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【金版学案】2015届高考数学总复习 第十章 第六节古典概型课时精练 理


第六节

古典概型

1.(2013·南京模拟改编)从分别写有 0,1,2,3,4 的五张卡片中取出一张卡片, 记下数字 后放回, 再从中取出一张卡片. 则两次取出的卡片上的数字之和恰好等于 4 的概率是( ) 1 1 3 4 A. B. C. D. 2 5 5 5 解析:从 0, 1,2,3,4 五张卡片中取出两张卡片的结果有 25 种,数字之和恰好等于 4 的 1 结果有(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0),所以数字和恰好等于 4 的概率是 P= .故选 5 B. 答案:B 2.(2013·合肥质检)在正四面体的 6 条棱中随机抽取 2 条,则其 2 条棱互相垂直的概 率为( ) 3 2 1 1 A. B. C. D. 4 3 5 3 解析:总的取法有 15 种,由正四面体的性质可知,对棱垂直,故互相垂直的有 3 种, 1 所以所求概率为 ,故选 C. 5 答案:C 3.将一枚质地均匀的硬币先后抛三次,恰好出现一次正面朝上的概率为( 1 1 3 5 A. B. C. D. 2 4 8 8 )

解析:总事件数为 8,分别为:(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正, 反,反),(反 ,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反).“恰好出现 1 次 正面朝上”的事件为事件 A,包括(正,反,反),(反,正,反)和(反,反,正) 3 个.所求 3 事件的概率为 .故选 C. 8 答案:C 4.如图,三行三列的方阵有 9 个数 aij(i=1,2,3;j=1,2,3),从中任取三个数,则至 少有两个数位于同行或同列的概率是( )

?a ?a ?a
3 A. 7

11 21 31

a12 a22 a32

a13

a23

? ? a ?
33

4 B. 7

1 C. 14
3

13 D. 14
1 1 1

解析:从中任取三个数共有 C9=84 种取法,没有同行、同列的取法有 C3C2C1=6 种,至 6 13 少有两个数位于同行或同列的概率是 1- = .故选 D. 84 14 答案:D 5. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个, 其个位数为 0 的概率是 ( )

1

A.

4 9

1 B. 3

2 C. 9

1 D. 9

解析:设个位数与十位数分别为 y,x,则如果两位数之和是奇数,则 x,y 中必一个奇 1 1 数一个偶数:第一类,x 为奇数,y 为偶数共有:C5×C5=25;第二类,x 为偶数,y 为奇数 1 1 共有: C4×C5=20.两类共计 45 个, 其中个位数是 0, 十位数是奇数的两位数有 10,30,50,70,90 5 1 这 5 个数,所以个位数是 0 的概率为 P(A)= = .故选 D. 45 9 答案:D 6.袋中有 6 个小球,分别标有数字 1,2,3,4,5,6,甲、乙两人玩游戏,先由甲从袋中 任意摸出一个小球, 记下号码 a 后放回袋中, 再由乙摸出一个小球, 记下号码 b, 若|a-b|≤1 就称甲、乙两人“有默契”,则甲、乙两人“有默契”的概率为( ) 1 2 7 4 A. B. C. D. 9 9 18 9 解析:记甲、乙抽取的数字为(a,b),因为是有放回抽取,所以(a,b)的事件数为 6×6 =36,满足|a-b|≤1 的有 16 种:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(1,2), (2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),(4,5),(5,4),(5,6),(6,5).因此,所求概率为 16 4 P= = .故选 D. 36 9 答案:D 7.从一个正方体的 8 个顶点中任取 3 个,则以这 3 个点为顶点构成直角三角形的概率 为( ) 2 4 5 6 A. B. C. D. 3 7 7 7 解析:(法一)从正方体的 8 个顶点中任取 3 个有 C8=56 种取法,可构成的三角形有 56 种可能,正方体有 6 个表面和 6 个对角面,它们都是矩形(包括正方形),每一个矩形中的任 48 意 3 个顶点可构成 4 个直角三角形,共有 12×4=48 个直角三角形,故所求的概率为 P= 56 6 = .故选 D. 7 3 (法二)从正方体的 8 个顶点中任取 3 个有 C8=56 种取法, 可构成的三角形有 56 种可能, 所有可能的三角形分为直角三角形和正三角形两类,其中正三角形有 8 种可能(每一个顶点 56-8 6 对应一个),故所求的概率为 P= = .故选 D. 56 7 答案:D 8.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为 a,从{1,2,3}中随机选取一个数为 b,则 b>a 的概率是________. 解析:分别从两个集合中各取一个数,共有 15 种取法,其中满足 b>a 的有 3 种取法, 3 1 故所求事件的概率为 P= = . 15 5 1 答案: 5 9.从 1,2,3,4 这四个数中一次随机地取两个数,则其中一个数是另一个数的两倍的概
2
3

率是________. 解析:从 1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数,基本事件为:{1,2},{1,3},{1 ,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, 共 6 个, 符合“一个数是另一个数的两倍”的基本事件有{1,2}, {2,4}, 1 共 2 个,所以所求的概率为 . 3 1 答案: 3 10. (2012·浙江卷)从边长为 1 的正方形的中心和顶点这五点中, 随机(等可能)取两点, 2 则该两点间的距离为 的概率是________. 2

解析:设正方形 ABCD 的中心为 O,从 A、B、C、D、O 五点中,随机取两点,所有可能 2 结果为 AB,AC,AD,AO,BC,BD,BO,CD,CO,DO,共 10 种,其中距离为 的结果有 AO, 2 4 2 BO,CO,DO 共 4 种,故所求概率为 = . 10 5 2 答案: 5 1 11. 袋中有 3 只白球和 a 只黑球, 从中任取两只, 全是白球的概率是 , 则 a=________. 7 C3 1 2 2 解析:基本事件总数为 C3+a,两球都是白球包含的基本事件数为 C3,由题意得 2 = , C3+a 7 解得 a=4. 答案:4 12.从某小组的 2 名女生和 3 名男生中任选 2 人去参加一项公益活动. (1)求所选 2 人中恰有一名男生的概率; (2)求所选 2 人中至少有一名女生的概率. 解析:设 2 名女生为 a1,a2,3 名男生为 b1,b2,b3,从中选出 2 人的基本事件有:(a1, a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2, b3),共 10 种. (1)设“所选 2 人中恰有一名男生”的事件为 A, 则 A 包含的事件有: (a1, b1), (a1, b2), 6 3 (a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),共 6 种,∴P(A)= = .故所选 2 人中恰有一名 10 5 3 男生的概率为 . 5
3
2

(2)设“所选 2 人中至少有一名女生”的事件为 B,则 B 包含的事件有:(a1,a2),(a1, 7 b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),共 7 种,∴P (B)= .故所选 2 人 10 7 中至少 有一名女生的概率为 . 10 13.一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共 24 个,除颜色外完全相同,已知蓝色球 1 3 个.若从袋子中随机取出 1 个球,取到红色球的概率是 . 6 (1)求红色球的个数; (2)若将这三种颜色的球 分别进行编号,并将 1 号红色球,1 号白色球,2 号蓝色球和 3 号蓝色球这四个球装入另一个袋子中,甲乙两人先后从这个袋子中各取一个球(甲先取,取 出的球不放回),求甲取出的球的编号比乙大的概率.

x 1 解析:(1)设红色球有 x 个,依题意得 = ,解得 x=4,红色球有 4 个. 24 6 (2)记“甲取出的球的编号比乙的大”为事件 A, 所有的基本事件有(红 1, 白 1), (红 1, 蓝 2),(红 1,蓝 3),(白 1,红 1),(白 1,蓝 2),(白 1,蓝 3),(蓝 2,红 1),(蓝 2,白 1),(蓝 2,蓝 3),(蓝 3,红 1),(蓝 3,白 1),(蓝 3,蓝 2),共 12 个. 事件 A 包括的基本事件有(蓝 2,红 1),(蓝 2,白 1),(蓝 3,红 1),(蓝 3,白 1),(蓝 5 3,蓝 2),共 5 个,所以 P(A)= . 12
14.(2013·广东卷)某车间共有 12 名工人,随机抽取 6 名,他们某日加工零件个数的 茎叶图如图

所示,其中茎为十位数,叶为个 位数. (1)根据茎叶图计算样本均值; (2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人, 根据茎叶图推断该车间 12 名工人 中有几名优秀工人; (3)从该车间 12 名工人中,任取 2 人,求恰有 1 名优秀工人的概率. 17+19+20+21+25+30 132 解析:(1)样本均值为 = =22; 6 6 2 1 1 (2)由(1)知样本中优秀工人占的比例为 = ,故推断该车间 12 名工人中有 12× =4 6 3 3 名优秀工人. (3) 设事件 A:从该车间 12 名工人中,任取 2 人,恰有 1 名优秀工人,则 1 1 C4C8 16 P(A)= 2 = . C12 33

4


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