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§2.2.2对数函数及其性质(第一时)

§2.2.2 对数函数及其性质(第一时)
一.教学目标 1.知识技能 ①理解对数函数的概念,掌握对数函数的性质; ②能根据对数函数的图象,画出含有对数式的函数的图象并研究它们的性质;

?掌握对数函数的单调性及其判定,会进行同底数的对数和不同底数的对 数的大小比较加深对对数函数和指数函数的性质的理解;
2.过程与方法 通过对数函数有关性质的研究, 培养观察、 分析归纳的思维能力以及数学交流能力增强 学习的积极性,同事培养学生倾听、接受别人意见的优良品质; 3.情感、态度与价值观 ①培养学生数形结合、分类讨论的数学思想以及分析推理的能力; ②培养学生严谨的科学态度及数学应用意识; 二.教学重点、难点 1、重点:理解对数函数的定义,掌握对数函数的图象和性质. 2、难点:底数 a 对图象的影响及对数函数性质的作用. 三.教学过程 1.导入新课 在 2.2.1 的例 6 中,考古学家利用 lo g
5730 1 2

P 估算出土文物或古遗址的年代,对于

每一个 C14 含量 P,通过关系式,都有唯一确定的年代 t 与之对应.同理,对于每一个对数 式 y ? lo g a 中的 x , 任取一个正的实数值, y 均有唯一的值与之对应,所以 y ? lo g a 关 于 x
x x

的函数. 2.对数函数的概念 一般地,我们把函数 y ? lo g a x ( a >0 且 a ≠1)叫做对数函数,其中 x 是自变量,函 数的定义域是(0,+∞) . 1. 提问: .在函数的定义中,为什么要限定 a >0 且 a ≠1 ? (1)

(2).为什么对数函数 y ? lo g a x ( a >0 且 a ≠1)的定义域是(0,+∞)? 组织学生充分讨论、 交流, 使学生更加理解对数函数的含义, 从而加深对对数函数的理解. 答:①根据对数与指数式的关系,知 y ? lo g a x 可化为 a ? x ,由指数的概念,要使
y

a ? x 有意义,必须规定 a >0 且 a ≠1.
y

②因为 y ? lo g a x 可化为 x ? a ,不管 y 取什么值,由指数函数的性质, a >0,所以
y
y

x ? (0, ? ? ) .

2. 思维拓展
l o g x 前面的系数必须是 1,真数是自变量 X,否则不是对数函数. 例如 a 1 y ? l o ga ? x ? 1 ? , y ? 2 log a x , y ? log a x ? 等函数都不是对数函数; 2 ? 对数函数 y ? lo g a x ( a >0 且 a ≠1)的定义域是(0,+∞) ;

?

? 求对数函数的定义域时,应注意:对数的真数大于 0,底数大于 0 且 不等于 1,对含有字母的式子要分类讨论并使式子符合实际背景。 例 1.已知下列函数:

? ?

y ? log
y ? ln x

1 2

? ? x ? (x<0)

? y ? 2 log 4 ? x ? 1? (x>1)
④ y ? log

(x>0)

?a

2

?a

?x

(x>0 ,a 是常数)

其中是对数函数的是____________________。 例题 2:求下列函数的定义域 (1) y ? lo g a x
2

(2) y ? lo g a (4 ? x )
2
2

( a >0 且 a ≠1)

分析:由对数函数的定义知: x >0; 4 ? x >0,解出不等式就可求出定义域.
2 x 解: (1)因为 x >0,即 x ≠0,所以函数 y ? lo g a 的定义域为 ? x | x ? 0 ? .

(2)因为 4 ? x >0,即 x <4,所以函数 y ? lo g a

(4? x)

的定义域为 ? x | x < 4 ? .

下面我们来研究函数的图象,并通过图象来研究函数的性质: 先 完 成 下 表 , 并 根 据 此 表 用 描 点 法 画 出 函 数 y ? lo g 2 的 图 象 ,
x

再画出

y ? lo g 0 .5 的 图 象 .
x

1

x

2

1 0

2 1

4 2

6 2.58

8 3

12 3.58

16 4

y

-1

y
y ? lo g 0 .5 x



x

y ? lo g 2 x

根据换底公式可以得到 y ? lo g 1 x ? ? lo g 2 x ,若点 ( x , y ) 在 y ? lo g 2 x 的图象上,则点
2

( x , ? y ) 在 y ? lo g 1 x 的图象上. 由于 x , ? y ) ( x , ? y ) ( 与 关于 x 轴对称, 因此,y ? lo g 1 x
2
2

的图象与 y ? lo g 2 x 的图象关于 x 轴对称 . 所以,由此我们可以画出 y ? lo g 1 x 的图象 .
2

先由学生自己画出 y ? lo g 1 x 的图象,再由电脑软件画出 y ? lo g 2 x 与 y ? lo g 1 x 的图
2 2

象. 探究:选取底数 a ( a >0,且 a ≠1)的若干不同的值,在同一平面直角坐标系内作出相应的 对数函数的图象.观察图象,你能发现它们有哪些特征吗?
4 .作法:用多媒体再画出 y ? lo g 4 x , y ? lo g 3 x , y ? lo g 1 x 和 y ? lo g 1 x

3

4

y ? lo g 3 x
2

y ? lo g 4 x

-5

0

5

y ? lo g 1 x
-2

y ? lo g 1 x
3

4

提问:通过函数的图象,你能说出底数与函数图象的关系吗?函数的图象有何特征, -4 性质又如何? 先由学生讨论、交流,教师引导总结出函数的性质. (投影) 图象的特征 (1)图象都在 y 轴的右边 (2)函数图象都经过(1,0)点 (3)从左往右看,当 a >1 时,图象逐渐 上升,当 0< a <1 时,图象逐渐下降 . 函数的性质 (1)定义域是(0,+∞) (2)1 的对数是 0 (3)当 a >1 时, y ? lo g a 是增函数,当
x

0< a <1 时, y ? lo g a x 是减函数. (4)当 a >1 时

x >1,则 lo g a x >0
(4)当 a >1 时,函数图象在(1,0)点 右边的纵坐标都大于 0,在(1,0)点左 边的纵坐标都小于 0. 当 0< a <1 时,图 象正好相反,在(1,0)点右边的纵坐标 都小于 0,在(1,0)点左边的纵坐标都 大于 0 . 0< x <1, lo g a x <0 当 0< a <1 时

x >1,则 lo g a x <0
0< x <1, lo g a x <0

由上述表格可知,对数函数的性质如下(先由学生仿造指数函数性质完成,教师适当 启发、引导) :
a >1

0< a <1

图 象

性 质

(1)定义域(0,+∞) ; (2)值域 R; (3)过点(1,0) ,即当 x =1, y =0; (4)在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)是上减函数

例题训练: 例 1.(课本例 8) 比较下列各组数中的两个值大小 (1) lo g 2 3 .4 , (2) log 0 .3 1.8 , (3) lo g a 5 .1 ,
lo g 2 8 .5
log 0 .3 2.7 lo g a 5 .9

( a >0,且 a ≠1)

分析:由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成: (1)解法 1:用图形计算器或多媒体画出对数函数 y ? lo g 2 x 的图象.在图象上,横坐 标为 3、4 的点在横坐标为 8.5 的点的下方: 所以, lo g 2 3 .4 ? lo g 2 8 .5 解法 2: 由函数 y ? lo g 2 x 在 R +上是单调增函数, 3.4<8.5, 且 所以 lo g 2 3 .4 ? lo g 2 8 .5 . 解法 3:直接用计算器计算得: lo g 2 3 .4 ? 1 .8 , lo g 2 8 .5 ? 3 .1 (2)第(2)小题类似 (3)注:底数是常数,但要分类讨论 a 的范围,再由函数单调性判断大小. 解法 1:当 a >1 时, y ? lo g a x 在(0,+∞)上是增函数,且 5.1<5.9. 所以, lo g a 5 .1 ? lo g a 5 .9 当 a ? 1 时, y ? lo g a x 在(0,+∞)上是减函数,且 5.1<5.9. 所以, lo g a 5 .1 ? lo g a 5 .9 解法 2:转化为指数函数,再由指数函数的单调判断大小不一, 令 b1 ? lo g a 5 .1, 则 a
b1

? 5 .1,

令 b 2 ? lo g a 5 .9, 则 a

b2

? 5 .9, 则 则 a

b2

? 5 .9

当 a >1 时, y ? a 在 R 上是增函数,且 5.1<5.9
x

所以, b1 < b 2 ,即 lo g a 5 .1 < lo g a 5 .9 当 0< a <1 时, y ? a 在 R 上是减函数,且 5.1>5.9
x

所以, b1 < b 2 ,即 lo g a 5 .1 > lo g a 5 .9 说明:先画图象,由数形结合方法解答 课堂练习:P73 练习 第 1、2,3题 补充练习 1.已知函数 y ? f ( 2 ) 的定义域为[-1,1],则函数 y ? f (lo g 2 x ) 的定义域为
x

2.求函数 y ? 2 ? lo g 2 x ( x ? 1) 的值域. 3.已知 lo g m 7 < lo g n 7 <0,按大小顺序排列 m, n, 0, 1 4.已知 0< a <1, b>1, ab>1. 比较 lo g a
1 b , lo g a b , lo g b 1 b 的大小

归纳小结: 1. 对数函数的概念 2. 对数函数的图象与性质,列表展现. 作业: 课本习题 2.2 A 组 7、8


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