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2015-2016学年高中数学 3.2第2课时 概率的一般加法公式(选学)课件 新人教B版必修3


第三章 3.2 古典概型
第2课时 概率的一般加法公式(选学)

1

课前自主预习

2

课堂典例讲练

4

思想方法技巧

3

易错疑难辨析

5

课 时 作 业

课前自主预习

高二·一班有60%的同学参加数学竞赛,有50%的同学参加

物理竞争,有20%的同学既参加数学竞赛,又参加物理竞赛,
求参加数学或物理竞赛的人所占的比例.

1.事件的交(或积)
若某事件发生当且仅当 ____________________________ , 事件A发生且事件B发生 则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件 ( 或称积事件 ) ,记作

A∩B(或AB).
(1)用集合形式表示,如图. (2)事件A与事件B的交事件等于事件 B与事件A的交事件, 即A∩B=B∩A. 例如:在投掷骰子的试验中,事件 A = { 出现的点数大于

3},B={出现的点数小于5},则A∩B={出现的点数为4}.

2.概率的一般加法公式
设 事 件 A 、 B 是 Ω 中 两 个 事 件 , 则 P(A∪B) = P(A)+P(B)-P(A∩B) ________________________. 如图所示,设事件 Ω 的基本事件总数为 n,事件 A 、B 包含 的基本事件的个数分别为m1、m2,事件A∩B包含的基本事件数

为m,易知A∪B中包含的基本事件数为m1+m2-m,

A∪B中包含基本事件数 ∴P(A∪B)= Ω中基本事件总数 m1+m2-m m1 m2 m = = n + n -n n =P(A)+P(B)-P(A∩B). (1)当 A、B 为互斥事件时,∵P(A∩B)=0, ∴P(A∪B)=P(A)+P(B). (2)应用公式时, 一定要把握好 A 与 B 的公共基本事件数. 即 A∩B 的基本事件数.

1.随机投掷两枚硬币,事件 A=“至少一次正面朝上”, 事件 B=“至少一次反面朝上”,则 P(A∪B)=( 3 A.2 C.1 1 B.2 D.0 )

[答案] C
3 3 1 [解析] P(A)=4,P(B)=4,P(A∩B)=2, ∴P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=1; 或∵A∪B=Ω,∴P(A∪B)=1,选 C.

2 .某公司所属三个分厂的职工情况为:第一分厂有男职 工4 000人,女职工1 600人;第二分厂有男职工3 000人、女职 工1 400人;第三分厂有男职工800人,女职工500人,如果从该 公司职工中随机抽选一人,求该职工为女职工或第三分厂职工

的概率.
[解析] 设 A 表示抽中女职工的事件,则 1 600+1 400+500 35 P(A)= = ; 4 000+1 600+3 000+1 400+800+500 113 B 表示抽中第三分厂职工的事件,

800+500 13 则 P(B)= 11 300 =113; C 表示抽中第三分厂女职工的事件,则有 C=A∩B, 500 5 其概率为 P(C)=P(A∩B)=11 300=113. 抽中女职工或第三分厂职工的概率,即为 P(A∪B),有 35+13-5 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)= ≈0.381. 113

课堂典例讲练

概率的加法公式 甲、乙等四人参加4×100 m接力,求甲跑第一
棒或乙跑第四棒的概率.
[解析] 设事件 A 为“甲跑第一棒”,事件 B 为“乙跑第 1 1 四棒”,则 P(A)=4,P(B)=4.计算 P(A∩B),记 x 为甲跑的棒 数, y 为乙跑的棒数, 记为(x, y), 则共有可能结果 12 种: (1,2), (1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),(2,1),(3,1),(4,1),(3,2),(4,2), (4,3), 而甲跑第一棒, 乙跑第四棒只有一种可能(1,4), 故 P(A∩B) 1 =12.所以,甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率为: 1 1 1 5 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=4+4-12=12.

(1)甲、乙两人各射击一次,命中率各为0.8和0.5 ,两人同
时命中的概率为0.4,求甲、乙两人至少有一人命中的概率; (2)加工某一零件共需经过两道工序,各道工序互不影响, 次品率为2%和3%,已知同为次品的情况为0.06%,求加工出来 的零件的次品率; (3)甲、乙两人随机地入住A、B、C、D四个房间,求甲、 乙至少一人入住第一个房间A的概率.

[解析]

(1)至少有一人命中,可看成是甲命中和乙命中这

两个事件的并事件. 设事件A为“甲命中”,事件B为“乙命中”,则“甲、乙 两人至少有一人命中 ” 为事件 A∪B ,所以 P(A∪B) = P(A) + P(B)-P(A∩B)=0.8+0.5-0.4=0.9.

(2) 若加工出来的零件为次品,则至少有一道工序产生次
品,如设事件A为“第一道工序出现次品”,事件B为“第二道 工序出现次品 ” ,则 “ 加工出来的零件是次品 ” 为事件 A∪B.

所以, P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 2% + 3% - 0.06% =
4.94%.

(3)设事件 A 为“甲住 A”,事件 B 为“乙住 A”,则 P(A) 1 1 =4,P(B)=4.事件 A∩B 为“甲、乙均住 A”,其概率 P(A∩B) 1 1 1 1 7 =16.所以 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=4+4-16=16.
[点评] 解. 两个事件至少有一个发生时用概率的加法公式求

概率的一般加法公式在实际中的应用 一栋楼上住有 50 户人家,其中有电脑的有 43

户,有钢琴的有 36 户,这两样都没有的只有 1户人家,试求下
列事件的概率. (1)有电脑的; (2)有钢琴的; (3)既有电脑又有钢琴的; (4)有电脑或钢琴的.

[ 解析 ]

“ 有电脑或钢琴的 ” 可看作事件 “ 有电脑 ” 和

“有钢琴”的并事件,或者看作两样都没有的对立事件. (1)由于楼上共 50 户,有电脑的 43 户,故所求事件的概率 43 为50=0.86. 36 (2)有钢琴的 36 户,故所求事件的概率为50=0.72.

(3)既有钢琴又有电脑的共 43+36+1-50=30 户,故所求 30 事件的概率为50=0.6. (4)有电脑或钢琴的概率为:P=0.86+0.72-0.6=0.98. 或用对立事件求解:由于这二者都没有的只有一户,故所 1 求事件的概率 P=1-50=1-0.02=0.98.

两人独立地解决同一个问题,甲解决这个问题的概率是
P1,乙解决这个问题的概率是 P2,两人同时解决的概率是P3, 则这个问题解决的概率是( A.P1+P2-P3 C.P1+P2+P3-P1P2 [答案] A [解析] 由概率的一般加法公式得这个问题解决的概率为 P1+P2-P3,故选A. ) B.P1+P2-P1P2-P3 D.P1P2+P1+P2-P3

易错疑难辨析

一人抛掷两枚骰子, 问向上一面数字至少出现一 个 5 或 6 的概率.
[错解] 错解一:含数字 5 的有 6 个,含数字 6 的有 6 个, 6+6 1 ∴所求概率 P= 36 =3. 错解二: 设事件 A=“含数字 5 的”, B=“含数字 6 的”, 11 11 ∴P(A)=36,P(B)=36, 11 ∴P(A+B)=P(A)+P(B)=18.

[辨析]

错解一中“含数字5的有6个,含数字6的有6个”

纯属凭空想像,没有什么依据;错解二中,事件A与B不是互斥 事件,不能应用互斥事件概率加法公式,应该用一般加法公 式. [正解] 解法一:同时抛掷两枚骰子可能结果可列表表示 1 2 3 4 5 6

如下: 1 2 3 4 5 6

(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)

(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)

(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)

(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

共有 36 个结果,至少含一个数字 5 或 6 的结果有 20 个, 20 5 ∴所求概率 P=36=9. 解法二:利用对立事件求解,至少含有一个数字 5 或 6 的 对立事件是没有数字 5 和 6,没有数字 5 和 6 的结果从表中可 16 5 数出共 16 个,∴所求概率 P=1-36=9.

解法三:记事件 A=“向上一面含数字 5 的”, 11 11 B=“向上一面含数字 6 的”,∴P(A)=36,P(B)=36, 2 P(A· B)=36, 11 11 2 5 ∴P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A· B)=36+36-36=9.

思想方法技巧

分类讨论思想 同时抛掷红、黄两颗骰子,事件 A=“红骰子点 数大于 3”,事件 B=“蓝骰子点数大于 3”,求事件 A∪B= “至少有一颗骰子点数大于 3”的概率.
[解析] 基 本 事 件 空 间 Ω = {(x , y)|x ∈ N , y ∈ N,1≤x≤6,1≤y≤6}中共包含等可能发生的基本事件总数为 36 个(可用平面直角坐标系中的点表示)A 中元素有 3×6=18 个, B 中元素个数有 3×6=18 个, A∩B={(4,4), (4,5), (4,6), (5,4), (5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)}中共 9 个基本事件, 18 18 9 3 ∴P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=36+36-36=4.

[点评]

在写出基本事件空间中的基本事件时,若涉及的

元素较多且明显具有不同的特征时,要注意分类讨论思想的应 用,以避免基本事件发生重复或遗漏.


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