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黑龙江省大庆铁人中学2011-2012学年高一下学期期中考试 数学文

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大庆铁人中学 2011-2012 学年度下学期高一期中考试

数学试题(文) 2012.5

考试时间:120 分钟

总分:150 分

命题人:朱永库

参考公式

1 V棱台 ? 3 h(S上 ?

S上S下 ? S下)

V球

?

4 ?R3 3

S球 ? 4?R2

一选择题(每个题 5 分,共 60 分)

? ? 1 若集合 A ?

x

3x 2

?

4x

?1

?

0

,集合

B

?

??x ?

1 x

? 1?? ,则 A ? B ? ( ?



A (1 ,1) B (0,1) C (??,1) D (0, 1)

3

3

2 已知等差数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ,且 a2 ? 3a4 ? 6 ,则 S9 ? ( )

A 25 B 27 C 50 D 54

3 如图是一个几何体的三视图,根据图中

所给数据可得几何体的表面积是( )
A 32? B16? C 12? D 8?

4 正视图

4 侧视图

4 在 ?ABC中,角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ,

且 A ? ? , a ? 15,b ? 10 ,则 cosB ? ( ) 3

A -2 2

22
B

C- 6

6
D

3

3

3

3

俯视图

5 过 ?ABC 所在平面? 外一点P,作 PO ? ? ,垂足为 O,连接 PA、PB、PC,若 PA=PB=PC 则点 O 是 ?ABC 的( )

A 重心 B 内心 C 外心 D 垂心

6 已知两直线 m, n ,两个平面?, ? ,给出下列命题:

① m // n, m ? ? ? n ? ? ②? // ? , m ? ?, n ? ? ? m // n

③ m // n, m //? ? n //? ④? // ? , m // n, m ? ? ? n ? ? ,其中正确的命题为( )
A ①③ B ②④ C ②③ D ①④

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?x ? y ? 5

7

已知实数

x,

y

满足

??2x ? y ??x ? 0

?

6

,使目标函数

z

?

6x

?

8y

取得最大值的最优解为(



?? y ? 0

2

2

A (1,5) B (1, 4) C (2, 4) D (0,5)

2

2

8 一个棱长为 2 的正方体,被一个平面所截得几何体

的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

17 14 20

A8 B

CD

333

9 已知 a ? b ? 0 ,则下列不等式成立的是( )

11

11

正视图 侧视图

1

2

A a ? b ? a ? b ? ab B a ? ab ? a ? b ? b

2

2

1 俯视图

C a ? a ? b ? b ? ab D a ? a ? b ? ab ? b

2

2

10 在正方体 AC1 中,,则直线 A1B 与平面 A1B1CD 所成角的正弦值为( )

A 10 B 1

5

2

C 15 5

D3 2

11 当 x ? (2,3) 时,不等式 2x2 ? 9x ? m ? 0 恒成立,则实数 m 的取值范围为( )

A m?9 B m?9 C m?9 D 0?m?9

12 已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB ? 6, BC ? 2 3 ,则棱锥

O ? ABCD的体积为(

)

A 2 3 B6 3 C 4 3 D8 3
二填空题(每个题 5 分,共 20 分)
13 在空间四边形 ABCD中,对角线 AC ? BD ? 4 , E 是 AB 中点,过 E 与 AC, BD 都平行

的截面 EFGH 分别与 BC,CD, DA 交于 F,G, H ,则四边形 EFGH 的周长为



14 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别是 1、2、3, 则此球的表面积等于_____________________

15 m, n 是平面? 外的两条直线,给出三个论断:① m / /n ② m / /? ③ n / /? ,以其中的

两个为条件,余下的一个为结论,构成三个命题,写出你认为正确的所有命题



;(用符号表示)

16 下 列 命 题 : ① a 2 ? 1 ? 2a ② x ? 1 ? 2 ③ a ? b ? 2 ④ 若 x ?( 0 ,? ? ), 则

x

ab

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x2

?

1 x2 ?1

?

1 ;其中正确命题为

(填序号)。

三解答题(共 6 道题,70 分)
17(满分 10 分)在 ?ABC 中,角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ,且 B ? C , 2b ? 3a (1)求 cos A的值;(2)求 cos(2A ? ? ) 的值。
4
18(满分 12 分)等比数列 ?an ?的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2a6

(1)求通项 an ;(2)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ?

? log3 an ,

求数列

? ? ?

1 bn

? ? ?

的前

n

项和

Tn



19(满分 12 分)解关于 x 的不等式: x2 ? (a ?1)x ? a ? 0

20(满分 12 分)如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, E, F 分别为 A1C1 和 BC 的中点。 (1) 求证: EF 平面 AA1B1B (2) 若 AA1 ? 3, AB ? 2 3 ,求异面直线 EF 与 AB 所成的角 21(满分 12 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, ?DAB ? 600 , AB ? 2AD , PD ? 底面 ABCD

(1) 证明: PA ? BD (2) 设 PD ? AD ?1,求棱锥 D ? PBC 的高

E

P

D

C

A

C

F

B

A

B

(第 20 题)

(第 21 题)

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? ? 22(满分 12 分)数列 an 满足 a1 ? 2, an ? 2an?1 ? 2n?1

(n

?

2, n ?

N? ) ,设 bn

?

an 2n

(1)求证:?bn? 是等差数列;

(2)数列?cn? 满足: cn ? 2n ?1 ,对任意 n ? N? ,不等式

a

bn

?

4

?

(1 ?

1 c1

)(1 ?

1 c2

)

(1? 1 ) 恒成立,求正数 a 的取值范围。 cn

大庆铁人中学 2011-2012 学年度下学期高一期中考试 数学答题卡 2012.5

一、选择题

题号 一 分数





得分 合分人

17

18

19

20

21

22

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

答案
二、填空题

13

14

15

16

三、解答题 17(1)

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(2) 18(1) (2)
19
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E 20(1)

A

C

F

B

(2)

21(1)

P

D

C

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A

B

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(2)
22(1)
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(2)

大庆铁人中学 2011-2012 学年度下学期高一期中考试

一、选择题

数学答题卡 2012.5

文科

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B C D C D D B D B C D

二、填空题

13) 8 14)14?
三、解答题 17(满分 10 分)
(1)解: B ? C

15)①② ?③, ①③ ?② 16)②
1分

?b?c? 3a

3分

2

? cos A ? b2 ? c2 ? a2 ? 1

5分

2bc

3

(2) cos 2A ? 2cos2 A ?1 ? ? 7 , sin 2 A ? 4 2

2分

9

9

? cos(2A ? ? ) ? ?8 ? 7 2

5分

4

18

18(满分 12 分)

(1)由已知得:

?2a1 ??a12q

? 3a1q ? 1 4 ? 9a1q6

解得:

???a1

?

1 3

? ?q

?

1

2

分?

an

?

1 3n

4分

?? 3

n

n

n

? ? ? (2) bn ? log3ai = log33?i ? ? i

6分

i ?1

i ?1

i ?1

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?

bn

?

?

n(n ?1) 2

8分

? 1 ? ? 2 ? ?2(1 ? 1 )

bn n(n ?1)

n n?1

10 分

? ? ? ? T

n?

n1 b i?1 i

?

n

1

?2( ?

1

n1

) ? ?2 ( ?

1 ) ? ?2(1?

1

)

i?1 i i ?1

i?1 i i ?1

n ?1

? ? 2n n ?1

12 分

19(满分 12 分)解:原不等式可化为 (x ? a)(x ?1) ? 0

2分

①当 a ? 1 时, a ? x ? 1 ② a ?1时, x ?? ③ a ?1时, 1 ? x ? a

4分 6分 8分

综上所述:原不等式的解集为: a ? 1 时,?x | a ? x ?1?; a ? 1 时, x ?? ;

a ? 1,?x |1? x ? a?

12 分

20 解
证明(1)取 AC 的中点 D,连接 DE,DF

因为 D,E,F分别是AC, A1C1 ,BC的中点,所以 DE || AA1, DF || AB

又 DE DF ? D ,DE||平面 A1ABB1 ,DF||平面 A1ABB1

所以平面EDF||平面 A1ABB1 ,又EF ? 平面DEF,所以EF||平面 A1ABB1

(2)由(1)知 ?DFE 为异面直线EF与AB所成的角 在直角三角形EDF中, ED ? 3, DF ? 3 , tan ?DFE ? DE ? 3,
DF 所以 ?DFE ? 600
21(满分 12 分)解;
(1)因为 ?DAB ? 600, AB ? 2AD ,由余弦定理得 BD ? 3AD 从而 BD2 ? AD2 ? AB2 ,故 BD ? AD ---------------------------------------------------------3 分
又 PD ? 底面 ABCD ,可得 BD ? PD
所以 BD ? 平面 PAD --------------------------------------------------------------------------6 分
(2)如图,作 DE ? PB ,垂足为 E ,已知 PD ? 底面 ABCD ,则 PD ? BC

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由(1)知 BD ? AD ,又 BC || AD,所以 BC ? BD

故 BC ? 平面 PBD , BC ? DE ,则 DE ? 平面 PBC -----------------------------------9 分

由题设知 PD ? 1,则 BD ? 3,PB ? 2

DE ? 3

根据 DE ? PB ? PD ? BD ,得

2

3 即棱锥 D ? PBC 的高为 2

----------------------------------------------------------------12 分

(2)另解:由VD?PBC

? VP?DBC



1 3 h ? S?PBC

?

1 3

PD? S?DBC ,同样给分

22(满分 12 分)(1)证明: n ? 2 时,

1分

bn

? bn?1

?

an 2n

? an?1 2n?1

?

2an?1 ? 2n

2n?1

?

an?1 2n?1

?2

3分

? ?bn?是等差数列。

4分

(2)由(1)得: bn

?

a1 2

?

2(n ?1)

? bn ? 2n ?1

1分

? a

bn

?

4

?

(1 ?

1 c1

)(1 ?

1 c2

)

(1? 1 ) cn

a 2n ? 3 ? (1? 1 )(1? 1 ) (1? 1 )

c1

c2

cn

(1? 1 )(1? 1 ) (1? 1 )

?a?

c1

c2

cn 恒成立。

3分

2n ? 3

(1? 1 )(1? 1 ) (1? 1 )

设 An ?

c1

c2

2n ? 3

cn , 则只需 a ? ( An )min

cn ? 2n ?1

(1? 1 ) 2n ? 3

? An?1 ?

cn?1

?

An

2n ? 5

2n ? 4 ?
(2n ? 3)(2n ? 5)

4n2 ?16n ?16 4n2 ?16n ?15 ? 1

5分

? ? ? An?1 ? An

即数列

An

单调递增。 ( An )min

?

A1

?

45 15

6 分? a ? (0, 4 5 ] 8 分
15

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