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圆与圆的方程汇总


圆与方程 ◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇ 一:圆的方程(标准方程与一般方程) 二:圆系方程 三:点与圆的位置关系 四:直线与圆的位置关系 五:圆与圆的位置关系 六:圆的对称问题 七:综合应用 八:圆的参数方程(选讲) 九:圆的极坐标方程(选讲) 十:几何证明(选讲)

◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇ 一:圆的方程(标准方程与一般方程) 1.圆的直径端点为(2,0),(2,-2),则此圆的方程是 2.方程 x 2 ? y 2 ? x ? y ? k ? 0 表示一个圆,则实数 k 的取值范围是 3.三条直线 y=0 , x=1 和 y=x 围成一个三角形,则其外接圆方程 。 。 。

4.(2002 北京文)圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 的动点 Q 到直线 3 x ? 4 y ? 8 ? 0 距离的最小值为 5. (2005 重庆文)已知 A ( ?
1 2 , 0 ), B

是圆 F

: (x ?

1 2

) ? y
2

2

? 4( F

为圆心)上一动点,线段 AB . )

的垂直平分线交 BF 于 P,则动点 P 的轨迹方程为

6.(2008 广东文)经过圆 x 2 ? 2 x ? y 2 ? 0 的圆心 C,且与直线 x+y=0 垂直的直线方程是( A. x ? y ? 1 ? 0 7. (2006 湖南文)圆 x 2 差是( ) A.36 B. 18 C.
6 2

B. x ? y ? 1 ? 0
? y
2

C. x ? y ? 1 ? 0 上的点到直线 x ?

D. x ? y ? 1 ? 0 的最大距离与最小距离的

? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0

y ? 14 ? 0

D.

5 2

2 2 8. (2004 重庆文、理)圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 的圆心到直线 x ? y ? 1 的距离为(



A .2

B.

2 2

C .1

D. 2

9. (2004 广东)如图,定圆半径为 a,圆心为(b ,c) ,则直线 ax+by+c=0 与直线 x–y+1=0 y
1

O

x

的交点在(

) (B)第三象限

(A)第四象限

(C)第二象限

(D)第一象限

10.(2009 重庆卷 1)圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程是( ) A. x 2 ? ( y ? 2 ) 2 ? 1 C. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 B. x 2 ? ( y ? 2 ) 2 ? 1 D. x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1

11. (2001 江西、山西、天津文、理,全国文、理)过点 A(1,-1) 、B(-1,1)且圆心 在直线 x+y-2=0 上的圆的方程是( ) (A) ( x ? 3 ) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 (C) ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 (B) ( x ? 3 ) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 (D) ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4

12.求圆心在原点,且圆周被直线 3x+4y+15=0 分成 1﹕2 两部分的圆方程;

13.一圆经过 A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和为 2,求此圆方程。

14.求圆心在直线 y ? ? 2 x 上,且与直线 x+y=1 在点(2,-1)处相切的圆方程

15(2011 福建理)已知直线 l:y=x+m,m∈R。 (I)若以点 M(2,0)为圆心的圆与直线 l 相切与点 P,且点 P 在 y 轴上,求该圆的方程;

2

二:圆系方程 1.已知圆 ,求实数 的值。 与直线 相交于 两点, 为坐标原点,若

2.求过两圆



的交点且面积最小的圆的方程。

3.求过两圆 x2+y2=4 和 x2+y2-2x-4y+4=0 的两个交点,且和直线 x+2y=0 相切的圆方程。

4. (2007 江西理)设有一组圆 Ck: ( x ? k ? 1) 2 ? ( y ? 3 k ) 2 ? 2 k 4 A.存在一条定直线与所有的圆均相切 交 C.存在一条定直线与所有的圆均不相交 . 其中正确命题的代号是

(k∈N*).下列四个命题:

B.存在一条定直线与所有的圆均相

D.所有的圆均不经过原点 .

. (写出所有正确命题的代号)

三:点与圆的位置关系 1.在矩形 ABCD 中,AB=3,AD=4,以 A 为圆心,使 B、C、D 三点中至少有一点在圆内, 至少有一点在圆外,求此圆半径 R 的取值范围。

3

2.若过点(1,2)总可以作两条直线和圆 x 2 ? y 2 ? kx ? 2 y ? k 2 ? 15 ? 0 相切,求实数 k 的取值 范围.

四:直线与圆的位置关系 1.(2006 全国Ⅱ卷文、理)过点(1, 2)的直线 l 将圆 ( x ? 2 ) 2 ? y 2 ? 4 分成两段弧,当劣 。

弧所对的圆心角最小时,直线 l 的斜率 k=

2. (2009 广东卷)以点 ( 2 , ? 1) 为圆心且与直线 x ? y ? 6 相切的圆的方程是______ 3.(2008 安徽文、理)若过点 A ( 4, 0 ) 的直线 l 与曲线 ( x ? 2 ) 2 ? y 2 ? 1 有公共点,则直线 l 的斜 率的取值范围为( A. [ ? 3 , 3 ] ) B. ( ? 3 , 3 ) C. [ ?
3 3 , 3 3 ]

D. ( ?

3 3

,

3 3

)

2 2 4.(2011 重庆理 8)在圆 x ? y ? 2 x ? 6 y ? 0 内,过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别是

AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为( A. 5 2 B. 10 2

) C. 1 5 2 D. 20 2

5.(2006 安徽文)直线 x ? y ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 ay ? 0( a ? 0) 没有公共点,则 a 的取值范围是 ( ) A. (0, 2 ? 1) B. ( 2 ? 1, 2 ? 1) C. ( ? 2 ? 1, 2 ? 1) D. (0, 2 ? 1) )

6. 2009 陕西卷理) ( 过原点且倾斜角为 6 0 ? 的直线被圆 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 0 所截得的弦长为 ( A. 3 B.2 C. 6 D.2 3

7. (2006 陕西文、 理)设直线过点(0,a),其斜率为 1, 且与圆 x2+y2=2 相切,则 a 的值为( A.± 2 B.±2 C.±2 2 D.±4

)

8. (2008 湖北理)过点 A(11,2)作圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 164 ? 0 的弦,其中弦长为整数的共有

4

( ) A.16 条 B.17 条
x ? y b ?1

C.32 条

D.34 条

9(2007 湖北理)已知直线 a

(a,b 是非零常数)与圆 x 2 ? y 2 =100 有公共点,且公共 ) D.78 条

点的横坐标和纵坐标均为整数,那么这样的直线共有( A.60 条 B.66 条 C.72 条

10.(2004 天津文)若过定点 M ( ? 1, 0) 且斜率为 k 的直线与圆 x 2 ? 4 x ? y 2 ? 5 ? 0 在第一象限内 的部分有交点,则 k 的取值范围是 (A) 0 ? k ? 5 (B) ? 5 ? k ? 0 ( ) (D) 0 ? k ? 5

(C) 0 ? k ? 13

11..求经过点 P(2,-1),圆心在直线 2x+y=0 上,且和直线 x–y-1=0 相切的圆方程。

12.自圆 x2 + y2 = r2 外一点 P(x0,y0)作圆的两条切线,切点分别是 P1,P2,求直线 P1P2 的方 程。

五:圆与圆的位置关系 1. 若两圆 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 和 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? r 2 相交,则正数 r 的取值区间是 A. ? 2 ? 1, 2 ? 1 ? B. ? 2 , 2 ? C. (
2 ?1



? 0,

2 ?1

?

D.

? 0,

?
)

2. (2008 重庆理)圆 O1: x 2 ? y 2 -2x=0 和圆 O2: x 2 ? y 2 -4y=0 的位置关系是 ( (A)相离 (B)相交 (C)外切 (D)内切

3.(2010 全国卷 2 理数)已知球 O 的半径为 4,圆 M 与圆 N 为该球的两个小圆, A B 为圆 M

5

与圆 N 的公共弦, A B

? 4

.若 O M ? O N ? 3 ,则两圆圆心的距离 M N ?
y ? 4

.3

4. (2007 湖南文、理)圆心为 (1, 且与直线 x ? 1)

相切的圆的方程是______

5.(2007 上海文)如图 A, B 是直线 l 上的两点,且 AB ? 2 .两个半径相等的动圆分别与 l 相
C

切于 A, B 点, C 是这两个圆的公共点,则圆弧 AC , CB 与线 段 AB 围成图形面积 S 的取值范围是______
A B

l

六:圆的对称问题
2 2 1.(2007 上海文)圆 x ? y ? 2 x ? 1 ? 0 关于直线 2 x ? y ? 3 ? 0 对称的圆的方程是(



A. ( x ? 3 ) 2 ? ( y ? 2 ) 2 ?

1 2

B. ( x ? 3 ) 2 ? ( y ? 2 ) 2 ?

1 2

C. ( x ? 3 ) 2 ? ( y ? 2 ) 2 ? 2

D. ( x ? 3 ) 2 ? ( y ? 2 ) 2 ? 2

2 2 2. (2005 重庆文、理)圆 ( x ? 2 ) ? y ? 5 关于原点(0,0)对称的圆的方程为


2 2 A. ( x ? 2 ) ? y ? 5

) B. x 2 ? ( y ? 2 ) 2 ? 5 D. x 2 ? ( y ? 2 ) 2 ? 5

C. ( x ? 2 ) 2 ? ( y ? 2 ) 2 ? 5

3. (2009 宁夏卷)已知圆 C 1 : ( x ? 1) 2 + ( y ? 1) 2 =1,圆 C 2 与圆 C 1 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称, 则圆 C 2 的方程为( ) B. ( x ? 2) 2 + ( y ? 2 ) 2 =1 D. ( x ? 2) 2 + ( y ? 2) 2 =1

A. ( x ? 2) 2 + ( y ? 2) 2 =1 C. ( x ? 2) 2 + ( y ? 2 ) 2 =1

4. (2008 重庆文)已知圆 C: x 2 ? y 2 ? 2 x ? ay ? 3 ? 0 a 为实数) ( 上任意一点关于直线 l:-y+2=0 x 的对称点都在圆 C 上,则 a= .

5.求圆 x 2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 0 关于直线 l : x ? y ? 1 ? 0 对称的圆方程.

6

七:综合应用 1. (2003 春招北京文、理)已知直线 ax 别为|a|,|b|,|c|的三角形 ( ) D.不存在
? by ? c ? 0 ( abc ? 0 ) 与圆 x ? y
2 2

? 1 相切,则三条边长分

A.是锐角三角形 B.是直角三角形 C.是钝角三角形

2.(2010 全国卷 1 理数)已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为两切 点,那么 P A ? P B 的最小值为 (A) ? 4 ? 2 (B) ? 3 ? 2
x a ? y b ?1
??? ? ??? ?



) (C) ? 4 ? 2 2 (D) ? 3 ? 2 2 ( )

3.若圆 x 2 ? y 2 ? 1 与直线 A.1

(a>0,b>0)相切,则 ab 的最小值为 C. 2 D.不存在

B.2

4.(2006 湖南理)若圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 1 0 ? 0 上至少有三个不同点到直线 l : ax ? by ? 0 的距 离为 2 2 ,则直线 l 的倾斜角的取值范围是
?
,

(
? ?
, ]

)
[0,

?

?

A.[ 1 2 4 ]

B.[ 1 2 1 2 ]

,

5?

?
2

C.[ 6 3

D.

]

5. (2008 北京理) 过直线 y ? x 上的一点作圆 ( x ? 5) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 的两条切线 l1, l 2 , 当直线 l1, l 2 关于 y ? x 对称时,它们之间的夹角为( ) A. 30 ? B. 4 5 ? C. 6 0 ? D. 90 ?

6.过点 P(1,-2)的直线与圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 4 ? 0 相交于 A、B 两点,则弦 AB 中点 M 的轨迹 方程是?

7

7.过点 M(3,0)作直线 l 与圆 x2 + y2 =16 交于 A、B 两点,求直线 l 的倾斜角,使△AOB 的 面积最大,并求这个最大值.

PA PB 9.2002 北京理) ( 已知 P 是直线 3 x ? 4 y ? 8 ? 0 上的动点, , 是圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 8 ? 0

的两条切线, A , B 是切点, C 是圆心,那么四边形 PACB 面积的最小值是什么?

10.已知菱形ABCD的对角线为 AC 和

BD,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的

中点,求证 E、F、G、H 四个点在同一个圆上。

11.已知直线 l :x-y+3=0 及圆 C: x 2 ? ( y ? 2 ) 2 ? 4 ,令圆 C 在 x 轴同侧移动且与 x 轴相切。 ①圆心在何处时,圆在直线 l 上截得的弦最长? ②C 在何处时,l 与 y 轴的交点把弦分成 1﹕2?

8

12.(2008 海南、 宁夏文)已知 m∈R, 直线 l: x ? ( m 2 ? 1) y ? 4 m 和圆 C: 2 ? y 2 ? 8 x ? 4 y ? 1 6 ? 0 。 m x (1)求直线 l 斜率的取值范围; (2)直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为 1 的两段圆弧?为什么?
2

八:圆的参数方程(选讲) 1. 设点 P ( x , y ) 是圆 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 上任一点,若不等式 x ? y ? c ? 0 恒成立,则 c 的取值范 围是( A. [ ? 1 ? )
2, 2 ? 1]

B. [

2 ? 1, ? ? )

C. ( ? ? , ?
? x ? cos ? ? y ? sin ?

2 ? 1]

D. ( ? 1 ?

2,

2 ? 1)

2. (2002 全国新课程理、天津理)曲线 ? 最大值是( (A)
1 2

(? 为参数 ) 上的点到两坐标轴的距离之和的

) (B)
2 2

(C)1

(D) 2
s ?x ? 2 ? 3 co? ? ? ? y ? ?1 ? 3 s i n
7 10

3. ( 安 徽 卷 理 ) 设 曲 线 C 的 参 数 方 程 为
x ? 3y ? 2? 0

( ? 为参数) 直线 l 的方程为 ,

,则曲线 C 上到直线 l 距离为 B、2

10

的点的个数为( D、4



A、1

C、3

4.如果实数 a、b 满足 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 3 ,那么 5.(2004 北京理)曲线 C: ?
? x ? co s ? ? y ? ? 1 ? sin ?

y x

的最大值是

.

( ? 为参数)的普通方程是__________,如果曲线

C 与直线 x ? y ? a ? 0 有公共点,那么实数 a 的取值范围是_______________? x ? 1, ( t为 参 数 ) ? y ? 1? t 6. (天津卷理) 已知圆 C 的圆心是直线 ? 与 x 轴的交点, 且圆 C 与直线 x+y+3=0
9

相切,则圆 C 的方程为_________.

九:圆的极坐标方程(选讲) 1.( 2010 年广东理)(坐标系与参数方程选做题 15)在极坐标系(ρ,θ)(0 ≤ θ<2π)中, 曲线 ρ= 2 sin ? 与 p co s ? ? ? 1 的交点的极坐标为______.

十:几何证明(选讲) 1.(2010 几何证明选做题)已知 Rt ? ABC 的两条直角边 AC , BC 的长分别为 3 cm , 4 cm ,以 AC 为直 径的圆与 AB 交于点 D ,则
BD DA ? __________

.

2.(2010 年北京理)如图,圆 O 的弦 ED,CB 的延长线交于点 A。若 BD ? AE,AB=4, BC=2, AD=3,则 DE= = 。 CE

10


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