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关于多项式数列求和的一般方法_图文

首先说明多项式数列。数列可用离散函表达即:
an=厂(行)("∈Z) (1) 自变量只取数轴上整数,敝图像是离散点。对厂进行限制:f(n)为 厅的多项式。以左式为通项的数列,都可用下法解决前厅项和的求解即:

列为(1),(2)是待求数列,称(1)为(2)的割数列,(2)为(1)的求和数列。

2.2割数列标准型的定义
称: (7) an=n(n+七)(甩+2k)…(胛+ink) 为割数列的标准型,这样割数列的标准型是与求和数列(2)的 规范型是对应的。 2.3求和公式 这步将由求和数列推割数列的公式取逆,导由割数列推求和

E=喁+a2+a3+……+以=,(刀)

(2)

微分、积分互逆,微分是连续函数某点因变量的无穷小增量, 积分是对连续变量无穷小增量的求和。这是先定义求无穷小增量 的导数运算,取逆得无穷小增量的求和运算(积分),当然可定义一 种求有限增量的运算,取逆得有限增量的求和运算。

数列的公式。 有了割数列的标准型(7)后,我们只要解决:(1)证明多项式数列
线性组合的求和数列等于多项式求和数列的线性组合,(2)任意多 项式数列均可表示为标准型多项式数列的线性组合,(3)导出标准 型割数数列的求和数列公式。 首先解决问题一:

1定义有限增量之比
1.1割数的定义 导数是连续函数切线斜率的表达即因变量,自变量微分比,由

导数定义知它是对缈/缸取极限得到的,我们保留缈/血不取极
限,令Ax=k,得自变量隔I|}的割线斜率。 对象函数是(2)式,自变量以的间隔取k,用q表待求的斜率即: %=AS/An=【,(刀)一F(H一七)】/七 (3)

存在只=F(H)、瓦=G(")且巳=AF/A一、6一=AG/血有C.=ota.士触

若已知q=AR/An,则证明兄=as.±见
证明:q=aa.±J眠=口{【F(行)一F伽一七)】,七}士∥{【G(n)-a(n-k)]/k}=
{【口,(,t)士,G(H)】一[aF(n-k)+fiG(n-k)]}/k;AR,A,曲(4)焉=a置±.口£证毕。 其次解决问题二: 此仍是初等变换,以q=一2为例: (8) 珂2=以(力+k)-kn={n(n+.|})}-七{”} 最后解决问题三:在(6)中可找到答案即(7)式中标准型割数列

此为鼠=f(n)割线的斜率。
上式即(2)式的因变量、自变量的有限增量比,称割数。 1.2割数公式 微分变为积分的关键在于求导公式变为积分公式,使积分简 单易行。下仿求导公式来导多项式数列的割数公式。 在推多项式数列的割数公式前先定义多项式数列的规范型即:

的求和数列为(4)中规范型数列。
(4)

墨=F(n)={”O十坝打+2k)…In+(m+1)纠}/(m十2)(研为任意整数)

3求和步骤
由割数定义(3)式得: AS=a.An=^‰=F(竹)一F(n一七) 推出: (9) (10) (11) (12)

例如:最=H,最=【面l+七)】/2,鼠=【月如+坝月+2t)】/3…均是规范型。
在有了多项武数列的规范型(4)后,只要解决:(1)证明多项式线性 组合的割数等于多项式割数的线性组合。(2)任意多项式数列均可表

帆_=F(n—k)-,O一2k)
Ira,=F(,)一F(p-k)

示为规范型多项式数列的线性组合;(3)推导出规范型的割数公式。
首先解决问题一: 存在瓯=,(疗)、瓦=G(n)Ka,=AF/dm.吒=&G/an有R。=口鼠±卢瓦

推出:七%一2I=F(n一2k)一F(n一3k) 依次递推有:

将(9)、(10)、(11),(12)叠加得:

证明c。=AR/An=cta.±触
证明:q=A詹/△刀=“口F(疗)±∥G(n)卜【口尸伽一七)±∥G0一七)】)/七= ?z{【F(,1)一,(”一.|})】/七}±∥{[G(月)一G(H—t)】/|i}}=口以士J醴吒证毕。

k(ap+口m+…+口。)=F(疗)一F(p—k)

(13)

为要求的求和公式,口。是初始项,an是末项。上式为求和公式,

以(8)例说明求和步骤:A:将%=聆2化为标准型的线性组合,由(8) 知上式的标准型的线性组合。B:依割数列标准型与求和数列规范
型的对应将(8)中标准型割数列化为规范型求和数列: (5) F(n)=玎(玎+七)(一+2k)/3一kn(胛+k)/2 (15)

其次解决问题二:此其实是用给定的多项式数列构造规范型
数列的初等变换,举例加以说明: 行2=疗("+七)一kn=2{【拧(刀+七)】/2}-k{n} 最后解决问题三:

此相当于微积分中求不定积分,综合(13)、(15)得(14)例中的若 干项的和。 下求最经典的墨=12+22+32,4-.--+n2,需使(13)、(15)中的I:1、p:l可得: 鼠=F(疗)一F(O)=栉(行+1)(雄+2)/3一疗(疗+1)/2=开(一+IX2.+1)/6 (16)

S=F(H)={硝n+tXH+2妁…m+(辨+l砖】},(m+2)将调月一玳替且代入左式得:
F(n-k)=(n--t)一∽+”“(n+mk)/(m+2)将左式与上式带入(3)式得:
吒=【—F(H)一F(n-k)]/t=n(n+t)(疗+2k)???("+ink) (6) 为规范型的割数表达。至此我们有了多项武数列的割数概念 和求任意多项式数列割数的方法。仍以(5)为例:由于【n(n+1)]/2、1"1 的割数是力,l,将二者代入(5)得珂2的割数为q=2n—k。

4与经典方法的不同
由(13)可看出与经典方法相比此法优点是:此法可以解决相隔
七项的求和问题,如奇数项求和:只=q+a3+…+a2f+1l可用于定义 于整个数轴上的所有整数的离散数列。

2将求割数取逆导求和运算
2.1名称的变化

万方数据 为方便数列的名称变一下,由求和、求割数互逆知此时条件数

关于多项式数列求和的一般方法
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 被引用次数: 武柏锋, 刘春杰 吉林大学物理学院,长春,130012 中国科教创新导刊 CHINA EDUCATION INNOVATION HERALD 2010,""(7) 0次

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