v0 ,这时有

x0 ? A sin ? , v0 ? Ah cos?
从而
2 v0 hx , ? ? arctan 0 2 h v0

2 A ? x0 ?

有上述公式可以看出,振幅 A 与位相 ? 和振动周期及频率不同,它们都和系统的 初始状态有关[1]。

4.3 电路理论
例11 由电阻 R、电容 C 及直流电源 E 串联而成的电路。当闭合开关 K 时,电路 中有电流 i 通过,电容器逐渐充电,电容器上的电压 U C ,电阻两端电压为 U R , 电路中的电流为 i[4]。 解 由电学中的回路电压定律,知 U C ? U R ? E 此外,由电学知识,知 U R ? Ri, i ? 可得微分方程 RC

dq q ,U C ? dt C

dUC ? UC ? E dt

初始条件为 U C (0) ? 0

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变量可分离解之,得

1 1 dUC ? dt E ?UC RC

两边积分,得 Ln E ? U ? ? 1 t ? A ?A1为常数? C 1 RC 其通解为 U C ? E ? Ae
1 t RC

?A为任意常数?

4.4 MATLAB 解常微分方程
解常微分方程主要 MATLAB 指令,如下表[2] 主题词 意义 主题词 ode45 四、五阶 Runge-kutta ode15s ode23 二、三阶 Runge-kutta ode23s ode113 多步 Adams 算法 ode23tb odeset 阶 ode 选项设置 bvpinit ode23t 适度刚性问题梯形算法 bvp4c bvp5c 边值问题高精度解 deval 例 12 求方程 x '' ? 0.2 x ' ? 3.92x ? 0 的通解。

刚性方程组多步 Gear 法 刚性方程组二阶 Rosenbrock 法 刚性方程组低精度算法 边值问题预估解 边值问题解法 微分方程解的求值

解 特征方程为 ?2 ? 0.2? ? 3.92 ? 0 >>roots([1 0.2 3.92]) 求得共轭复根 ? 0.1 ? 1.9774 i ,从而通解为

x?t ? ? Ae?0.1t cos(1.9774 t ) ? Be?0.1t sin(1.9774 t)
其中, A, B 为任意常数。 例 13 求方程
? dy 2 ? ? x ?x? y dx ? ? ? y ( 0) ? 0

的解

程序如下: x=0;y=0;h=0.01; >> for i=1:50 y1=y+(x^2+x-y)*h; x=x+h;y=y1; yy(i)=y1; end >> plot(yy,'.') >> hold on; >> z=zeros(1,50); >> for u=0.01:0.01:0.5
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z(floor(u*100))=-exp(-u)+u^2-u+1; end >> plot(z)

图1 欧拉公式计算的近似解与解析解 ?5?

例 14 解微分方程组
' 3 ? ?x ? ? x ? y, x?0? ? 2 0<t<20 . ? ' 3 ? ? y ? x ? y , y(0) ? 0.4,

解 将变量 x, y 合写成向量变量 x ,先写 M 函数 eg4_3fun.m %M 函数 eg4_3fun.m Function f=eg4_3fun(t,x) f(1)=-x(1)^3-x(2); f(2)=x(1)-x(2)^3; f=f(:); 再在指令窗口执行 >>clear;[t,x]=ode45(@eg4_3fun,[0 30],[1;0.5])[2];

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5 总结
这篇论文题目是我的指导老师为我细心挑选的。从老师的角度来说,指导毕 业论文设计是老师对学生所做的执手训练。其次,毕业论文设计的指导是老师检 验其教学效果,改进教学方法,提高教学质量的绝好机会。 毕业的日期临近, 毕业论文设计也接近了尾声。在不断的努力下我的毕业论文设 计终于完成了。 毕业论文设计不仅是对前面所学知识的一种检验,而且也是对自 己能力的一种提高。通过这次毕业论文设计使我明白了知识太理论化了会很枯 燥,如果将其放在应用上,就会变得灵活且更容易掌握。 在毕业论文设计结束的同时, 再次感谢我的论文导师张新东老师,也要感谢帮助 我的同学们。

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参考文献:
[1]东北师范大学微分方程教研室.常微分方程[M].北京: 高等教育出版社 (第二版) , 2005. [2]胡良剑.孙晓君.MATLAB 数学实验[M].北京:高等教育出版社(第二版),2014. [3]Kline M.常微分方程[M].张理京,张锦炎,江泽涵译.上海:科学技术出版社,2002. [4]董晓红 .常微分方程不同解法比较 [J].包头职业学术学院人文与艺术设计系 .2012.( 3 月),89 页-91 页 [5]王亚男.MATLAB 在常微分方程中简单应用[J].衡水学院数学与计算机科学系.2011.(第 九期),194 页 [6]肖箭.盛立人.宋国强.常微分方程简明教程[M].北京:科学出版社,2008 [7]东北师范大学数学系微分方程教研室.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,1982.10 (2003 重印) [8]郭玉翠.常微分方程:理论、建模与发展[M].北京:清华大学出版社,2010.8 [9]王高雄.周之铭.朱思铭.王寿松.常微分方程[M].北京: 高等教育出版社 (第二版) , 2003 重印 [10]张永良.董晓芳.常微分方程的起源与发展[J].燕山大学理学院.2006.6(第二十卷第三 期),34 页-36 页

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致 谢
我历时将近两个月时间终于把这篇论文写完了,在这段充满奋斗的历程中, 带给我的学生生涯无限的激情和收获。在论文的写作过程中遇到了的困难和障 碍,都在同学和老师的帮助下解决了。在校图书馆查找资料的时候,图书馆的老 师给我提供了很多方面的支持与帮助, 尤其要强烈感谢我的论文指导老师—张新 东老师,没有他对我进行了不厌其烦的指导和帮助,无私的为我进行论文的修改 和改进,就没有我这篇论文的最终完成。在此,我向指导和帮助过我的老师们表 示最衷心的感谢! 同时, 我也要感谢本论文所引用的各位学者的专著,如果没有这些学者的研 究成果的启发和帮助,我将无法完成本篇论文的最终写作。至此,我也要感谢我 的朋友和同学, 他们在我写论文的过程中给予我了很多有用的素材,也在论文的 排版和撰写过程中提供热情的帮助! 由于我的学术水平有限, 所写论文难免有不足之处,恳请各位老师和同学批 评和指正!

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常微分方程初等解法研究 - 201 6年第 4期 ( 总第 9 7期) 牡丹 江
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