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陕西师范大学附中2014版《创新设计》高考数学一轮复习冲刺训练提升:平面向量


陕西师范大学附中 2014 版《创新设计》高考数学一轮复习冲刺训练提升:平面向量 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 项是符合题目要求的) 1.已知向量 a ? (2, t ), b ? (1,2), 若 t A. t1 【答案】C 2. ABC 的三内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c 设向量 p ? (a ? c, b) , q ? (b ? a, c ? a) , ? 若 p // q ,则角 C 的大小为( A. 共 60 分) 一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一

?

?

? ? ? ? ? t1 时, a ∥ b ; t ? t 2 时, a ? b ,则 (
C.

)

? ?4,t 2 ? ?1 B. t1 ? ?4,t 2 ? 1

t1 ? 4,t 2 ? ?1
? ?

D.

t1 ? 4,t 2 ? 1
?

? ? ?

) C.

? 6

B.

? 3

? 2

D.

2? 3

【答案】B 3.如图, D 是 ?ABC 边 BC 的中点, BA ? a 、 AC ? b ,已知 AD ? ? a

? ? b ,则(

)

A. ? ? C. ? ? 【答案】B

??

1 2 1 2
?

???
?

1 1 ,? ? 2 2 1 1 D. ? ? , ? ? ? 2 2
B. ? ? ?

cos b ? 4.已知向量 a ? (sin ? , ? ? 2sin ? ), ? (1 , 3) ,若 a∥ b ,则 tan? 的值等于(
A. ? 【答案】C

?

?

)

1 3

B.

1 3

C. ?1

D. 1

5.设 a ? b ? 4 3 ,若 a 在 b 方向上投影为 2 3 , b 在 a 方向上的投影为 3 ,则 a 与 b 的夹角 等于( A. ) B.

? ?

?

?

?

?

?

?

? 6

? 3
??? ???? ?

C.

? 2

D.

? 5 或 ? 6 6
)

【答案】A 6.在平行四边形 ABCD 中,若 AB ? AD ? AB ? AD ,则必有(

??? ???? ?

A. AD

????

? ?0

B. AB ? 0 或 AD D.ABCD 是正方形

??? ?

?

????

? ?0

C.ABCD 是矩形 【答案】C

7.已知 a,b 均为单位向量,它们的夹角为 60? ,那么 a ? 6a ? b 等于(
2

)

A. 1 ? 3 3 【答案】B 8.若 y ? sin ? ? ( ) A. ? ? 【答案】B

B.4

C.3

D.7

?? ? 1 ? ? 1 x ? ? 的图象按象量 a 平移得到 y ? sin ? ? x ? 的图象,则向量 a 等于 6? ? 2 ? ? 2
?? ? ,0? ?3 ? ? ? ? ,0? ? 6 ? ?? ? ,0? ?6 ?
???? ??? ?

? ? ? ,0? ? 3 ?
??? ?

B. ?

C. ? ?

D. ?

9. 如图, △ABC 中, AB |=3, AC |=1, D 是 BC 边中垂线上任意一点, AD · AB | | 则 ( - AC )的值是(

????

????

)

A.1 【答案】D

B.

2

C.2

D.4

10.已知 a , b 是两个单位向量,其夹角为 ? ,下面给出四个命题

?

?

? ? ? 2? p1 : a ? b ? 1 ? ? ? ?0, ? 3

? ? ? ? 2? ? , p2 : a ? b ? 1 ? ? ? ? ,? ? , ? ? ? 3 ? ? ? ?? ? p4 : a ? b ? 1 ? ? ? ? , ? ? , ?3 ?

? ? ? ?? p3 : a ? b ? 1 ? ? ? ?0, ? , ? 3?
其中真命题是( A. p1 , p4 【答案】A )

B. p1 , p3

C. p2 , p3

D. p2 , p4

11.已知向量 a ? (3, 2) , b ? (2, n) ,若 a与b 垂直,则 n ? ( A.-3 B.-2 C.2

?

?

?

?

) D.3

【答案】A 12.已知空间四边形 ABCD 每条边和对角线长都等于 a ,点 E,F,G 分别是 AB,AD,DC 的中 点,则下列各式中值为 a 的是( A. 2BA ? AC
2

) B. 2DA ? BD D.

??? ??? ? ? ??? ???? ?

??? ??? ? ?

C. 2FG ? AC 【答案】C

??? ??? ? ? 2EF ? DB
共 90 分) 。

第Ⅱ卷(非选择题 13.已知 a ? ( 4,2) ,则与 a 垂直的单位向量的坐标是 【答案】 (?

二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上)

5 2 5 ,? ) 5 5 ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? 14.已知 | a |? 2,| b |? 3, (a ? 2b) ? (2a ? b) ? ?1 ,则 a与b 的夹角为
?

.

【答案】 120

? 15.已知向量 a, b 夹角为 45 ,且 a ? 1, 2 a ? b ? 10 ;则 b ? _____

? ?

?

?

?

?

【答案】 3

2
? ? ? ?

16.已知向量 a ? (cos ?, sin ? ) ,向量 b ? ( 3 ,?1) 则 | 2 a ? b | 的最大值是 【答案】4

_____

三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.已知 | a |? 4 , | b |? 3 . (1)若 a 与 b 的夹角为 60 ,求 ( a ? 2b) ? (a ? 3b) ;
?

?

?

?

?

?

?

?

?

(2)若 (2a ? 3b) ? (2a ? b) ? 61,求 a 与 b 的夹角. 【答案】 (1)? | a |? 4,| b |? 3 且 a, b 夹角为 60

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

?

? ? ? ? ? a ? b ?| a | ? | b | ? cos 60? ? 6
? ? ? ? ? 2 ? ? ?2 ? (a ? 2b) ? (a ? 3b) ? a ? a ? b ? 6b ? ?44
(2) (2a ? 3b) ? (2a ? b) ? 4a ? 4a ? b ? 3b

?

?

?

?

?2

? ?

?2

? ? ? 37 ? 4a ? b ? 61
? ? ? 120?

? ? a ?b 1 cos ? ? ? ? ? ? 2 | a |?| b |

又 0 ? ? ? 180
?

?

18.已知向量 a = (cos? , sin? ) , ? ? [0, ? ] ,向量 b =( 3 ,-1) (1)若 a ? b ,求 ? 的值?; (2)若 2a ? b ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围。 【答案】(1)∵ a ? b ,∴ 3 cos? ? sin ? ? 0 ,得 tan ? ? (2)∵ 2a ? b = (2 cos? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

3 ,又 ? ? [0, ? ] ,所以 ? ?

? ?

π ; 3

3,2 sin ? ? 1) ,

所以

? ?2 ?1 ? 3 ? π? 2a ? b ? (2 cos θ ? 3 ) 2 ? (2 sin θ ? 1) 2 ? 8 ? 8? sin θ ? cos θ ? ? 8 ? 8 sin? θ ? ? , ?2 ? 2 ? 3? ? ?
π? 3 π π 2π ? ,1] , ? [? , ] ,∴ sin ? ? ? ? ? [? 3? 2 3 3 3 ?

又??∈[0, π ?],∴ ? ?



? ?2 ? ? ? ? 2a ? b 的最大值为 16,∴ 2a ? b 的最大值为 4,又 2a ? b ? m 恒成立,所以 m ? 4 。
??? ?

??? ? ? ? ? 1 ??? ??? 1 ??? AB , DA ? ? BA ,求点 C、D 和 CD 的坐标。 3 3 ???? ??? ? 3 , ( ) 【答案】设 C(x1,y1) ,D(x2,y2) ,由题意可得 AC =(x1+1,y1-2) AB ? 6 , ,
19.已知点 A(-1,2) ,B(2,8)及 AC ?

??? ? ??? ? , DA =(-1-x2,2-y2) BA =(-3,-6)

? ? ? 1 ??? ??? 1 ??? 1 AB , DA ? ? BA ,∴(x1+1,y1-2)= (3,6)=(1,2) 3 3 3 1 (-1-x2,2-y2)=- (-3,-6)=(1,2) ,则有 3
∵ AC ?

????

? x1 ? 1 ? 1 ? ?1 ? x2 ? 1 ? x1 ? 0 ? x2 ? ?2 和? ,解得 ? 和? ? ? y1 ? 4 ? y2 ? 0 ? y1 ? 2 ? 2 ? 2 ? y2 ? 2
∴C、D 的坐标分别为(0,4)和(-2,0) 、因此 CD =(-2,-4) 20.设向量 a

??? ?

? (2,4), b ? (m,?1) 。

(1)若 a ? b ,求实数 m 的值; (2)若 【答案】 (1)由 a ? b ,得 a ? b (2)由 a ? b 法 2:由

a ? b ? 5 ,求实数 m 的值。

? 2m ? 4 ? (?1) ? 0 ,得 m ? 2 ;

? (2 ? m,3) , a ? b ? (2 ? m) 2 ? 32 ? 5 ,解得 m ? 2 ,或 m ? ?6 。
2
2 2

a ? b ? 5 ,得 a ? b ? a ? 2a ? b ? b ? 20 ? 2(2m ? 4) ? m 2 ? 1 ? 25 ,

解得 m ? 2 ,或 m ?

?6 。
?
?

21.已知向量 a ? (cos x, sin x) , b ? (? cos x, cos x) , c ? (?1, 0) .

?

(1)若 x ?

?
6

? ? , 求向量 a 与 c 的夹角;
,
? ? 9? b ] 时,求函数 f ( x) ? 2a ? ? 1 的最大值。 8
π 时, 6 -cosx cos x+sin x · (-1) +0 6
2 2 2 2

(2)当 x ? [

?
2

【答案】 (1)当 x = cos ? a , c ? =

? ?

a·c = |a|·|c|

π 5π = -cosx=-cos = cos 。 6 6

? ? ? ? 5π ∵ 0≤ ? a , c ? ≤π ,∴ ? a , c ? = ;
(2) f(x)=2a·b+1=2(-cos x+sinxcosx)+1=2sinxcosx-(2cos x-1) π =sin2x-cos2x= 2 sin(2x- )。 4 ∵ x∈[ π 9π π 3π , ],∴2x ∈[ ,2π ], 2 8 4 4
2 2

π 2 故 sin(2x- )∈[-1, ], 4 2

? π 3π π = ,即 x= 时, f ( x) 取得最大值,且 f(x)max= f ( ) =1。 4 4 2 2 22. 在平面直角坐标系 xOy 中, O 是坐标原点, 点 平行四边形 ABCD 的三个顶点坐标为 A(2,3) ,
∴当 2x-

B(?1,?2) , C (?2,?1)
(1)求对角线 AC 及 BD 的长; (2)若实数 t 满足 ( AB ? t OC) ? OC ? 0 ,求 t 值. 【答案】 (1)设 D( x, y) ,由平行四边形 ABCD 中 BA ? CD ,得 (3,5) ? ( x ? 2, y ? 1) ,所以

x ? 1, y ? 4 ,
所以 D(1,4) ,

| AC |? 4 2 , | BD |? 2 10 ( AB ? t OC) ? OC ? 0 ,
所以 t ? ?

(2)因为 AB ? (?3,?5) , OC ? (?2,?1) 所以 AB ? OC ? t OC ? 6 ? 5 ? 5t ? 0 ,
2

11 5


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