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1.2.1 几个常见函数的导数


教学目标
1. 能应用由定义求导数的步骤推导几种常见函数的导数 公式,熟记正弦余弦函数的导数。 2. 在公式的推导过程中,培养学生的创新能力。

教学重难点
重点 利用前面已学的求导数的步骤对公式进行证明。 难点 公式的推导过程。

知识复习
1.导数的几何意义: 曲线在某点处的切线的斜率;
物理意义: 物体在某一时刻的瞬时度。 (瞬时速度或瞬时加速度)

知识复习
2、由定义求导数(三步法) 步骤:

(1) 求增量 ?y ? f ( x ? ?x ) ? f ( x );
?y f ( x ? ?x ) ? f ( x ) ( 2) 算比值 ? ; ?x ?x

?y (3) 当?x ? 0, ? f ?( x) ?x

新课讲解
公式 1: 函数y ? f ( x ) ? c的导数(c为常数)

(c ) ? 0
'

? ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x) ? c ? c ? 0 ?y 0 ? ? ?0 ?x ?x ?y ? y ' ? lim ? lim 0 ? 0 ?x ?0 ?x ?x ?0

新课讲解
公式 2: 函数y ? f ( x ) ? x的导数

( x) ? 1
'

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) x ? ?x ? x ? ? ? ?1 ?x ?x ?x ?y ? y ' ? lim ? lim 1 ? 1 ?x ?0 ?x ?x ?0

新课讲解
2 公式 3: 函数y ? f ( x ) ? x 的导数

( x ) ? 2x
2 '

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ?x ? ?x ? ? x ? ? ? ?x ?x ?x
2

2

x 2 ? 2 x ? ?x ? (?x) 2 ? x 2 ? ?x ? 2 x ? ?x

?y ? y ' ? lim ? lim (2 x ? ?x) ? 2 x ?x ?0 ?x ?x ?0

新课讲解
1 公式 4: 函数y ? f ( x ) ? 的导数 x 1 ' 1 ( ) ?? 2 x x

1 1 ? ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) x ? ?x x ? ? ? ?x ?x ?x x ? ( x ? ?x) 1 ? ?? 2 x( x ? ?x)?x x ? x ? ?x

?y 1 1 ? y ' ? lim ? lim (? 2 )?? 2 ?x ?0 ?x ?x ?0 x ? x ? ?x x

新课讲解
公式 5: 函数y ? f ( x ) ? x的导数 1 ' ( x) ? 2 x ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) x ? ?x ? x ? ? ? ?x ?x ?x ( x ? ?x ? x )( x ? ?x ? x ) ? ?x( x ? ?x ? x ) 1 ? x ? ?x ? x ?y 1 1 ? y ' ? lim ? lim ? ?x ?0 ?x ?x ?0 x ? ?x ? x 2 x

举例分析
例 1. 求下列函数的导数 .

(1)x

3

1 (2) 2 x

(3) x

练习 求下列函数的导数 .
1 (1) y ? x (2) y ? x (3) y ? 3 x 2 x 3 (4) y ? x (5) y ? x
5 6

课堂小结
几种常见函数的导数公式

(c ) ? (c为常数) ( x ) ? 1 0
' '

( x) ?
'

1 2 x

( x ) ? 2x
2 '

1 ' 1 ( ) ?? 2 x x


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