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最新导数题型总结及解法大全

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第一章 导数及其应用

导数的概念

1..已知 f (x) ? 1 ,则 lim f (2 ? ?x) ? f (2) 的值是( )

x

?x?0

?x

A. ? 1 4

B. 2

C. 1

4

D. -2

变式 1: 设f ??3? ? 4, 则lim f ?3 ? h?? f ?3? 为 ( )

h?0

2h

A.-1

B.-2

C.-3

D.1

变式

2: 设f

?

x

?

在x0可导,



lim
?x?0

f

? x0

? ?x? ? f
?x

? x0

? 3?x? 等于

()

A. 2 f ??x0 ?

B. f ??x0 ?

C. 3 f ??x0 ?

D. 4 f ??x0 ?

导数各种题型方法总结
请同学们高度重视: 首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法: 1、 分离变量; 2、 变更主元; 3、 根分布; 4、 判别式法 5、 二次函数区间最值求法: (1) 对称轴(重视单调区间)与定义域的关系 (2) 端点处和顶点是最值所在 其次,分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形 结合思想”,创建不等关系求出取值范围。 最后,同学们在看例题时,请注意寻找关键的等价变形和回归的基础
一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立;
1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决:
第一步:令 f ' (x) ? 0 得到两个根;
第二步:画两图或列表; 第三步:由图表可知;
其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,
2、常见处理方法有三种: 第一种:分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0) 第二种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元);
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精品文档 (请同学们参看 2010 省统测 2)
例 1:设函数 y ? f (x) 在区间 D 上的导数为 f ?(x) ,f ?(x) 在区间 D 上的导数为 g(x) ,若在区间 D 上,g(x) ? 0

恒成立,则称函数 y ? f (x) 在区间 D 上为“凸函数”,已知实数 m 是常数, f (x) ? x4 ? mx3 ? 3x2 12 6 2
(1)若 y ? f (x) 在区间?0,3? 上为“凸函数”,求 m 的取值范围;

(2)若对满足 m ? 2 的任何一个实数 m ,函数 f (x) 在区间 ?a,b? 上都为“凸函数”,求 b ? a 的最大值.

解:由函数 f (x) ? x4 ? mx3 ? 3x2 得 f ?(x) ? x3 ? mx2 ? 3x

12 6 2

32

? g(x) ? x2 ? mx ? 3

(1) y ? f (x) 在区间?0,3? 上为“凸函数”,

则 ? g(x) ? x2 ? mx ? 3 ? 0 在区间[0,3]上恒成立

解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于 gmax (x) ? 0

?g(0) ? 0 ??3 ? 0 ??g(3) ? 0 ? ??9 ? 3m ? 3 ? 0 ? m ? 2

解法二:分离变量法:

∵ 当 x ? 0 时, ? g(x) ? x2 ? mx ? 3 ? ?3 ? 0 恒成立,

当 0 ? x ? 3 时, g(x) ? x2 ? mx ? 3 ? 0 恒成立

等价于 m ? x2 ? 3 ? x ? 3 的最大值( 0 ? x ? 3 )恒成立,

x

x



h(x)

?

x

?

3 x



0

?

x

?

3

)是增函数,则

hmax

(x)

?

h(3)

?

2

?m ? 2

(2)∵当 m ? 2 时 f (x) 在区间 ?a,b? 上都为“凸函数”

-2

2

则等价于当 m ? 2 时 g(x) ? x2 ? mx ? 3 ? 0 恒成立 变更主元法
再等价于 F (m) ? mx ? x2 ? 3 ? 0 在 m ? 2 恒成立(视为关于 m 的一次函数最值问题)

?

?F ??F

(?2) ? 0 (2) ? 0

?

???2x ? x2 ? 3 ? 0

? ??2x

?

x2

?

3

?

0

?

?1

?

x

?

1

?b ? a ? 2

例 2:设函数 f (x) ? ? 1 x3 ? 2ax2 ? 3a2 x ? b(0 ? a ? 1,b ? R) 3
(Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间和极值;
(Ⅱ)若对任意的 x ?[a ?1, a ? 2],不等式 f ?(x) ? a 恒成立,求 a 的取值范围. (二次函数区间最值的例子)
解:(Ⅰ) f ?(x) ? ?x2 ? 4ax ?3a2 ? ?? x ?3a?? x ? a?
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0? a ?1

f ?(x)

a

3a

a

3a

令 f ?(x) ? 0, 得 f (x) 的单调递增区间为(a,3a)

令 f ?(x) ? 0, 得 f (x) 的单调递减区间为(- ? ,a)和(3a,+ ? )

∴当 x=a 时, f (x) = 极小值 ? 3 a3 ? b; 4

当 x=3a 时, f (x) 极大值=b.

(Ⅱ)由| f ?(x) |≤a,得:对任意的 x ?[a ?1, a ? 2], ?a ? x2 ? 4ax ? 3a2 ? a 恒成立①

则等价



g(x)



个二次





? g m a x( x)

? ?

gm

i

n(

x)

? ?

a ?a

a ?1 ? a ? a ? 2a (放缩法)

g(x) ? x2 ? 4ax ? 3a2 的对称轴 x ? 2a

0 ? a ? 1,

即 定 义 域 在 对 称 轴 的 右 边 , g(x) 这 个 二 次 函 数 的 最 值 问 题 : 单 调 增 函 数 的 最 值 问 题 。

g(x) ? x2 ? 4ax ? 3a2在[a ?1, a ? 2] 上是增函数.(9 分)

∴ g(x)max ? g(a ? 2) ? ?2a ?1. g(x)min ? g(a ?1) ? ?4a ? 4.

于是,对任意 x ?[a ?1, a ? 2] ,不等式①恒成立,等价于

?g ??g

(a (a

? 2) ? ?4a ? 4 ? a, ?1) ? ?2a ?1? ?a

解得

4 5

?

a

?

1.

?a ?1,
x ? 2a

又 0 ? a ? 1, ∴ 4 ? a ? 1. 5
点评:重视二次函数区间最值求法:对称轴(重视单调区间)与定义域的关系

a ? 2?

第三种:构造函数求最值 题型特征: f (x) ? g(x) 恒成立 ? h(x) ? f (x) ? g(x) ? 0 恒成立;从而转化为第一、二种题型

例 3;已知函数 f (x) ? x3 ? ax2 图象上一点 P(1,b) 处的切线斜率为 ?3 ,

g(x) ? x3 ? t ? 6 x2 ? (t ?1)x ? 3 2
(Ⅰ)求 a, b 的值;

(t ? 0)

(Ⅱ)当 x ?[?1, 4] 时,求 f (x) 的值域;

(Ⅲ)当 x ?[1, 4] 时,不等式 f (x) ? g(x) 恒成立,求实数 t 的取值范围。

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解:(Ⅰ)

f

/ (x)

?

3x2

?

2ax

? ∴?

f

/ (1)

?

?3 ,

?b ? 1? a

解得

?a ?? b

? ?

?3 ?2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f (x) 在[?1, 0] 上单调递增,在[0, 2] 上单调递减,在[2, 4] 上单调递减

又 f (?1) ? ?4, f (0) ? 0, f (2) ? ?4, f (4) ?16

∴ f (x) 的值域是[?4,16]

(Ⅲ)令 h(x) ? f (x) ? g(x) ? ? t x2 ? (t ?1)x ? 3 x ?[1, 4] 2
思路 1:要使 f (x) ? g(x) 恒成立,只需 h(x) ? 0 ,即 t(x2 ? 2x) ? 2x ? 6 分离变量

思路 2:二次函数区间最值

二、题型一:已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围
解法 1:转化为 f ' (x) ? 0或f ' (x) ? 0 在给定区间上恒成立, 回归基础题型 解法 2:利用子区间(即子集思想);首先求出函数的单调增或减区间,然后让所给区间是求的增或 减区间的子集; 做题时一定要看清楚“在(m,n)上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b)”,要弄清楚两句话 的区别:前者是后者的子集

例 4:已知 a ? R ,函数 f (x) ? 1 x3 ? a ?1 x2 ? (4a ?1)x .

12

2

(Ⅰ)如果函数 g(x) ? f ?(x) 是偶函数,求 f (x) 的极大值和极小值;

(Ⅱ)如果函数 f (x) 是 (??, ? ?) 上的单调函数,求 a 的取值范围.

解: f ?(x) ? 1 x2 ? (a ?1)x ? (4a ?1) . 4
(Ⅰ)∵ f ?(x) 是偶函数,∴ a ? ?1.

此时 f (x) ? 1 x3 ? 3x , f ?(x) ? 1 x2 ? 3 ,

12

4

令 f ?(x) ? 0 ,解得: x ? ?2 3 .

列表如下:

(-∞,-

(-

x

2 3)

-2 3 2 3 ,2 3 )

23

(2 3 ,+∞
)

f ?(x)

+

0



0

+

f (x)

递增

极大值

递减

极小值

递增

可知: f (x) 的极大值为 f (?2 3) ? 4 3 ,

f (x) 的极小值为 f (2 3) ? ?4 3 .

(Ⅱ)∵函数 f (x) 是 (??, ? ?) 上的单调函数,
∴ f ?(x) ? 1 x2 ? (a ?1)x ? (4a ?1) ? 0 ,在给定区间 R 上恒成立判别式法 4
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则 ? ? (a ?1)2 ? 4 ? 1 ? (4a ?1) ? a2 ? 2a ? 0, 4

综上, a 的取值范围是{a 0 ? a ? 2}.

解得: 0 ? a ? 2 .

例 5、已知函数 f (x) ? 1 x3 ? 1 (2 ? a)x2 ? (1 ? a)x(a ? 0). 32
(I)求 f (x) 的单调区间;

(II)若 f (x) 在[0,1]上单调递增,求 a 的取值范围。子集思想

(I) f ?(x) ? x2 ? (2 ? a)x ? 1 ? a ? (x ?1)(x ? 1 ? a).

1、当a ? 0时, f ?(x) ? (x ? 1)2 ? 0恒成立,

当且仅当 x ? ?1 时取“=”号, f (x)在(??, ??) 单调递增。

2、当a ? 0时,由f ?(x) ? 0,得x1 ? ?1, x2 ? a ?1,且x1 ? x2 , 单调增区间: (??, ?1), (a ?1, ??)

单调增区间: (?1, a ?1)

(II)当 f (x)在[0,1]上单调递增, 则?0,1? 是上述增区间的子集:

1、 a ? 0 时, f (x)在(??, ??) 单调递增 符合题意

2、?0,1? ? ?a ?1, ??? ,?a ?1? 0
综上,a 的取值范围是[0,1]。

?a ?1

f ?(x)

-1

a-1

三、题型二:根的个数问题

题 1 函数 f(x)与 g(x)(或与 x 轴)的交点======即方程根的个数问题

解题步骤

第一步:画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增” 还是“先减后增再减”;

第二步:由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组);主要看极大值和极小值与 0 的关系;

第三步:解不等式(组)即可;

例 6、已知函数 f (x) ? 1 x3 ? (k ? 1) x 2 , g(x) ? 1 ? kx ,且 f (x) 在区间 (2,??) 上为增函数.

3

2

3

(1) 求实数 k 的取值范围;

(2) 若函数 f (x) 与 g(x) 的图象有三个不同的交点,求实数 k 的取值范围.

解:(1)由题意 f ?(x) ? x 2 ? (k ? 1)x ∵ f (x) 在区间 (2,??) 上为增函数,

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∴ f ?(x) ? x 2 ? (k ? 1)x ? 0 在区间 (2,??) 上恒成立(分离变量法)

即 k ? 1 ? x 恒成立,又 x ? 2 ,∴ k ? 1 ? 2 ,故 k ?1 ∴ k 的取值范围为 k ?1

(2)设 h(x) ? f (x) ? g(x) ? x3 ? (k ? 1) x 2 ? kx ? 1 ,

32

3

h?(x) ? x 2 ? (k ? 1)x ? k ? (x ? k)( x ? 1)

令 h?(x) ? 0 得 x ? k 或 x ?1 由(1)知 k ?1 ,

①当 k ?1时, h?(x) ? (x ? 1) 2 ? 0 , h(x) 在 R 上递增,显然不合题意…

②当 k ?1 时, h(x) , h?(x) 随 x 的变化情况如下表:

x (??, k)

k

(k,1) 1 (1,??)

h?(x) ?

0



0

?

h(x) ↗

极大值

↘ 极小值 ↗

? k3 ? k2 ? 1 6 23

k ?1 2

由于 k ? 1 ? 0 ,欲使 f (x) 与 g(x) 的图象有三个不同的交点,即方程 h(x) ? 0 有三个不同的实根,故需 2

k3 ?
6

k2 ?
2

? 1 ? 0 ,即 (k ? 1)(k 2 ? 2k ? 2) ? 0 3

?k ? 1



? ?k

2

?

2k

?

2

?

,解得 k 0

?1?

3

综上,所求 k 的取值范围为 k ? 1 ? 3

根的个数知道,部分根可求或已知。

例 7、已知函数 f (x) ? ax3 ? 1 x2 ? 2x ? c 2
(1)若 x ? ?1 是 f (x) 的极值点且 f (x) 的图像过原点,求 f (x) 的极值;

(2)若 g(x) ? 1 bx2 ? x ? d ,在(1)的条件下,是否存在实数 b ,使得函数 g(x) 的图像与函数 f (x) 的图像恒 2
有含 x ? ?1 的三个不同交点?若存在,求出实数 b 的取值范围;否则说明理由。高 1 考 1 资 1 源 2 网

解:(1)∵ f (x) 的图像过原点,则 f (0) ? 0 ? c ? 0

f ?(x) ? 3ax2 ? x ? 2 ,

又∵ x ? ?1 是 f (x) 的极值点,则 f ?(?1) ? 3a ?1? 2 ? 0 ? a ? ?1

? f ?(x) ? 3x2 ? x ? 2 ? (3x ? 2)(x ?1) ? 0

f极大值 (x) ?

f

(?1) ?

3 2

f极小值 (x)

?

f

(2) 3

?

? 22 7

-1

(2)设函数 g(x) 的图像与函数 f (x) 的图像恒存在含 x ? ?1 的三个不同交

点,等价于 f (x) ? g(x) 有含 x ? ?1 的三个根,即: f (?1) ? g(?1) ? d ? ? 1 (b ?1) 2

? x3 ? 1 x2 ? 2x ? 1 bx2 ? x ? 1 (b ?1) 整理得:

2

2

2

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f ?(x)
2 3

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即: x3 ? 1 (b ?1)x2 ? x ? 1 (b ?1) ? 0 恒有含 x ? ?1 的三个不等实根

2

2

(计算难点来了:) h(x) ? x3 ? 1 (b ?1)x2 ? x ? 1 (b ?1) ? 0 有含 x ? ?1 的根,

2

2

则 h(x) 必可分解为 (x ?1)(二次式) ? 0 ,故用添项配凑法因式分解,

x3 ?x2 ? x2 ? 1 (b ?1)x2 ? x ? 1 (b ?1) ? 0

2

2

x2

(

x

? 1)

?

? ??

1 2

(b

?

1)

x2

?

x

?

1 2

(b

?1)???

?

0

x2

(x

?1)

?

1 2

??(b

?

1) x 2

?

2x

?

(b

?1)??

?

0

十字相乘法分解: x2 (x ?1) ? 1 ?(b ?1)x ? (b ?1)?? x ?1? ? 0
2

(

x

? 1)

? ??

x2

?

1 2

(b

?

1)

x

?

1 2

(b

?1)???

?

0

? x3 ? 1 (b ?1)x2 ? x ? 1 (b ?1) ? 0 恒有含 x ? ?1 的三个不等实根

2

2

等价于 x2 ? 1 (b ?1)x ? 1 (b ?1) ? 0 有两个不等于-1 的不等实根。

2

2

?

????

?

1 4

(b

? 1)2

? ?(?1)2

?

1

(b

?

? 4? 1 (b ?1) ? 0 2
1) ? 1 (b ?1) ? 0

?

b

?

(??,

?1)

?

(?1,

3)

?

(3,

?? )

??

2

2

题 2:切线的条数问题====以切点 x0 为未知数的方程的根的个数
例 7、已知函数 f (x) ? ax3 ? bx2 ? cx 在点 x0 处取得极小值-4,使其导数 f '(x) ? 0 的 x 的取值范围为 (1,3) , 求:(1) f (x) 的解析式;(2)若过点 P(?1, m) 可作曲线 y ? f (x) 的三条切线,求实数 m 的取值范围.
(1)由题意得: f '(x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ? 3a(x ?1)(x ? 3), (a ? 0) ∴在 (??,1) 上 f '(x) ? 0 ;在 (1,3) 上 f '(x) ? 0 ;在 (3, ??) 上 f '(x) ? 0 因此 f (x) 在 x0 ? 1处取得极小值 ?4 ∴ a ? b ? c ? ?4①, f '(1) ? 3a ? 2b ? c ? 0 ②, f '(3) ? 27a ? 6b ? c ? 0 ③
?a ? ?1 由①②③联立得: ??b ? 6 ,∴ f (x) ? ?x3 ? 6x2 ? 9x
??c ? ?9 (2)设切点 Q (t, f (t)) , y ? f (t) ? f , (t)(x ? t)
y ? (?3t2 ?12t ? 9)(x ? t) ? (?t3 ? 6t2 ? 9t) ? (?3t2 ?12t ? 9)x ? t(3t2 ?12t ? 9) ? t(t2 ? 6t ? 9) ? (?3t2 ?12t ? 9)x ? t(2t2 ? 6t) 过 (?1, m)

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m ? (?3t2 ?12t ? 9)(?1) ? 2t3 ? 6t2

g(t) ? 2t3 ? 2t2 ?12t ? 9 ? m ? 0

令 g '(t) ? 6t2 ? 6t ?12 ? 6(t2 ? t ? 2) ? 0 ,

求得: t ? ?1,t ? 2 ,方程 g(t) ? 0 有三个根。

需:

?g(?1) ? 0

? ?

g(2)

?

0

?

??2 ? 3 ?12 ? 9 ? m ? 0 ??16 ?12 ? 24 ? 9 ? m ? 0

?

?m ?? m

? 16 ? ?11

故: ?11? m ?16;因此所求实数 m 的范围为: (?11,16)

则有 题 3:已知 f (x) 在给定区间上的极值点个数

导函数=0 的根的个数

解法:根分布或判别式法

例 8、

解:函数的定义域为 R (Ⅰ)当 m=4 时,f (x)= 13x3-72x2+10x, f ?(x) =x2-7x+10,令 f ?(x) ? 0 , 解得 x ? 5, 或 x ? 2.

令 f ?(x) ? 0 , 解得 2 ? x ? 5

1

可知函数 f(x)的单调递增区间为 (??, 2) 和(5,+∞),单调递减区间为 ?2,5? .
(Ⅱ) f ?(x) =x2-(m+3)x+m+6,

要使函数 y=f (x)在(1,+∞)有两个极值点, ? f ?(x) =x2-(m+3)x+m+6=0 的根在(1,+∞)

根分布问题:

?

?? ? (m ? 3)2 ? 4(m ? 6) ? 0;



? ?

f

?(1)

?

1?

(m

?

3)

?

m

?

6

?

0;



解得 m>3

? ?

m

?

3

?

1.

?2

例 9、已知函数 f (x) ? a x3 ? 1 x2 ,(a ? R, a ? 0)(1)求 f (x) 的单调区间;(2)令 g(x) = 1 x4+f(x)(x∈R)

32

4

有且仅有 3 个极值点,求 a 的取值范围.

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解:(1) f ' (x) ? ax2 ? x ? x(ax ? 1)

当 a ? 0 时,令 f ' (x) ? 0 解得 x ? ? 1 或x ? 0 ,令 f ' (x) ? 0 解得 ? 1 ? x ? 0 ,

a

a

所以 f (x) 的递增区间为 (??,? 1 ) ? (0,??) ,递减区间为 (? 1 ,0) .

a

a

当 a ? 0时,同理可得 f (x) 的递增区间为 (0,? 1 ) ,递减区间为 (??,0) ? (? 1 ,??) .

a

a

(2) g(x) ? 1 x4 ? a x3 ? 1 x2 有且仅有 3 个极值点 432

? g?(x) ? x3 ? ax2 ? x ? x(x2 ? ax ?1) =0 有 3 个根,则 x ? 0 或 x2 ? ax ?1 ? 0 , a ? ?2

方程 x2 ? ax ?1 ? 0 有两个非零实根,所以 ? ? a2 ? 4 ? 0, ?a ? ?2或 a ? 2
而当 a ? ?2 或 a ? 2 时可证函数 y ? g(x) 有且仅有 3 个极值点

其它例题:

1、(最值问题与主元变更法的例子).已知定义在 R 上的函数 f (x) ? ax3 ? 2ax2 ? b(a ? 0)在区间

??2,1? 上的最大值是 5,最小值是-11.

(Ⅰ)求函数 f (x) 的解析式; (Ⅱ)若 t ?[?1,1]时, f ?(x)? tx ? 0 恒成立,求实数 x 的取值范围.

解:(Ⅰ) f (x) ? ax3 ? 2ax2 ? b,? f ' (x) ? 3ax2 ? 4ax ? ax(3x ? 4)



f

' (x) =0,得

x1

?

0,

x2

?

4 3

???2,1?

因为 a ? 0 ,所以可得下表:

x

??2, 0?

0

?0,1?

f '(x)

+

0

-

f (x)



极大



因此 f (0) 必为最大值,∴ f(0)? 5 因此 b ? 5 , f (?2) ? ?16a ?5, f (1) ? ?a ?5,? f (1) ? f (?2) ,

即 f (?2) ? ?16a ? 5 ? ?11,∴ a ? 1 ,∴ f (x)? x3 ? 2x2 ? 5.

(Ⅱ)∵ f ?(x) ? 3x 2 ? 4x ,∴ f ?(x)? tx ? 0 等价于 3x2 ? 4x ? tx ? 0 ,

令 g(t) ? xt ? 3x 2 ? 4x ,则问题就是 g(t) ? 0 在 t ?[?1,1]上恒成立时,求实数 x 的取值范围,

为此只需

? ? ?

g(?1) g(1)

? ?

0 0

,即

?3x

? ?

x

2 2

? 5x ? 0, ?x?0

解得 0 ? x ? 1,所以所求实数 x 的取值范围是[0,1].

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2、(根分布与线性规划例子)
(1)已知函数 f (x) ? 2 x3 ? ax2 ? bx ? c 3
(Ⅰ) 若函数 f (x) 在 x ? 1时有极值且在函数图象上的点 (0, 1) 处的切线与直线 3x ? y ? 0 平行, 求 f (x) 的
解析式;
(Ⅱ) 当 f (x) 在 x ? (0, 1) 取得极大值且在 x ? (1, 2) 取得极小值时, 设点 M (b ? 2, a ?1) 所在平面区域为
S, 经过原点的直线 L 将 S 分为面积比为 1:3 的两部分, 求直线 L 的方程.
解: (Ⅰ). 由 f ?(x) ? 2x2 ? 2ax ? b , 函数 f (x) 在 x ? 1时有极值 , ∴ 2a ? b ? 2 ? 0 ∵ f (0) ?1 ∴ c ?1

又∵ f (x) 在 (0, 1) 处的切线与直线 3x ? y ? 0 平行,

∴ f ?(0) ? b ? ?3 故

a? 1 2

∴ f (x) ? 2 x3 ? 1 x2 ? 3x ?1 32

……………………. 7 分

(Ⅱ) 解法一: 由 f ?(x) ? 2x2 ? 2ax ? b 及 f (x) 在 x ? (0, 1) 取得极大值且在 x ? (1, 2) 取得极小值,

? f ?(0) ? 0



? ?

f

?(1)

?

0

?? f ?(2) ? 0

?b ? 0 即 ??2a ? b ? 2 ? 0
??4a ? b ? 8 ? 0

令 M (x, y) ,



?x ? b?2

? ?

y

?

a

?1



?a ? y ?1 ??b ? x ? 2

?x ? 2 ? 0 ∴ ??2 y ? x ? 2 ? 0
??4 y ? x ? 6 ? 0

故点 M 所在平面区域 S 为如图△ABC,

易得 A(?2, 0) , B(?2, ?1) , C(2, ? 2) , D(0, ?1) , E(0, ? 3) , 2

同时 DE 为△ABC 的中位线,

S?DEC

?

1 3

S四边形ABED

S?ABC ? 2

∴ 所求一条直线 L 的方程为: x ? 0

另一种情况设不垂直于 x 轴的直线 L 也将 S 分为面积比为 1:3 的两部分, 设直线 L 方程为 y ? kx ,它与 AC,BC

分别交于 F、G, 则 k ? 0 , S四边形DEGF ? 1

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? y ? kx ??2 y ? x ? 2 ? 0

得点 F 的横坐标为:

xF

?

?

2 2k ?1



? y ? kx ??4 y ? x ? 6 ? 0

得点 G 的横坐标为:

xG

?

?

6 4k ?1

S ∴ 四边形DEGF ? S?OGE ? S?OFD

? 1 ? 3 ? 6 ? 1 ?1? 2 ? 1即 16k 2 ? 2k ? 5 ? 0 2 2 4k ?1 2 2k ?1

解得: k ? 1 或 2

k ? ? 5 (舍去) 8

综上,所求直线方程为: x ? 0 或 y ? 1 x 2

故这时直线方程为:

y? 1x 2
.…………….………….12 分

(Ⅱ) 解法二: 由 f ?(x) ? 2x2 ? 2ax ? b 及 f (x) 在 x ? (0, 1) 取得极大值且在 x ? (1, 2) 取得极小值,

? f ?(0) ? 0



? ?

f

?(1)

?

0

?? f ?(2) ? 0

?b ? 0 即 ??2a ? b ? 2 ? 0
??4a ? b ? 8 ? 0

令 M (x, y) ,



?x ? b?2

? ?

y

?

a

?1



?a ? y ?1 ??b ? x ? 2

?x ? 2 ? 0 ∴ ??2 y ? x ? 2 ? 0
??4 y ? x ? 6 ? 0

故点 M 所在平面区域 S 为如图△ABC,

易得 A(?2, 0) , B(?2, ?1) , C(2, ? 2) , D(0, ?1) , E(0, ? 3) , 2

S?ABC ? 2

同时 DE 为△ABC 的中位线,

S?DEC

?

1 3

S四边形ABED

∴所求一条直线 L 的方程为: x ? 0

另一种情况由于直线 BO 方程为: y ? 1 x , 设直线 BO 与 AC 交于 H , 2



? ? ?

y?1x 2

??2 y ? x ? 2 ? 0

得直线 L 与 AC 交点为: H (?1, ? 1) 2

∵ S?ABC ? 2 ,

S?DEC

?

1? 2

1 2

?2

?

1 2

,

S?ABH

?

S?ABO

? S?AOH

?

1 ? 2?1? 2

1?2? 1 22

?

1 2

∴ 所求直线方程为: x ? 0 或 y ? 1 x 2
3、(根的个数问题)已知函数 f (x) ? ax3 ? bx2 ? (c ? 3a ? 2b)x ? d (a ? 0) 的

图象如图所示。
(Ⅰ)求 c、d 的值;

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(Ⅱ)若函数 f (x) 的图象在点 (2,f (2)) 处的切线方程为 3x ? y ? 11 ? 0 ,求函数 f ( x )的解析式;

(Ⅲ)若 x0 ? 5, 方程 f (x) ? 8a 有三个不同的根,求实数 a 的取值范围。 解:由题知: f ?(x) ? 3ax2 ? 2bx+c-3a-2b
(Ⅰ)由图可知 函数 f ( x )的图像过点( 0 , 3 ),且 f ??1? = 0



?d ? 3 ??3a ? 2b

?

c

?

3a

?

2b

?

0

?

?d ??c

? ?

3 0

(Ⅱ)依题意 f ??2?= – 3 且 f ( 2 ) = 5

?12a ? 4b ? 3a ? 2b ? ?3 ??8a ? 4b ? 6a ? 4b ? 3 ? 5

解得 a

=

1

,

b

=



6

所以 f ( x ) = x3 – 6x2 + 9x + 3 (Ⅲ)依题意 f ( x ) = ax3 + bx2 – ( 3a + 2b )x + 3 ( a>0 )

f ??x? = 3ax2 + 2bx – 3a – 2b 由 f ??5?= 0 ?b = – 9a



若方程 f ( x ) = 8a 有三个不同的根,当且仅当 满足 f ( 5 )<8a<f ( 1 ) ②

x

?2

(?2,1)

1

? ?(x)



?(x) ?8a ? 9 2

由① ②得 – 25a + 3<8a<7a + 3 ? 1 <a<3 11
a

所以 当 1 <a<3 时,方程 f ( x ) = 8a 有三个不同的根。………… 12 分 11
4、(根的个数问题)已知函数 f (x) ? 1 x3 ? ax2 ? x ?1(a ? R)
3

(1)若函数 f (x) 在 x ? x1, x ? x2 处取得极值,且 x1 ? x2 ? 2 ,求 a 的值及 f (x) 的单调区间;

(2)若 a ? 1 ,讨论曲线 f (x) 与 g(x) ? 1 x2 ? (2a ?1)x ? 5 (?2 ? x ? 1) 的交点个数.

2

2

6

解:(1) f'(x) ? x2 ? 2ax ?1

? x1 ? x2 ? 2a, x1 ? x2 ? ?1 ? x1 ? x2 ? (x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ? 4a2 ? 4 ? 2 ?a ? 0 ………………………………………………………………………2 分
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f ?(x) ? x2 ? 2ax ?1 ? x2 ?1

令 f ?(x) ? 0 得 x ? ?1,或x ? 1

令 f ?(x) ? 0 得 ?1 ? x ? 1

∴ f (x) 的单调递增区间为 (??, ?1) , (1, ??) ,单调递减区间为 (?1,1) …………5 分

(2)由题 f (x) ? g(x) 得 1 x3 ? ax2 ? x ? 1 ? 1 x2 ? (2a ? 1)x ? 5

3

2

6

即 1 x3 ? (a ? 1)x2 ? 2ax ? 1 ? 0

3

2

6

令?(x) ? 1 x3 ? (a ? 1)x2 ? 2ax ? 1 (?2 ? x ? 1) ……………………6 分

3

2

6

???(x) ? x2 ? (2a ?1)x ? 2a ? (x ? 2a)(x ?1)

令??(x) ? 0 得 x ? 2a 或 x ? 1……………………………………………7 分
a? 1 2
当 2a ? ?2 即 a ? ?1时

此时, ?8a ? 9 ? 0 , a ? 0,有一个交点;…………………………9 分 2
当 2a ? ?2 即 ?1 ? a ? 1 时, 2

x

?2

(?2, 2a)

2a

(2a,1)

1

? ?( x)



0



?(x) ?8a ? 9 2

2 a2 (3 ? 2a) ? 1

a

3

6

2 a2 (3 ? 2a) ? 1 ? 0 ,

3

6

∴当 ?8a ? 9 ? 0 即 ?1 ? a ? ? 9 时,有一个交点;

2

16

当 ?8a ? 9 ? 0,且a ? 0 即 ? 9 ? a ? 0 时,有两个交点;

2

16

当 0 ? a ? 1 时, ?8a ? 9 ? 0 ,有一个交点.………………………13 分

2

2

综上可知,当 a ? ? 9 或 0 ? a ? 1 时,有一个交点;

16

2

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当 ? 9 ? a ? 0 时,有两个交点.…………………………………14 分 16

5 、( 简 单 切 线 问 题 ) 已 知 函 数

x3 f (x) ?

图象上斜率为

3

的两条切线间的距离为 2

10

,函数

a2

5

g(x)

?

f

(

x)

?

3bx a2

?3.

(Ⅰ) 若函数 g(x) 在 x ?1 处有极值,求 g(x) 的解析式;

(Ⅱ) 若函数 g(x) 在区间[?1,1] 上为增函数,且 b2 ? mb ? 4 ? g(x) 在区间[?1,1] 上都成立,求实数 m 的取值范

围.

函数中任意性和存在性问题探究
高考中全称命题和存在性命题与导数的结合是近年高考的一大亮点,下面结合高考试题对此类问题进行归纳探 究 一、相关结论:
结论 1: ?x1 ?[a,b],?x2 ?[c, d ], f (x1) ? g(x2 ) ? [ f (x)]min ? [g(x)]max ;【如图一】 结论 2: ?x1 ?[a, b], ?x2 ?[c, d ], f (x1) ? g(x2 ) ? [ f (x)]max ? [g(x)]min ;【如图二】
结论 3: ?x1 ?[a,b], ?x2 ?[c, d ], f (x1) ? g(x2 ) ? [ f (x)]min ? [g(x)]min ;【如图三】 结论 4: ?x1 ?[a,b],?x2 ?[c, d ], f (x1) ? g(x2 ) ? [ f (x)]max ? [g(x)]max ;【如图四】 结论 5: ?x1 ?[a,b], ?x2 ?[c, d ], f (x1) ? g(x2 ) ? f (x) 的值域和 g(x) 的值域交集不为空;【如图五】

【例题 1】:已知两个函数 f (x) ? 8x2 ?16x ? k, g(x) ? 2x3 ? 5x2 ? 4x, x ?[?3,3], k ? R ; (1) 若对 ?x ?[?3,3] ,都有 f (x) ? g(x) 成立,求实数 k 的取值范围;
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(3) 若 ?x ?[?3,3] ,使得 f (x) ? g(x) 成立,求实数 k 的取值范围;
(4)
(5) 若对 ?x1, x2 ?[?3, 3] ,都有 f (x1) ? g(x2 ) 成立,求实数 k 的取值范围;
解:(1)设 h(x) ? g(x) ? f (x) ? 2x3 ? 3x2 ?12x ? k ,(1)中的问题可转化为: x ?[?3,3] 时, h(x) ? 0 恒
成立,即[h(x)]min ? 0 。

h' (x) ? 6x2 ? 6x ?12 ? 6(x ? 2)(x ?1) ;

当 x 变化时, h(x), h' (x) 的变化情况列表如下:

(-3,-1

-

(-1,2

2

(2,3

3

x

-3 )

1

)

)

h? (x

+

0



0

+

)

h(x)

k-4

5

增函数



减函



增函

k-

大值 数

小值 数

9

因为 h(?1) ? k ? 7, h(2) ? k ? 20 ,所以,由上表可知[h(x)]min ? k ? 45 ,故 k-45≥0,得 k≥45,即 k∈[45,+
∞).
小结:①对于闭区间 I,不等式 f(x)<k 对 x∈I 时恒成立 ? [f(x)]max<k, x∈I;不等式 f(x)>k 对 x∈I 时恒 成立 ? [f(x)]min>k, x∈I.
②此题常见的错误解法:由[f(x)]max≤[g(x)]min 解出 k 的取值范围.这种解法的错误在于条件“[f(x)]max ≤[g(x)]min”只是原题的充分不必要条件,不是充要条件,即不等价.
(2)根据题意可知,(2)中的问题等价于 h(x)= g(x)-f(x) ≥0 在 x∈[-3,3]时有解,故[h(x)]max≥0. 由(1)可知[h(x)]max= k+7,因此 k+7≥0,即 k∈[7,+∞). (3)根据题意可知,(3)中的问题等价于[f(x)]max≤[g(x)]min,x∈[-3,3]. 由二次函数的图像和性质可得, x∈[-3,3]时, [f(x)]max=120-k. 仿照(1),利用导数的方法可求得 x∈[-3,3]时, [g(x)]min=-21. 由 120-k≥-21 得 k≥141,即 k∈[141,+∞). 说明:这里的 x1,x2 是两个互不影响的独立变量.

从上面三个问题的解答过程可以看出,对于一个不等式一定要看清是对“ ? x”恒成立,还是“ ? x”使之成立,

同时还要看清不等式两边是同一个变量,还是两个独立的变量,然后再根据不同的情况采取不同的等价条件,千万不 要稀里糊涂的去猜.. 二、相关类型题:

〈一〉、"a ? f (x)"型;
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形如"a ? f (x)","a ? f (x)" 型不等式,是恒成立问题中最基本的类型,它的理论基础是“ a ? f (x) 在 ?x ? D
上恒成立,则 a ? f (x)max (x ? D); a ? f (x) 在 x∈D 上恒成立,则 a ? f (x)min (x ? D); ”.许多复杂的恒成立问题
最终都可归结到这一类型.

例 1 :已知二次函数 f (x) ? ax2 ? x ,若 ? x ?[0,1] 时,恒有| f (x) |? 1 ,求实数 a 的取值范围.

解: | f (x) |? 1,∴ ?1 ? ax2 ? x ? 1;即 ?1? x ? ax2 ? 1? x ;

当 x ? 0 时,不等式显然成立, ∴a∈R.

当0?

x

?1时,由 ?1?

x

?

ax2

?1?

x 得: ?

1 x2

?

1 x

?

a

?

1 x2

?

1 x

,而

(

1 x2

?

1 x )min

?

0

. ∴a?0.

又∵ (?

1 x2

?

1 x )max

?

?2 ,∴ a

?

?2,??2 ?

a

?0

,综上得

a

的范围是 a ?[?2, 0]。

〈二〉、" f (x1) ? f (x) ? f (x2 )"型

例2

已知函数

f (x) ? 2sin(? x ? ? ) ,若对 ? 25

x ? R ,都有" f (x1) ?

f (x) ?

f (x2 )" 成立,则| x1 ? x2 | 的最小

值为____.

解 ∵对任意 x∈R,不等式 f (x1) ? f (x) ? f (x2 ) 恒成立,

∴ f (x1), f (x2 ) 分别是 f (x) 的最小值和最大值.

对于函数 y ? sin x ,取得最大值和最小值的两点之间最小距离是 π,即半个周期.

又函数

f

(x)

?

2sin(? x 2

?

?) 5

的周期为

4,∴ |

x1

?

x2

|

的最小值为

2.

〈三〉、." f ( x1 ? x2 ) ? f (x1) ? f (x2 ) "型

2

2

例 3 : (2005 湖 北 ) 在 y ? 2x, y ? log2 2x, y ? x2, y ? cos x 这 四 个 函 数 中 , 当 0 ? x1 ? x2 ? 1 时 , 使

" f ( x1 ? x2 ) ? f (x1) ? f (x2 ) "恒成立的函数的个数是( )

2

2

A.0

B.1

C.2

D.3

解:本题实质就是考察函数的凸凹性,即满足条件" f ( x1 ? x2 ) ? f (x1) ? f (x2 ) "的函数,应是凸函数的性质,

2

2

画草图即知 y ? log2 2x 符合题意;

〈四〉、." f (x1) ? f (x2 ) ? 0" 型 x1 ? x2

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例 4 已知函数 f (x) 定义域为[?1,1], f (1) ? 1,若 m, n ?[?1,1] , m ? n ? 0时,都有" f (m) ? f (n) ? 0" , m?n
若 f (x) ? t2 ? 2at ?1 对所有 x ?[?1,1] , a ?[?1,1] 恒成立,求实数 t 取值范围.

解 : 任 取 ?1 ? x1 ? x2 ? 1 , 则

f (x1) ?

f (x2 ) ?

f

( x1 ) x1

? ?

f (x2 x2

)

( x1

?

x2

)









f (x1) ? f (x2 ) ? 0 x1 ? x2

,又

x1 ? x2 ? 0 ,∴ f (x1) ? f (x2 ) ? 0 f,即 f (x) 在[?1,1]上为增函数.

∵ f (1) ? 1,∴ x ?[?1,1] ,恒有 f (x) ?1;

∴要使 f (x) ? t2 ? 2at ?1 对所有 x ?[?1,1] , a ?[?1,1] 恒成立,即要 t2 ? 2at ?1 ? 1恒成立,

故 t2 ? 2at ? 0 恒成立,令 g(a) ? ?2at ? t2 ,只须 g(?1) ? 0 且 g(1) ? 0 ,

解得 t ? ?2 或 t ? 0 或 t ? 2 。

评注: 形如不等式 " f (x1) ? f (x2 ) ? 0" 或 " f (x1) ? f (x2 ) ? 0" 恒成立,实际上是函数的单调性的另一种表

x1 ? x2

x1 ? x2

现形式,在解题时要注意此种类型不等式所蕴涵的重要信息.

〈五〉、." f (x) ? g(x)" 型:

例 5: 已知 f (x) ? 1 lg(x ?1) , g(x) ? lg(2x ? t) ,若当 x ?[0,1] 时, f (x) ? g(x) )恒成立,求实数 t 的取 2
值范围.

解: f (x) ? g(x) 在 x ?[0,1] 恒成立,即 x ?1 ? 2x ? t ? 0 在 x ?[0,1] 恒成立 ? x ?1 ? 2x ? t 在[0,1] 上的
最大值小于或等于零.

令 F (x) ? x ?1 ? 2x ? t , F '(x) ? 1? 4 x ?1 ,∵ x ?[0,1] 2 x ?1

∴ F ' (x) ? 0 ,即 F(x) 在[0,1]上单调递减,F(0)是最大值.

∴ f (x) ? F(0) ? 1? t ? 0 ,即 t ?1。

〈六〉、" f (x1) ? g(x2 )"型



6:已知函数

f

(x)

?

1 3

x3

?

x2

? 3x

?

4 3

, g(x)

?

?

9x ? 2

c

,若对任意

x1,

x2

?[?2, 2] ,都有

f

( x1 )

?

g(x2 ) ,

求 c 的范围.

解:因为对任意的 x1, x2 ?[?2, 2] ,都有 f (x1) ? g(x2 ) 成立,

∴[ f (x)]max ? [g(x)]min ,∵ f ' (x) ? x2 ? 2x ? 3 ,令 f ' (x) ? 0 得 x ? 3, x ? ?1x>3 或 x<-1; f ' (x) ? 0 得
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?1? x ? 3;∴ f (x) 在[?2, ?1] 为增函数,在[?1, 2] 为减函数.



f

(?1)

? 3,

f

(2)

?

?6 ,∴[

f

( x)]max

?

3, .∴ 3 ?

?18 ? c 2

,∴ c

? ?24 。

〈七〉、" | f (x1) ? f (x2 ) |? t "( t 为常数)型;

例7

:已知函数

f

(

x)

?

?x4

?

2x3

,则对任意

t1,

t2

?[?

1 2

,

2]



t1

? t2 )都有

| f (x1) ? f (x2 ) |? ____ 恒成立,当且仅当 t1 =____, t2 =____时取等号.

解:因为| f (x1) ? f (x2) |?| [ f ( x)]max ?[ f ( x)]min | 恒成立,



f (x) ? ?x4

? 2x3, x ?[? 1 , 2] 2









[f

( x)]max

?

f

(3) ? 2

27 16



[f

( x)]min

?

f

(? 1) 2

?

?5 16

,∴

| f (x1) ? f (x2 ) |? 2 。

例 8 :已知函数 y ? f (x) 满足:(1)定义域为[?1,1];(2)方程 f (x) ? 0 至少有两个实根 ?1和1;(3)过 f (x)
图像上任意两点的直线的斜率绝对值不大于 1.
(1)证明| f (0) |?1|;

(2)证明:对任意 x1, x2 ?[?1,1] ,都有| f (x1) ? f (x2 ) |? 1 .
证明 (1)略;
(2)由条件(2)知 f (?1) ? f (1) ? 0 ,

不妨设 ?1 ? x1 ? x2 ? 1,由(3)知| f (x1) ? f (x2 ) |?| x1 ? x2 |? x2 ? x1 , 又∵| f (x1) ? f (x2 ) |?| f (x1) | ? | f (x2 ) |?| f (x1) ? f (?1) | ? | f (x2) ? f (1) | ? x1 ?1?1? x2 ? 2 ? (x2 ? x1) ? 2? | f (x1) ? f (x2 ) | ;∴| f (x1) ? f (x2 ) |? 1 〈八〉、" | f (x1) ? f (x2 ) |?| x1 ? x2 | " 型

例 9: 已知函数 f (x) ? x3 ? ax ? b ,对于 x1, x2 ? (0,

3 3 )( x1

?

x2 )

时总有 |

f

(x1) ?

f

(x2 ) |?|

x1

?

x2

| 成立,求

实数 a 的范围.

解 由 f (x) ? x3 ? ax ? b ,得 f ' (x) ? 3x2 ? a ,

当 x ? (0,

3 ) 时, a ? 3

f ' (x) ? 1? a ,∵| f (x1) ? f (x2 ) |?| x1 ? x2 | ,

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∴| f (x1) ? f (x2 ) |? 1, x1 ? x2



?a ? ?1 ??1? a ? 1

?

?1

?

a

?

0

评 注 由 导 数 的 几 何 意 义 知 道 , 函 数 y ? f (x) 图 像 上 任 意 两 点 P(x1, y1), Q(x2 , y2 ) 连 线 的 斜 率

k

?

y2 x2

? y1 ? x1

( x1

?

x2 ) 的取值范围,就是曲线上任一点切线的斜率(如果有的话)的范围,利用这个结论,可以解决

形如| f (x1) ? f (x2 ) |? m | x1 ? x2 | |或| f (x1) ? f (x2 ) |? m | x1 ? x2 | (m>0)型的不等式恒成立问题.

考前寄语:
易后难,先熟后生; 一慢一快:审题要慢,做题要快; 不能小题难做,小题大做,而要小题小做,小题巧做; 我易人易我不大意,我难人难我不畏难; 考试不怕题不会,就怕会题做不对; 基础题拿满分,中档题拿足分,难题力争多得分,似曾相识题力争不失分; 对数学解题有困难的考生的建议:立足中下题目,力争高上水平,有时“放弃”是一种策略.

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