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山东省枣庄八中2014-2015学年高二上学期第二次段考数学试卷(文科) Word版含解析


山东省枣庄八中 2014-2015 学年高二上学期第二次段考数学试卷 (文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分. 1. (4 分)已知函数 f(x)=cos(2x+?)满足 f(x)≤f(1)对 x∈R 恒成立,则() A.函数 f(x+1)一定是偶函数 B. 函数 f(x﹣1)一定是偶函数 C. 函数 f(x+1)一定是奇函数 D.函数 f(x﹣1)一定是奇函数 2. (4 分)若 tanα>0,则() A.sinα>0 B.cosα>0

C.sin2α>0

D.cos2α>0

3. (4 分)在△ ABC 中,已知角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a=3,c=8,B=60°, 则△ ABC 的周长是() A.17 B.19 C.16 D.18 4. (4 分)在△ ABC 中,b=8,c=8 A.30° B.60° ,则∠A 等于() C.30°或 150° D.60°或 120°

5. (4 分)在等差数列{an}中,S10=120,那么 a1+a10 的值是() A.12 B.24 C.36 6. (4 分)在等比数列{an}中,已知 a1= ,a5=9,则 a3=() A.1 B. 3 C.±1

D.48

D.±3

7. (4 分)若 {an}是等比数列,a4a7=﹣512,a3+a8=124,且公比 q 为整数,则 a10=() A.256 B.﹣256 C.512 D.﹣512 8. (4 分)如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B、C 的俯角分别为 75°、30°,此时气 球的高是 60m,则河流的宽度 BC 等于()

A.240(

﹣1)m B.180(

﹣1)m C.120(

﹣1)m D.30(

+1)m

9. (4 分)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若

,则

=()

A.

B.

C.

D.

10. (4 分)在△ ABC 中, A. B.

,三边长 a,b,c 成等差数列,且 ac=6,则 b 的值是() C.
*

D.

11. (4 分)在数列{an}中,a1=2,2an+1=2an+1,n∈N ,则 a101 的值为() A.49 B.50 C.51 D.52 12. (4 分)已知方程(x ﹣2x+m) (x ﹣2x+n)=0 的四个根组成一个首项为 的等差数列,则 |m﹣n|等于() A.1 B. C. D.
2 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每题 4 分,共 16 分. 13. (4 分)如图,在△ ABC 中,∠B=45°,D 是 BC 边上的一点,AD=5,AC=7,DC=3,则 AB 的长为.

14. (4 分)数列{an}的通项公式 an=2n﹣9, (n∈N ) 则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a10|=. 15. (4 分)等比数列{an}的各项均为正数,且 a5a6+a3a8=16,则 log2a1+log2a2+…+log2a10 的值 为.

+

16. (4 分)已知 Sn,Tn 分别是等差数列{an},{bn}的前 n 项和,且

=

, (n∈N+)则

+

=.

三、解答题:本大题共 4 小题,共 36 分. 17. (8 分)△ ABC 的面积是 30,内角 A,B,C 所对边长分别为 a,b,c,cosA= (Ⅰ)求 ? ; .

(Ⅱ)若 c﹣b=1,求 a 的值. 18. (8 分)已知数列{an}前 n 项和为 Sn,且 Sn=n , (1)求{an}的通项公式 (2)设 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
2

19. (10 分)在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 (1)求 的值;



(2)若 cosB= ,△ ABC 的周长为 5,求 b 的长.

20. (10 分)成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加上 2、5、13 后成为等 比数列{bn}中的 b3、b4、b5. (Ⅰ)求数列{bn}的通项公式; (Ⅱ)数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求证:数列{Sn+ }是等比数列.

山东省枣庄八中 2014-2015 学年高二上学期第二次段考数 学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分. 1. (4 分)已知函数 f(x)=cos(2x+?)满足 f(x)≤f(1)对 x∈R 恒成立,则() A.函数 f(x+1)一定是偶函数 B. 函数 f(x﹣1)一定是偶函数 C. 函数 f(x+1)一定是奇函数 D.函数 f(x﹣1)一定是奇函数 考点: 余弦函数的奇偶性. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 依题意,f(1)是最大值,从而可求得 φ=2kπ﹣2,k∈Z,于是可求得 f(x+1)=cos2x, 继而可得答案. 解答: 解:显然 f(1)是最大值, 所以 f(1)=cos(2+φ)=1, ∴2+φ=2kπ,φ=2kπ﹣2,k∈Z, 所以 f(x)=cos(2x+2kπ﹣2)=cos(2x﹣2) , ∴f(x+1)=cos(2x+2﹣2)=cos2x, 所以 f(x+1)是偶函数. 故选 A.

点评: 本题考查余弦函数的奇偶性,求得 φ=2kπ﹣2,k∈Z 是关键,考查分析与运算能力, 属于中档题. 2. (4 分)若 tanα>0,则() A.sinα>0 B.cosα>0 考点: 专题: 分析: 解答: ∴

C.sin2α>0

D.cos2α>0

三角函数值的符号. 三角函数的求值. 化切为弦,然后利用二倍角的正弦得答案. 解:∵tanα>0, ,

则 sin2α=2sinαcosα>0. 故选:C. 点评: 本题考查三角函数值的符号,考查了二倍角的正弦公式,是基础题. 3. (4 分)在△ ABC 中,已知角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a=3,c=8,B=60°, 则△ ABC 的周长是() A.17 B.19 C.16 D.18 考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 利用余弦定理列出关系式,将 a,b 及 cosB 的值代入,得到关于 c 的方程,求出方程 的解即可得到 c 的值. 解答: 解:∵a=3,c=9,B=60°,∴由余弦定理 b =a +c ﹣2accosB,即:b =9+64﹣24,即 b=7, 则 a+b+c=18 故选:D. 点评: 此题考查了余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理是解本题的关 键. 4. (4 分)在△ ABC 中,b=8,c=8 A.30° B.60° ,则∠A 等于() C.30°或 150° D.60°或 120°
2 2 2 2

考点: 正弦定理的应用. 专题: 计算题. 分析: 由题意可得 值. 解答: 解:由题意可得 ∴sinA= , = bc?sinA=32 sinA, = bc?sinA=32 sinA,求出 sinA= ,即可得到∠A 的

∴∠A=30° 或 1500°, 故选 C. 点评: 本题主要考查正弦定理的应用,求出 sinA= ,是解题的关键,属于基础题.

5. (4 分)在等差数列{an}中,S10=120,那么 a1+a10 的值是() A.12 B.24 C.36 考点: 专题: 分析: 解答: =120

D.48

等差数列的前 n 项和. 计算题. 根据等差数列的性质可知, 项数之和为 11 的两项之和都相等, 即可求出 a1+a10 的值. 解:S10=a1+a2+…+a10=(a1+a10)+(a2+a9)+(a3+a8)+(a4+a8)+(a5+a6)=5(a1+a10)

所以 a1+a10=24 故选 B 点评: 考查学生灵活运用等差数列的性质,做题时学生要会把前 10 项结合变形. 6. (4 分)在等比数列{an}中,已知 a1= ,a5=9,则 a3=() A.1 B. 3 C.±1 D.±3

考点: 等比数列的通项公式. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由等比数列的性质可知, 解答: 解:∵a1= ,a5=9, 由等比数列的性质可知, ∴a3=±1 当 a3=﹣1 时, =﹣9 不合题意 =1 ,可求

∴a3=1 故选 A 点评: 本题主要考查了等比数列的性质的简单应用,属于基础试题 7. (4 分)若 {an}是等比数列,a4a7=﹣512,a3+a8=124,且公比 q 为整数,则 a10=() A.256 B.﹣256 C.512 D.﹣512 考点: 等比数列的通项公式. 专题: 计算题. 2 2 分析: 由题设条件知 a3 和 a8 是方程 x ﹣124x﹣512=0 的两个实数根,解方程 x ﹣124x﹣ 512=0,得 x1=128,x2=﹣4,由公比 q 为整数,知 a3=﹣4,a8=128,由此能够求出 a10.

解答: 解:{an}是等比数列, ∵a4a7=﹣512,a3+a8=124, ∴a3a8=﹣512,a3+a8=124, 2 ∴a3 和 a8 是方程 x ﹣124x﹣512=0 的两个实数根, 2 解方程 x ﹣124x﹣512=0, 得 x1=128,x2=﹣4, ∵公比 q 为整数, ∴a3=﹣4,a8=128, 5 ﹣4q =128,解得 q=﹣2, 2 ∴a10=a8?(﹣2) =128×4=512. 故选 C. 点评: 本题考查等比数列的通项公式的求法,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答, 注意合理地进行等价转化. 8. (4 分)如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B、C 的俯角分别为 75°、30°,此时气 球的高是 60m,则河流的宽度 BC 等于()

A.240(

﹣1)m B.180(

﹣1)m C.120(

﹣1)m D.30(

+1)m

考点: 解三角形的实际应用;余弦定理的应用. 专题: 解三角形. 分析: 由题意画出图形,由两角差的正切求出 15°的正切值,然后通过求解两个直角三角形 得到 DC 和 DB 的长度,作差后可得答案. 解答: 解:如图,

由图可知,∠DAB=15°,

∵tan15°=tan(45°﹣30°)= 在 Rt△ ADB 中,又 AD=60, ∴DB=AD?tan15°=60×(2﹣ )=120﹣60 在 Rt△ ADC 中,∠DAC=60°,AD=60, ∴DC=AD?tan60°=60 .

=





∴BC=DC﹣DB=60 ﹣(120﹣60 )=120( ∴河流的宽度 BC 等于 120( )m.

) (m) .

故选:C. 点评: 本题考查了解三角形的实际应用,考查了两角差的正切,训练了直角三角形的解法, 是中档题.

9. (4 分)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 A. B. C.

,则

=()

D.

考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 根据等差数列的前 n 项和公式,用 a1 和 d 分别表示出 s3 与 s6,代入 中,整理

得 a1=2d,再代入

中化简求值即可.

解答: 解:设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d, 由等差数列的求和公式可得 且 d≠0,





故选 A. 点评: 本题主要考查等比数列的求和公式,难度一般. 10. (4 分)在△ ABC 中, A. B.

,三边长 a,b,c 成等差数列,且 ac=6,则 b 的值是() C. D.

考点: 数列与三角函数的综合. 专题: 综合题. 分析: 根据三边长 a,b,c 成等差数列,可得 a+c=2b,再利用余弦定理及 ac=6,可求 b 的 值. 解答: 解:由题意,∵三边长 a,b,c 成等差数列 ∴a+c=2b ∵ ∴由余弦定理得 b =a +c ﹣2accosB=(a+c) ﹣3ac ∵ac=6 ∴b =6 ∴
2 2 2 2 2

故选 D. 点评: 本题以三角形载体,考查余弦定理的运用,考查数列与三角函数的综合,属于中档 题. 11. (4 分)在数列{an}中,a1=2,2an+1=2an+1,n∈N ,则 a101 的值为() A.49 B.50 C.51 D.52 考点: 数列递推式. 专题: 计算题. 分析: 先利用递推关系得出其为等差数列,再代入等差数列的通项公式即可. 解答: 解:由 2an+1=2an+1,得 an+1﹣an= , 故为首项为 2,公差为 的等差数列,所以 a101=a1+100d=2+100× =52. 故选 D. 点评: 本题是对数列递推关系式的考查.做这一类型题时,要注意观察递推关系式,找到 其隐含的结论,来解题.
2 2 *

12. (4 分)已知方程(x ﹣2x+m) (x ﹣2x+n)=0 的四个根组成一个首项为 的等差数列,则 |m﹣n|等于() A.1 B. C. D.

考点: 等差数列的性质;一元二次不等式的解法. 专题: 计算题. 分析: 设 4 个根分别为 x1、x2、x3、x4,进而可知 x1+x2 和 x3+x4 的值,进而根据等差数列 的性质,当 m+n=p+q 时,am+an=ap+aq.设 x1 为第一项,x2 必为第 4 项,可得数列,进而求 得 m 和 n,则答案可得. 解答: 解:设 4 个根分别为 x1、x2、x3、x4, 则 x1+x2=2,x3+x4=2, 由等差数列的性质,当 m+n=p+q 时,am+an=ap+aq. 设 x1 为第一项,x2 必为第 4 项,可得数列为 , , , , ∴m= ,n= .

∴|m﹣n|= . 故选 C 点评: 本题主要考查了等差数列的性质.解题的关键是运用了等差数列当 m+n=p+q 时, am+an=ap+aq 的性质. 二、填空题:本大题共 4 小题,每题 4 分,共 16 分.

13. (4 分)如图,在△ ABC 中,∠B=45°,D 是 BC 边上的一点,AD=5,AC=7,DC=3,则 AB 的长为 .

考点: 专题: 分析: 案. 解答:

余弦定理. 综合题. 先根据余弦定理求出∠ADC 的值,即可得到∠ADB 的值,最后根据正弦定理可得答 解:在△ ADC 中,AD=5,AC=7,DC=3, =﹣ ,

由余弦定理得 cos∠ADC=

∴∠ADC=120°,∠ADB=60° 在△ ABD 中,AD=5,∠B=45°,∠ADB=60°, 由正弦定理得 ∴AB= 故答案为: . ,

点评: 本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用,在解决问题的过程中要灵活运用正弦定 理和余弦定理.属基础题. 14. (4 分)数列{an}的通项公式 an=2n﹣9, (n∈N ) 则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a10|=52. 考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据通项公式判断出数列{an}是以 2 为公差、﹣7 为首项的等差数列,判断出正负项 对应的范围,再化简所求的式子,根据等差数列的前 n 项和公式求值. 解答: 解:因为数列{an}的通项公式 an=2n﹣9, 所以数列{an}是以 2 为公差、﹣7 为首项的等差数列, 当 n≤4 时,an<0;当 n≥5 时,an>0, 所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|a10| =﹣(a1+a2+a3+a4)+(a5+…+a10) =﹣[4×(﹣7)+ ]+[6×1+ ]=52,
+

故答案为:52. 点评: 本题等差数列的通项公式、前 n 项和公式,注意判断正负项对应的范围,属于中档 题.

15. (4 分)等比数列{an}的各项均为正数,且 a5a6+a3a8=16,则 log2a1+log2a2+…+log2a10 的值 为 15. 考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由条件并利用等比数列的定义和性质可得 8=a1a10, 把要求的式子化为 log( 2 a1a2…a10) 5 =log2(a1a10) ,运算求出结果. 解答: 解:等比数列{an}的各项均为正数,且 a5a6+a3a8=16,则 a5a6 =a3a8 =8=a1a10. 5 15 ∴log2a1+log2a2+…+log2a10=log2(a1a2…a10)=log2(a1a10) =log22 =15. 故答案为:15. 点评: 本题主要考查对数的运算性质,以及等比数列的定义和性质的应用,求出 8=a1a10, 是解题的关键,属于中档题.

16. (4 分)已知 Sn,Tn 分别是等差数列{an},{bn}的前 n 项和,且

=

, (n∈N+)则

+

=



考点: 数列的求和. 专题: 计算题. 分析: 由等差数列的性质,知 + = = ,由此能够求出结果.

解答: 解:∵Sn,Tn 分别是等差数列{an},{bn}的前 n 项和, 且 = , (n∈N+) ,



+

=

=

=

=



故答案为:



点评: 本题考查等差数列的通项公式和前 n 项和公式的应用,解题时要认真审题,仔细解 答,注意合理地进行等价转化. 三、解答题:本大题共 4 小题,共 36 分. 17. (8 分)△ ABC 的面积是 30,内角 A,B,C 所对边长分别为 a,b,c,cosA= .

(Ⅰ)求

?



(Ⅱ)若 c﹣b=1,求 a 的值. 考点: 余弦定理的应用;平面向量数量积的运算;同角三角函数间的基本关系. 专题: 计算题. 分析: 根据本题所给的条件及所要求的结论可知,需求 bc 的值,考虑已知△ ABC 的面积是 30,cosA= ,所以先求 sinA 的值,然后根据三角形面积公式得 bc 的值.第二问中求 a 的值, 得
2

根据第一问中的结论可知,直接利用余弦定理即可.根据同角三角函数关系,由 cosA= sinA 的值,再根据△ ABC 面积公式得 bc=156;直接求数量积 2bccosA,代入已知条件 c﹣b=1,及 bc=156 求 a 的值. 解答: 解:由 cosA= ,得 sinA= = . ?
2 2

.由余弦定理 a =b +c ﹣

又 sinA=30,∴bc=156. (Ⅰ)
2

?
2

=bccosA=156×
2

=144.
2

(Ⅱ)a =b +c ﹣2bccosA=(c﹣b) +2bc(1﹣cosA)=1+2?156?(1﹣

)=25,

∴a=5. 点评: 本题考查同角三角函数的基本关系,三角形面积公式,向量的数量积,利用余弦定 理解三角形以及运算求解能力. 18. (8 分)已知数列{an}前 n 项和为 Sn,且 Sn=n , (1)求{an}的通项公式 (2)设 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
2

考点: 数列的求和;等差数列的通项公式. 专题: 计算题. 2 分析: (1)将 Sn=n 中的 n 用 n﹣1 代替仿写出一个新的等式,两个式子相减,即得到函数 的通项公式. (2)将 an 的值代入 bn,将其裂成两项的差,利用裂项求和的方法求出数列{bn}的前 n 项 和 Tn. 2 解答: 解: (1)∵Sn=n 2 ∴Sn﹣1=(n﹣1) 两个式子相减得 an=2n﹣1; (2) = (

故 Tn= = 点评: 求数列的前 n 项和问题,应该先求出数列的通项,根据通项的特点选择合适的求和 方法,常见的求和方法有:公式法、倒序相加的方法、错位相减法、裂项相消法、分组法. 19. (10 分)在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 (1)求 的值; + + +…+ =



(2)若 cosB= ,△ ABC 的周长为 5,求 b 的长.

考点: 正弦定理的应用;余弦定理. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (1)利用正弦定理化简等式的右边,然后整理,利用两角和的正弦函数求出 值. (2)利用(1)可知 c=2a,结合余弦定理,三角形的周长,即可求出 b 的值. 解答: 解: (1)因为 所以 的

即:cosAsinB﹣2sinBcosC=2sinCcosB﹣cosBsinA 所以 sin(A+B)=2sin(B+C) ,即 sinC=2sinA 所以 =2

(2)由(1)可知 c=2a…① a+b+c=5…② b =a +c ﹣2accosB…③ cosB= …④ 解①②③④可得 a=1,b=c=2; 所以 b=2 点评: 本题是中档题,考查正弦定理、余弦定理的应用、两角和的三角函数的应用,函数 与方程的思想,考查计算能力,常考题型. 20. (10 分)成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加上 2、5、13 后成为等 比数列{bn}中的 b3、b4、b5. (Ⅰ)求数列{bn}的通项公式; (Ⅱ)数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求证:数列{Sn+ }是等比数列.
2 2 2

考点: 等比关系的确定;等比数列的通项公式;等比数列的前 n 项和.

专题: 等差数列与等比数列. 分析: (I)利用成等差数列的三个正数的和等于 15 可设三个数分别为 5﹣d,5,5+d,代 入等比数列中可求 d,进一步可求数列{bn}的通项公式 (II)根据(I)及等比数列的前 n 项和公式可求 Sn,要证数列{Sn+ }是等比数列

?

即可.

解答: 解: (I)设成等差数列的三个正数分别为 a﹣d,a,a+d 依题意,得 a﹣d+a+a+d=15,解得 a=5 所以{bn}中的依次为 7﹣d,10,18+d 依题意,有(7﹣d) (18+d)=100,解得 d=2 或 d=﹣13(舍去) 故{bn}的第 3 项为 5,公比为 2 由 b3=b1?2 ,即 5=4b1,解得 所以{bn}是以 首项,2 为公比的等比数列,通项公式为
2

(II)数列{bn}的前和



,所以



因此{

}是以 为首项,公比为 2 的等比数列

点评: 本题主要考查了等差数列、等比数列及前 n 和公式等基础知识,同时考查基本运算 能力


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