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人教版新课标高中数学精品系列课件 选修2-1 3.2立体几何中的向量方法(四课时全)_图文

前面,我们把 平面向量 推广到 空间向量 向量 渐渐成为重要工具 立体几何问题 (研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形) 从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用. 复习: 共线向量定理: ??? ? ? 对空间任意两个向量a、 ( b b ? 0), a // b的 ? ? 充要条件是存在实数?,使a=? b。 共面向量定理: 如果两个向量a, b不共线,则向量 p与向量a, b 共面的充要条件是存在 实数对x,y,使 p=x a+yb。 思考1: 1、如何确定一个点在空间的位置? 2、在空间中给一个定点A和一个定方向(向量), 能确定一条直线在空间的位置吗? 3、给一个定点和两个定方向(向量),能确定一 个平面在空间的位置吗? 4、给一个定点和一个定方向(向量),能确定一 个平面在空间的位置吗? 一、点的位置向量 在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中 ??? ? 任意一点P的位置就可以用向量OP来表示。我们把 ??? ? 向量OP称为点P的位置向量。 P O 二、直线的向量参数方程 空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 个定点 A 以及一个定方向确定. l P , 对于直线 l ??? 上的任一点 P ? ??? ? 存在实数 t 使得 AP ? t AB a B A 此方程称为直线的向量参数方程。这 ? 样点A和向量 a 不仅可以确定直线 l 的位置,还可以具体写出l上的任意一 点。 ??? ? ??? ? ? OP ? OA ? ta , ??? ? ??? ? ??? ? OP ? xOA ? yOB (x ? y ? 1) 三、平面的法向量 空间中平面 ? 的位置可以由 ? 内两条相 交直线来确定. ? n 对于平面 ? 上的任一点 P , ? P b 存在有序实数对 ( x, y) ,使得 ? ??? ? ? ? ? O a OP ? xa ? yb 置,还可以具体表示出 ? 内的任意一点。 除 此之外, 还可以用垂直于平面的直线的方向向 量(这个平面的法向量)表示空间中平面的位置. ?? 这样,点O与向量 a、 b 不仅可以确定平面?的位 ? 平面的法向量:如果表示向量 n 的有向线段所在 ? ,则称这个向量垂直于平 直线垂直于平面 ? ? ? 面 ? ,记作 n ⊥? ,如果 n⊥? ,那 么 向 量 n 叫做平面 ? 的法向量. ? n 给定一点 A 和一个向量 , 那么 ? l 过点A,以向量 n 为法向量的平面是 ? n 完全确定的. A 几点注意: 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都 互相平行 ? ; 3.向量 ?? n 是平面的法向量,向 量m 是与平面平行或在平面 ? ?? 内,则有 n ? m ? 0 ? 问题:如何求平面的法向量? (1)设出平面的法向量为 n ? ( x, y, z) (2)找出(求出)平面内的 两个不共线的 向量的坐标a ? (a1, b1, c1 ),b ? (a2 , b2 , c2 ) (3)根据法向量的定义建立 关于x, y, z的 ?n ? a ? 0 方程组? ?n ? b ? 0 (4)解方程组,取其中的一 个解,即得法向量。 ??? ? ??? ? 例 例1 2:已知AB ? (2, 2,1), AC ? (4,5,3), 求平面ABC的 单位法向量。 ? 解:设平面的法向量为n ? (x,y,z), ? ??? ? ? ???? 则n ? AB, n ? AC ? (x,y,z) ?(2, 2,1) ? 0,(x,y,z) ? (4,5,3) ? 0, 1 ? ?2 x ? 2 y ? z ? 0 ?x ? 即? , 取z ? 1,得 ? 2 ?4 x ? 5 y ? 3 z ? 0 ? y ? ?1 ? ? 3 ? 1 ? n ? ( , ?1,1), | n |? 2 2 1 2 2 ? 求平面ABC的单位法向量为 ? ( , - ,) 3 3 3 思考2: 因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的 位置,所以我们应该可以利用直线的方向向量与平 面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、 夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两 直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗? 你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的 位置关系以及它们二面角的大小吗? ? ? 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ? ? ? 的法向量分别为 u, v ,则 ? ? ? ? 线线平行 l ∥ m ? a ∥ b ? a ? kb ; ? ? ? ? 线面平行 l ∥ ? ? a ? u ? a ? u ? 0 ; ? ? ? ? 面面平行 ? ∥ ? ? u ∥ v ? u ? kv . ? 设直线l的方向向量为a ? (a1 , b1 , c1 ), 平面?的 注意:这里的线线平行包括线线重合,线面平行 ? 法向量为 包括线在面内,面面平行包括面面重合 . ? u ??(a2 , b2 , c2 ),则 l // ? ? a ? u ? 0 ? a1a2 ? b1b2 ? c1c2 ? 0; 四、平行关系: 五、垂直关系: ? ? 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ? ? ? 的法向量分别为 u, v ,则 ? ? ? ? 线线垂直 l ⊥ m ? a ⊥ b ? a ? b ? 0 ; ? ? ? ? 线面垂直 l ⊥ ? ? a ∥ u ? a ? ku ; 面面垂直 ? ⊥ ? ? u ⊥ v ? u ? v ? 0. ? ? 若a ? (a1, b1, c1 ), u ? (a2 , b2 , c2 ),则 ? ? ? ? l ? ? ? a // u ? a ? ku ? a1 ? ka2 , b1 ? kb2

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