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高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.2函数的极值与导数优化练习

最新中小学教案、试题、试卷 3.3.2 函数的极值与导数 [课时作业] [A 组 基础巩固] 1.当函数 y=x·2 取极小值时,x=( x ) A. 1 ln 2 1 B.- ln 2 C.-ln 2 D.ln 2 1 x x 解析:y′=2 +x·2 ln 2=0,∴x=- . ln 2 答案:B 2.函数 f(x)=sin x+ ,x∈(0,π )的极大值是( 2 A. 3 π + 2 6 3 π + 2 3 x ) B.- 3 π + 2 3 C. π D.1+ 4 1 解析:f ′(x)=cos x+ ,x∈(0,π ), 2 1 2π 由 f ′(x)=0 得 cos x=- ,x= . 2 3 ? 2π ? ?2π ,π ?时 f ′(x)<0, 且 x∈?0, ?时 f ′(x)>0;x∈? ? 3 ? ? ? 3 ? 2π ∴x= 时, 3 f(x)有极大值 f? 答案:C ?2π ?= 3+π . ? ? 3 ? 2 3 3 2 2 3.已知函数 f(x)=x +ax +bx+a 在 x=1 处有极值 10,则 f(2)等于( A.11 或 18 B.11 3 2 2 ) C.18 D.17 或 18 解析:∵函数 f(x)=x +ax +bx+a 在 x=1 处有极值 10, ∴f(1)=10,且 f ′(1)=0, ? ?1+a+b+a =10, 即? ?3+2a+b=0, ? 2 解得? ? ?a=-3, ?b=3, ? 或? ? ?a=4, ?b=-11. ? 最新中小学教案、试题、试卷 1 最新中小学教案、试题、试卷 ?a=-3, ? ?b=3 ? 而当? 时,函数在 x=1 处无极值, 3 2 故舍去.∴f(x)=x +4x -11x+16, ∴f(2)=18.故选 C. 答案:C 4.函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),其导函数 f ′(x)在(a,b) 内的图象如图所示,则函数 f(x) 在开区间 (a , b) 内的极大值点有 ( ) B.2 个 C.3 个 D.4 个 A.1 个 解析:依题意,记函数 y=f ′(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标自左向右依次为 x1,x2, x3,x4,当 a<x<x1 时,f ′(x)>0;当 x1<x<x2 时,f ′(x)<0;当 x2<x<x4 时,f ′(x)≥0; 当 x4<x<b 时,f ′(x)<0.因此,函数 f(x)分别在 x=x1,x=x4 处取得极大值,选 B. 答案:B 5.已知 f(x)=x -px -qx 的图象与 x 轴切于(1,0),则 f(x)的极值情况是 ( 1 A.极大值为 f( ),极小值为 f(1) 3 1 B.极大值为 f(1),极小值为 f( ) 3 1 C.极大值为 f( ),没有极小值 3 D.极小值为 f(1),没有极大值 解析:把(1,0)代入 f(x)=x -px -qx 得 1-p-q=0.① ∵f′(x)=3x -2px-q, 由题意知 f′(1)=3-2p-q=0.② 由①②解得? ? ?p=2 ?q=-1 ? 2 3 2 3 2 ) 1 2 ∴f′(x)=3x -4x+1,令 f′(x)=0 得 x1=1 或 x2= . 3 1 由 f′(x)的图象知当 x∈(-∞, )和 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0 3 1 1 当 x∈( ,1)时,f′(x)<0,故极大值为 f( ),极小值为 f(1). 3 3 答案:A 6.已知函数 f(x)=ax +bx +c,其导数 f′(x)的图象如图所示,则函数 的极小值是________. 解析:依题意 f′(x)=3ax +2bx. 由图象可知,当 x<0 时,f′(x)<0, 2 3 2 最新中小学教案、试题、试卷 2 最新中小学教案、试题、试卷 当 0<x<2 时,f′(x)>0, 故 x=0 时函数 f(x)取极小值 f(0)=c. 答案:c 7.若函数 f(x)=x -6bx+3b 在(0,1)内有极小值,则实数 b 的取值范围是________. 解析:f ′(x)=3x -6b. 当 b≤0 时,f ′(x)≥0 恒成立,函数 f(x)无极值. 当 b>0 时,令 3x -6b=0 得 x=± 2b. 由函数 f(x)在(0,1)内有极小值,可得 0< 2b<1, 1 ∴0<b< . 2 2 2 3 ? 1? 答案:?0, ? ? 2? 8.(2015·高考陕西卷)函数 y=xe 在其极值点处的切线方程为________. 1 x x x 解析:y′=e +xe ,令 y′=0,解得 x=-1,代入 y=xe 得极值点的坐标为(-1,- ), e 1 又极值点处的切线垂直 y 轴,即其斜率为 0,故所求切线方程为 y=- . e 1 答案:y=- e 9.若函数 y=f(x)在 x=x0 处取得极大值或极小值,则称 x0 为函数 y=f(x)的极值点.已知 x a,b 是实数,1 和-1 是函数 f(x)=x3+ax2+bx 的两个极值点. (1)求 a 和 b 的值; (2)设函数 g(x)的导函数 g ′(x)=f(x)+2,求 g(x)的极值点. 解析:(1)由题设知 f ′(x)=3x +2ax+b,且 f ′(-1)=3-2a+b=0, 2 f ′(1)=3+2a+b=0,解得 a=0,b=-3. (2)由(1)知 f(x)=x -3x.因为 f(x)+2=(x-1) (x+2),所以 g ′(x)=0 的根为 x1=x2 =1,x3=-2,于是函数 g(x)的极值点只可能是 1 或-2. 当 x<-2 时,g ′(x)<0;当-2<x<1 时,g ′(x)>0,故-2 是 g(x)的极值点. 当-2<x<1 或 x>1 时,g ′(x)>0,故 1 不是 g(x)的极值点. 所以 g(x)的极值点为-2

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