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【名师伴你行】2015届高考数学二轮复习 第13讲 空间几何体的三视图、表面积及体积课件 文


[二轮备考讲义]

第二部分 二轮知识专题大突破

专题四

立体几何

第一讲

空间几何体的三视图、表面积及体积

从近几年的考情分析来看,高考对本节知识的考查主要有 以下两个考向: ?1?三视图几乎是每年的必考内容,一般以选择题、填空题 的形式出现,一是考查相关的识图,由直观图判断三视图或由 三视图想象直观图;二是以三视图为载体,考查面积、体积的 计算等,均属低中档题.

?2?空间几何体的表面积与体积的计算,通常以几何体为载 体与球进行交汇考查,或蕴含在两几何体的“接”或“切”形 态中,以小题形式出现,属低中档题.

基础记忆

试做真题

基础要记牢,真题须做熟

基础知识不“背死”,就不能“用活”! 1.把握两个规则 (1)三视图排列规则. 俯视图放在正(主)视图的下面,长度与正(主)视图一样;侧 (左)视图放在正(主)视图的右面,高度和正(主)视图一样,宽度 与俯视图一样. 画三视图的基本要求:正(主)、俯一样长,俯、侧(左)一样 宽,正(主)、侧(左)一样高.

(2)画直观图的规则. 画直观图时,与坐标轴平行的线段仍平行,与x轴、z轴平 行的线段长度不变,与y轴平行的线段长度减半. 2.熟记两组公式 (1)柱体、锥体、台体的侧面积公式. ①S柱侧=ch(c为底面周长,h为高); 1 ②S锥侧= ch′[c为底面周长,h′为斜高(圆锥是母线长)]; 2

1 ③S台侧= (c+c′)h′[c′,c分别为上、下底面的周长, 2 h′为斜高(圆台是母线长)]; ④S球表=4πR2(R为球的半径). (2)柱体、锥体和球的体积公式. ①V柱体=Sh(S为底面面积,h为高); 1 ②V锥体= Sh(S为底面面积,h为高); 3

1 ③V台体= (S+ SS′+S′)h(不要求记忆); 3 4 3 ④V球=3πR (R为球的半径).

高考真题要回访,做好真题底气足 1.(2014· 全国新课标Ⅱ)如图,网格纸上正方形小格的边长 为1(表示1 cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由 一个底面半径为3 cm,高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到,则切 削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )

17 A. 27 10 C.27

5 B. 9 1 D.3

答案:C

解析:由三视图可知几何体是如图所示的两个圆柱的组合

体.其中左面圆柱的高为4 cm, 底面半径为2 cm,右面圆柱的高为2 cm,底面半径为3

cm,则组合体的体积V1=π×22×4+π×32×2=16π+18π= 34π(cm3),原毛坯体积V2=π×32×6=54π(cm3),则所求比值为 54π-34π 10 = . 54π 27

2.(2014· 浙江高考)某几何体的三视图(单位:cm)如图所 示,则该几何体的体积是( )

A.72 cm3

B.90 cm3

C.108 cm3

D.138 cm3

答案:B

解析:先根据三视图画出几何体,再利用体积公式求 解.该几何体为一个组合体,左侧为三棱柱,右侧为长方体, 如图所示. V=V三棱柱+V长方体= 90(cm3). 1 2 ×4×3×3+4×3×6=18+72=

3.(2014· 湖南高考)一块石材表示的几何体的三视图如图所 示.将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半 径等于( )

A.1 B.2 C.3 D.4

答案:B

解析:此几何体为一直三棱柱,底面是边长为6,8,10的直角 三角形,侧棱为12,故其最大球的半径为底面直角三角形内切 1 2×2×6×8 2S 圆的半径,故其半径为r= = =2,故选B. a+b+c 6+8+10

4.(2014· 天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位: m),则该几何体的体积为________m3.

20π 答案: 3

解析:根据三视图还原出几何体,利用圆柱和圆锥的体积 公式求解. 根据三视图知,该几何体上部是一个底面直径为4 m,高为 2 m的圆锥,下部是一个底面直径为2 m,高为4 m的圆柱. 1 20 π 3 2 2 故该几何体的体积V=3π×2 ×2+π×1 ×4= 3 (m ).

热点盘点

细研深究

必须回访的热点名题

空间几何体的三视图及应用
[试题调研] [例1] (1)(2014· 湖北高考)在如图所示的空间直角坐标系O

-xyz中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0), (1,2,1),(2,2,2).给出编号为①、②、③、④的四个图,则该四 面体的正(主)视图和俯视图分别为( )

A.①和② C.④和③

B.③和① D.④和②

[答案] D

[解析]

由四面体四个顶点的坐标可知,正(主)视图为④,

俯视图为②,选D.

(2)(2014· 全国新课标Ⅰ)如图,网格纸的各小格都是正方 形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是 ( ) A.三棱锥 C.四棱锥 B.三棱柱 D.四棱柱

[命题意图]

本题考查空间直角坐标系和三视图的相关知

识,意在考查考生的识图能力和空间想象能力.

[答案]
[解析]

B
由题知,该几何体的三视图为一个三角形,两个四

边形,经分析可知该几何体为三棱柱,故选B.

识与画三视图的关键点 (1)要牢记三视图的观察方向和长、宽、高的关系,三视图 的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从物体的正前方、正 左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形,反 映了一个几何体各个侧面的特点.正(主)视图反映物体的主要形 状特征,是三视图中最重要的视图;俯视图在正(主)视图的正下 方;侧(左)视图要画在正(主)视图的正右方,高度要与正(主)视 图平齐.

(2)要熟悉各种基本几何体的三视图.同时要注意画三视图 时,能看到的轮廓线画成实线,看不到的轮廓线画成虚线.

[回访名题]

(2014· 石家庄质检)把边长为

2 的正方形ABCD沿对角线BD

折起,连接AC,得到三棱锥C-ABD,其正(主)视图、俯视图为 全等的等腰直角三角形(如图所示),则其侧左视图的面积为 ( )

3 A. 2 C.1

1 B. 2 2 D. 2

答案:B

解析:由题意知在三棱锥C-ABD中,C在平面ABD上的射 影为BD的中点O,如图.

∵正方形边长为

2 ,∴AO=OC=1,∴侧(左)视图的面积

1 1 为S△AOC= ×1×1= ,故选B. 2 2

空间几何体的表面积与体积
[试题调研] [例2] (1)(2014· 安徽高考) ) 一个多面体的三视图如图所

示,则该多面体的体积为(

23 A. 3 C.6

47 B. 6 D.7

[答案] A

[解析]

画出几何体的直观图,根据直观图及体积公式求

解.由三视图知,几何体的直观图如图所示.该几何体是正方 1 1 体去掉两个角所形成的多面体,其体积为V=2×2×2-2× 3 × 2 23 ×1×1×1= . 3

(2)(2014· 辽宁高考)如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂 直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120° ,E,F,G分 别为AC,DC,AD的中点. (1)求证:EF⊥平面BCG; (2)求三棱锥D-BCG的体积. 1 附:锥体的体积公式V=3Sh,其中S为底面面积,h为高.

[命题意图]

本题考查三角形的全等、直线与平面垂直的判

定定理、锥体的体积公式等基础知识,考查化归与转化思想, 考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. [思路方法] (1)先证明AD⊥平面BCG,再利用平行关系得

证;(2)利用等体积法转化为求三棱锥G-BCD的体积.

[解析]

(1)证明:由已知得△ABC≌△DBC,

因此AC=DC. 又G为AD中点,所以CG⊥AD; 同理BG⊥AD;因此AD⊥平面BCG. 又E,F为AC,DC中点, 所以EF∥AD, 所以EF⊥平面BCG.

(2)如图,在平面ABC内,作AO⊥CB,交CB延长线于O. 由平面ABC⊥平面BCD,知 AO⊥平面BDC. 又G为AD中点, 因此G到平面BDC的距离h是AO长度的一半. 在△AOB中,AO=AB· sin 60° = 3,

1 所以VD-BCG=VG-BCD= ×S△DBC×h 3 1 1 3 1 =3×2×BD×BC×sin 120° × 2 =2.

1.根据几何体的三视图求其表面积与体积的三步法. (1)根据给出的三视图判断该几何体的形状; (2)由三视图中的大小标示确定该几何体的各个度量; (3)套用相应的面积公式与体积公式计算求解.

2.求解几何体的表面积及体积的技巧. (1)求几何体的表面积及体积问题,熟记公式是关键所 在.求三棱锥的体积,等体积转化是常用的方法,转换原则是 其高易求,底面在已知几何体的某一面上. (2)求不规则几何体的体积,常用分割或补形的思想,将不 规则几何体转化为规则几何体以易于求解.

[回访名题] (1)(2014· 江苏高考)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1, S1 9 V1 S2,体积分别为V1,V2,若它们的侧面积相等,且 S = 4 ,则 V 2 2 的值是________.
3 答案: 2

解析:设甲、乙两个圆柱的底面半径分别是r1,r2,母线长 S1 9 r1 3 分别是l1,l2.则由 S = 4 可得 r = 2 .又两个圆柱的侧面积相等,即 2 2 l1 r2 2 V1 S1l1 9 2 3 2πr1l1=2πr2l2,则l =r =3,所以V =S l =4×3=2. 2 1 2 2 2

(2)(2014· 重庆高考)如图,四棱锥P-ABCD中,底面是以O π 为中心的菱形,PO⊥底面ABCD,AB=2,∠BAD= 3 ,M为BC 1 上一点,且BM= . 2 (1)证明:BC⊥平面POM; (2)若MP⊥AP,求四棱锥P-ABMO的体积.

解:(1)证明:如图,因为四边形ABCD为菱形,O为菱形中 心,连接OB,则AO⊥OB. π 因为∠BAD=3, π 故OB=AB· sin∠OAB=2sin =1. 6

1 π 又因为BM= ,且∠OBM= , 2 3 在△OBM中,OM2=OB2+BM2-2OB· BM· cos ∠OBM=1
2

?1? 1 2 ? ? + 2 -2×1×2×cos ? ?

π 3 3=4.

所以OB2=OM2+BM2,故OM⊥BM. 又PO⊥底面ABCD,所以PO⊥BC. 又OM∩PO=O, 所以BC⊥平面POM.

π (2)由(1)可得OA=AB· cos ∠OAB=2cos = 3. 6 设PO=a,由PO⊥底面ABCD知,△POA为直角三角形,故 PA2=PO2+OA2=a2+3. 又△POM也是直角三角形, 3 故PM =PO +OM =a +4,
2 2 2 2

连接AM.在△ABM中,AM2=AB2+BM2-2AB· BM· cos ABM=2
2



? 1? 1 2 ? ? + 2 -2×2×2×cos ? ?

2π 21 3=4.

由已知MP⊥AP,故△APM为直角三角形, 3 21 则PA +PM =AM ,即a +3+a +4= 4 .
2 2 2 2 2

3 3 3 得a= ,a=- (舍去),即PO= . 2 2 2 此时S四边形ABMO=S△AOB+S△OMB 1 1 = · AO· OB+ · BM· OM 2 2

1 1 1 3 5 3 = × 3×1+ × × = . 2 2 2 2 8 所以四棱锥P-ABMO的体积为 1 1 5 3 3 5 VP-ABMO=3· S四边形ABMO· PO=3× 8 × 2 =16.

多面体与球的切、接问题
[试题调研] [例3] (1)(2014· 全国大纲)正四棱锥的顶点都在同一球面 )

上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( 81π A. 4 B.16π C.9π 27π D. 4

[命题意图]

本题主要考查正四棱锥的结构特征及其外接球

表面积的计算,意在考查考生的空间想象能力和基本的运算能 力. [技巧点拨] 解此类问题的关键在于利用几何体的结构特征

建立关于几何度量之间的关系,多从球的截面这个角度入手, 如本题就是利用正四棱锥的结构特征确定球心在正四棱锥的高 所在的直线上,结合球的截面的性质,根据射影定理建立相关 度量之间的关系式求解.

[答案] A

[解析]

如图,正四棱锥P-ABCD的底面中心为H.

2 在底面正方形ABCD中,AH= AB= 2, 2 又PH=4, 故在Rt△PAH中, PA= PH2+AH2 = 42+? 2?2=3 2.

则由正四棱锥的性质可得,其外接球的球心O在PH所在的 直线上,设其外接球的直径为PQ= 2r. 又A在正四棱锥外接球的表面上, 所以AP⊥AQ. 又AH⊥PH,由射影定理可得 PA2=PH×PQ, PA2 ?3 2?2 9 9 故2r=PQ= = = ,所以r= . PH 4 2 4

故该球的表面积为S=4πr

2

?9? 81π 2 ? ? =4π 4 = .故选A. 4 ? ?

(2)(2014· 河南郑州质检)已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂 直于底面,各顶点都在同一球面上,若该棱柱的体积为 3 ,AB =2,AC=1,∠BAC=60° ,则此球的表面积等于________.

[答案]



[解析]

12+22-BC2 在△ABC中,cos 60° = , 2×1×2

∴BC= 3,AB2=AC2+BC2,∴∠ACB=90° . 1 而 3=S△ACB· CC1=2×1× 3×CC1, CC1=2,三棱柱ABC-A1B1C1的外接球与以CB,CA,CC1 为长,宽,高的长方体的外接球是同一个球,而长方体的体对 角线是其外接球的直径,因而三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的 12+22+? 3?2 半径是 = 2, 2

其表面积为S=4π( 2)2=8π.

多面体与球接、切问题求解方法 (1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多 面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面,把空间问题转化 为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关 系,或只画内切、外接的几何体的直观图,确定球心的位置, 弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系,列方程(组)求 解.

(2)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段PA,PB,PC 两两互相垂直,且PA=a,PB=b,PC=c,一般把有关元素 “补形”成为一个球内接长方体,根据4R2=a2+b2+c2求解.

[回访名题] (1)(2014· 石家庄质检二)点A,B,C,D在同一个球的球面 上,AB=BC=2,AC=2 4 ,则该球的表面积为( 3 16π A. 3 B.8π C.9π 2 ,若四面体ABCD体积的最大值为 ) D.12π

答案:C

解析:本题以球和三棱锥的组合体为背景,考查了三棱锥 的体积、球的表面积计算及其球的截面性质.如图,O为球心, O1为△ABC外接圆圆心.∵AB=BC=2,AC=2 2 ,∴AB⊥BC 且S△ABC=2,当点D与点O,O1三点共线时,四面体ABCD的体 积最大,此时DO1=2,设球的半径为R,O1B= 2,由球的截面 3 性质得,R =2+(2-R) ,解得R= 2 ,∴球的表面积为9π,故选
2 2

C.

(2)(2014· 贵阳监测)已知四棱锥O-ABCD的顶点在球心O, 底面正方形ABCD的四个顶点在球面上,且四棱锥O-ABCD的 3 2 体积为 2 ,AB= 3,则球O的体积为________.

答案:8 6π

解析:如图,O′为底面正方形ABCD的中心,连接OO′ 和O′A, 1 3 2 2 则VO-ABCD=3×( 3) ×OO′= 2 , 3 2 所以OO′= . 2

1 又O′A= AB2+BC2 2 1 6 2 2 =2 ? 3? +? 3? = 2 ,
2 2 所以OA= OO′ +O′A



?3 2? ? ? ?2 ? ? 2 ? +? ? ? ?

6? ?2 = 6, 2? ?

4 所以V球=3π×( 6)3=8 6π.

领读 空间几何体的体积是高考考查立体几何的考点之一,求空 间几何体的体积的常用方法主要有:公式法、转化法、割补 法. (1)公式法:直接根据相关的体积公式计算. (2)转化法:根据体积计算公式,通过转换空间几何体的底 面和高使得体积计算更容易,或更易求出一些体积比等.

(3)割补法:把不能直接计算其体积的空间几何体进行适当 的分割或补形,转化为可以计算体积的空间几何体,由这个空 间几何体的体积计算所求空间几何体的体积.

[典例]

(2014· 江西高考)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,

AA1⊥BC,A1B⊥BB1.

(1)求证:A1C⊥CC1; (2)若AB=2,AC= 3 ,BC= 7 ,问AA1为何值时,三棱柱 ABC-A1B1C1体积最大,并求此最大值.

[命题意图]

本题主要考查三棱柱的结构特征、空间直线垂

直关系的证明、空间几何体的体积,意在考查考生的运算求解 能力、空间想象能力和推理论证能力.

[审题策略]

(1)证明线线垂直可用线面垂直证明,即用已

知的线线垂直证明线面垂直,利用线面垂直的性质得线线垂 直. (2)设出变量,建立体积函数求最值. 解法一:设A1A=x,求出A1B,A1C的长,利用余弦定理求 出cos ∠BA1C,sin ∠BA1C,进而得出S△A1BC,从而求出体积 函数,配方后求出最值.

解法二:过A1作BC的垂线A1D,利用线面垂直证明AD⊥ BC,设A1A=x,利用等面积法求出AD,再利用勾股定理求出 A1D,表示出S△A1BC,从而求出体积函数,配方后求出最值.

[解析]

(1)证明:由 AA1⊥BC,知 BB1⊥BC,又 BB1⊥A1B,

BC∩A1B=B, 故 BB1⊥平面 BCA1, 即 BB1⊥A1C, 又 BB1∥CC1,所以 A1C⊥CC1.① (2)解法一: 设 AA1=x,
2 在 Rt△A1BB1 中,A1B= A1B1 -BB2 1

= 4-x2.
2 2 同理,A1C= A1C2 1-CC1= 3-x .

在△A1BC 中,

A1B2+A1C2-BC2 cos∠BA1C= 2A1B· A1C x2 =- 2 2 , ?4-x ??3-x ? 所以 sin ∠BA1C= 12-7x2 2 2 , ?4-x ??3-x ?

12-7x2 1 所以 S△A1BC=2A1B· A1C· sin ∠BA1C= . 2

从而三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积为

故当 x=

6 42 42 3 7 = , 即 AA1= 时, 体积 V 取到最大值 . 7 7 7 7

解法二:过 A1 作 BC 的垂线,垂足为 D,连接 AD, A1D. 由 AA1⊥BC,A1D⊥BC,故 BC⊥平面 AA1D, 所以 BC⊥AD,

又 AB2+AC2=BC2,所以∠BAC=90° , 1 1 所以 S△ABC=2AD· BC=2AB· AC, 2 21 得 AD= 7 . 设 AA1=x,在 Rt△AA1D 中, A1D= AD
2 2 -AA1 =

12 2 7 -x ,

12-7x2 1 =2A1D· BC= . 2

从而三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积为 V=S 直· l= x 12-7x2 · AA1= . 2

因为 x 12-7x2= 12x2-7x4 =
? 6?2 36 2 -7?x -7? + 7 , ? ?

故当 x=

6 42 42 3 7 = , 即 AA1= 时, 体积 V 取到最大值 . 7 7 7 7

[失分警示] 分.

失分点 1:题中①处证明过程不严密而造成失

失分点 2:题中②处不能建立出体积关于变量 AA1 的函数关 系式而造成无法求解失分. 失分点 3:题中③处不能对关系式进行合理变形,利用配方 法求出最值而失分.

[答题指导]

与空间图形有关的最值问题常常在高考试题中

出现.在解决此类问题时,首先在充分理解题意的基础上,分析 是否能用公理与定义直接解决题中问题;如果不能,再看是否可 将问题条件转化为函数,若能写出确定的函数,则可用建立函数 法求解;若不能,则要考虑其中是否存在不等关系,看是否能运 用解不等式法求解.


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