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河南省泌阳一高2012-2013学年高二12月月考数学(理)试题(附答案)


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泌阳一高 2012 年十二月月考试题 高二理科数学
第Ⅰ卷(共 60 分)
注意事项: 1.答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、试卷科目用铅笔涂写在答题卡上。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净,再选涂其它答案,不能答在试题卷上。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,有 且只有一项符合题目要求。 1.物体运动方程为 S ? t 4 ? 3 ,则 t ? 2 时瞬时速度为( A.2 B.4 C. 6 )

1 4

) D.8

2.已知命题 p : ?x ? R , sin x ≤1,则( A. ?p : ?x ? R , sin x ≥1 C. ?p : ?x ? R , sin x ? 1
2 2

B. ?p : ?x ? R , sin x ≥1 D. ?p : ?x ? R , sin x ? 1 )

3.如果方程 x +ky =2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是( A.(0,+∞) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1) 4.下面命题中,正确命题的个数为( ) ①若 n1、n2 分别是平面 α 、β 的法向量,则 n1∥n2?α ∥β ; ②若 n1、n2 分别是平面 α 、β 的法向量,则 α ⊥β ?n1·n2=0;

③若 n 是平面 α 的法向量,b、c 是 α 内两不共线向量 a=λ b+μ c,(λ ,μ ∈R)则

n·a=0;
④若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
y
f ?( x )

5.已知函数 f (x)的导函数 f ?( x) 的图象如右图所示, 那么函数 f (x)的图象最有可能的是(
y y

)
y y O -1 1

2

x

-2 O 1

2 x -2 O

1 2 x

-2 O

1 2 x

-2 O 1 2 x

A

B

C

D

6.命题 A:两曲线 F(x,y)=0 和 G(x,y)=0 相交于点 P(x0,y0),命题 B:曲线 F(x,y)+λ G(x,y)=0( λ 为 常 数 ) 过 点 P(x0,y0) , 则 命 题 A 是 命 题 B 的

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( ) (A)充分不必要条件 (C)充要条件

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

2 3 7.设点 P 是曲线 y=x - 3x+ 上的任意一点,P 点处的切线倾斜角为 α ,则 α 的取值范 3 围为( )

? A.?0, ?

π ? ?2 ? ?∪? π ,π ? 2 ? ?3 ?

? B.?0, ?

π ? ?5 ? ?∪? π ,π ? 2 ? ?6 ?

?2 ? C.? π ,π ? ?3 ?
=2|FB|,则 k=( A. 1 3 ) B. 2 3 C. 2 3

?π 5 ? D.? , π ? ?2 6 ?
2

8.已知直线 y=k(x+2)(k>0)与抛物线 C:y =8x 相交于 A、B 两点,F 为 C 的焦点.若|FA|

D.

2 2 3 3 1 , , 2 2

9.如图所示,在空间直角坐标系中 BC=2,原点 O 是 BC 的中点,点 A 的坐标是( → 0),点 D 在平面 yOz 上,且∠BDC=90°,∠DCB=30°,则向量OD的坐标 为( ) A.?-

? ?

3 1 ? ,- ,0? 2 2 ?

1 3? ? B.?0,- , ? 2 2 ? ? 3? ? 1 D.?0, ,- ? 2? ? 2

3 ? 1 ? C.?- ,- ,0? 2 ? 2 ?

10.双曲线的左焦点为 F1,顶点为 A1、A2,P 是双曲线上任意一点,则分别以线段 PF1、A1A2 为直径的两圆的位置关系为( A.相交 B.相切 ) C.相离 D.以上情况都有可能

11.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(2)=0,当 x>0 时,有 等式 x f ( x) ? 0 的解集是
2

xf ?( x) ? f ( x) ? 0 恒成立,则不 x2

(

) (D) (-∞,-2)∪ (0,2)

(A) (-2,0) ∪ (2,+∞)
2 2

(B) (-2,0) ∪ (0,2)

(C) (-∞,-2)∪ (2,+∞)

x y 1 2 12.设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 e= ,右焦点为 F(c,0),方程 ax +bx-c=0 的 a b 2
两个实根分别为 x1 和 x2,则点 P(x1,x2)( A.必在圆 x +y =2 上
2 2

)
2 2

B.必在圆 x +y =2 外

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C.必在圆 x +y =2 内

2

2

D.以上三种情形都有可能

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在题中横线上。 13..函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? ax 在 (1, 2) 上单调递增,则实数 a 的取值范围是 .

14.在平面直角坐标系中,A(-2,3),B(3,-2),沿 x 轴把直角坐标系折成 120°的二面角, 则 AB 的长度为________. 15.设 P 为双曲线 x - =1 上的一点,F1,F2 是该双曲线的左、右焦点,若△PF1F2 的面积为 12 12,则∠F1PF2 等于________. 16.下列四个命题中,正确的命题序号是 ⑴对于函数 f ( x) ? (2 x ? x2 )e x , f (? 2) 是 f ( x ) 的极小值, f ( 2) 是 f ( x ) 的极大值; ⑵设回归直线方程为 y=2-2.5x,当变量 x 增加一个单位时, y 平均增加 2 个单位;
2

y2

,,b ? (1 , ? 1) ,则向量 ⑶已知平面向量 a ? (11)

1 3 a ? b ? (?2, ? 1) ; 2 2

⑷已知 P,Q 为抛物线 x2 ? 2 y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4, ? 2,过 P、Q 分别作抛物线的切 线,两切线交于 A,则点 A 的纵坐标为 ? 4. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 10 分)投掷一个质地均匀,每个面上标有一个数字的正方体玩具,它的 六个面中,有两个面的数字是 0 ,两个面的数字是 2,两个面的数字是 4.将此玩具连续抛 掷两次,以两次朝上一面出现的数字分别作为点 P 的横坐标和纵坐标. (Ⅰ)求点 P 落在区域 C : x ? y ? 10 上的概率;
2 2

(Ⅱ)若以落在区域 C : x ? y ? 10 上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域 M,在区
2 2

域 C 上随机撒一粒豆子,求豆子落在区域 M 上的概率 18. 在平面直角坐标系 x O y 中,直线 l 与抛物线 y =2 x 相交于 A、B 两点。 (Ⅰ)求证:命题“如果直线 l 过点 T(3,0) ,那么 OA ? OB =3”是真命题; (Ⅱ)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由。 19.(本小题共 10 分) 把边长为 a 的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形(如图阴影部分)后,用剩余部分做成 一个无盖的正三棱柱形容器(不计接缝),设容器的高为 x,容积为 V ( x) .
2

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(Ⅰ)写出函数 V ( x) 的解析式,并求出函数的定义域; (Ⅱ)求当 x 为多少时,容器的容积最大?并求出最大容积.

20.如图,在底面是正方形的四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥面 ABCD,BD 交 AC 于点 E,F 是 PC 中点,G 为 AC 上一点. (Ⅰ)确定点 G 在线段 AC 上的位置,使 FG∥平面 PBD,并说明理由; 2π (Ⅱ)当二面角 B-PC-D 的大小为 时,求 PC 与底面 ABCD 所成角的 3 正切值.

21. (本小题满分 12 分) 如图, 设 P 是圆 x ? y ? 25 上的动点, 点 D 是 P 在 x 轴上的投
2 2

影,M 为 P D 上一点,且 MD ?

4 PD 5

(Ⅰ)当 P 的在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为

4 的直线被 C 所截线段 AB 的长度 5

22.(本小题满分 12 分) x 2 设函数 f(x)=x(e -1)-ax . 1 (Ⅰ)若 a= ,求 f(x)的单调区间; 2 (Ⅱ)若当 x≥0 时 f(x)≥0,求 a 的取值范围.

泌阳一高 2012 年十二月月考试题 高二理科数学答案
选择题:DCDDA AADBB DC

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填空题:13. (??, ]

1 3

14. 2 11

15.

π 2

16. ⑴ ⑷

17.解: (Ⅰ)点 P 的坐标有: (0,0) , (0,2) , (0,4) , (2,0) , (2,2) , (2,4) , (4,0) , (4,2) , (4,4) ,共 9 种, 其中落在区域 C : x 2 ? y 2 ? 10上的点P的坐标有: (0,0), (0,2), (2,0), (2,2), 共 4 种.故点 P
2 2 落在区域 C : x ? y ? 10上的概率为

(Ⅱ)区域 M 为一边长为 2 的正方形,其面积为 4,区域 C 的面积为 10 ? ,则豆子落在区 域 M 上的概率为

4 . ????????????6 分 9

2 . ????????????????10 分 5?
2

18.证明: (Ⅰ)解法一:设过点 T(3,0)的直线 l 交抛物线 y =2x 于点 A(x1,y1)、B(x2,y2). 当直线 l 的钭率不存在时,直线 l 的方程为 x=3,此时,直线 l 与抛物线相交于 A(3, 6 )、B(3,- 6 ),∴ OA ? OB ? 3 。 当直线 l 的钭率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x-3),其中 k≠0.

? y 2 ? 2x 1 2 1 2 2 得 ky -2y-6k=0,则 y1y2=-6. 又∵x1= y1 , x2= y2 , ? 2 2 ? y ? k ( x ? 3)
∴ OA ? OB =x1x2+y1y2=

1 ( y1 y 2 ) 2 ? y1 y 2 =3. 综上所述, 命题“......”是真命题. 4
2 2

解 法 二 : 设 直 线 l 的 方 程 为 my=x - 3 与 y =2x 联 立 得 到 y -2my-6=0

OA ? OB =x1x2+y1y2
=(my1+3) (my2+3)+ y1y2=(m +1) y1y2+3m(y1+y2)+9=(m +1)× (-6)+3m×2m+9=3 (Ⅱ)逆命题是: “设直线 l 交抛物线 y =2x 于 A、B 两点,如果 OA ? OB ? 3 ,那么该直线过
2 2 2

点 T(3,0). ” 该 命 题 是 假 命 题 .

例 如 : 取 抛 物 线 上 的 点 A(2,2),B(

1 ,1), 此 时 2

OA ? OB ? 3 ,
直线 AB 的方程为 y=
2

2 (x+1),而 T(3,0)不在直线 AB 上. 3

点评: 由抛物线 y =2x 上的点 A(x1,y1)、 B(x2,y2)满足 OA ? OB ? 3 ,可得 y1y2=-6。 或 y1y2=2, 如果 y1y2=-6,可证得直线 AB 过点(3,0);如果 y1y2=2, 可证得直线 AB 过点(-1,0),而不 过点(3,0)。 19. 解: (Ⅰ)因为容器的高为 x,则做成的正三棱柱形容器的底边长为 (a ? 2 3x)

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则 V ( x) ?

3 (a ? 2 3 x) 2 x 4

,函数的定义域为 (0,

3 a) . 6

(Ⅱ)实际问题归结为求函数 V ( x) 在区间 (0, 先求 V ( x) 的极值点.

3 a ) 上的最大值点. 6

3 3 2 a ) 内, V '( x) ? 9 3 x 2 ? 6ax ? a 6 4 3 2 3 3 a ? 0 ,解得 x1 ? a, x2 ? a(舍去). 令 V '( x) ? 0 ,即令 9 3 x 2 ? 6ax ? 4 18 6 3 3 a 在区间 (0, a ) 内, x1 可能是极值点. 当 0 ? x ? x1 时, V '( x) ? 0 ; 因为 x1 ? 18 6 3 a 时, V '( x) ? 0 . 当 x1 ? x ? 6 3 3 a ) 内,x1 是唯一的极值点, a 是 V ( x) 的 因此 x1 是极大值点, 且在区间 (0, 所以 x ? x1 ? 6 18 3 1 a) ? a3 最大值点,并且最大值 f ( 18 54 3 1 a 时,容器的容积最大为 a 3 . 即当正三棱柱形容器高为 18 54 20. 【解答】 (Ⅰ)以 A 为原点,AB、AD、PA 所在的直线分别为 x、y、z 轴, 建立空间直角坐标系 A-xyz 如图所示,
在开区间 (0,

设正方形 ABCD 的边长为 1,PA=a,则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),

?1 1 ? ?1 1 a? P(0,0,a)(a>0),E? , ,0?,F? , , ?,G(m,m,0)(0<m< 2). ?2 2 ? ?2 2 2?
要使 FG∥平面 PBD,只需 FG∥EP, → ?1 1 ? 而PE=? , ,-a?, ?2 2 ? 1 1 m- = λ , ? ? 2 2 → → 由FG=λ PE可得? a ? ?-2=-aλ , 1 3 解得 λ = ,m= , 2 4

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?3 3 ? ∴G? , ,0?, ?4 4 ?
→ 3→ ∴AG= AC, 4 3 故当 AG= AC 时,FG∥平面 PBD. 4 (Ⅱ)设平面 PBC 的一个法向量为 u=(x,y,z), 则? → ? ?u·PC=0, → → 而PC=(1,1,-a),BC=(0,1,0),

? ?u·BC=0,
?x+y-az=0, ? ?y=0, ?



∴?

取 z=1,得 u=(a,0,1),

同理可得平面 PDC 的一个法向量 v=(0,a,1),

? 设 u,v 所成的角为 θ ,则|cosθ |=?cos ?


2π ? 1 = , 3 ? ? 2

|u·v| 1 1 1 = ,∴ 2 = ,∴a=1, 2 |u||v| 2 a +1· a +1 2 ∵PA⊥面 ABCD,∴∠PCA 就是 PC 与底面 ABCD 所成的角, ∴tan∠PCA=

PA 1 2 = = . AC 2 2

21.【解析】 : (Ⅰ)设 M 的坐标为 ( x, y ), P 坐标为 ( x p , y p ),

? x p ? x, ? 由已知得 ? 5 y p ? y, ? ? 4

5 x2 y 2 P 在圆上,? x 2 ? ( y ) 2 ? 25, 即 C 的方程为 ? ?1 4 25 16
4 4 的直线方程为 y ? ( x ? 3) ,设直线与 C 的交点为 5 5 4 x 2 ( x ? 3)2 ( x ? 3) 代入 C 的方程,得 ? ?1, 5 25 25

(Ⅱ)过点(3,0)且斜率为

A( x, y), B( x2 , y2 ) ,将直线方程 y ?

即 x ? 3x ? 8 ? 0 。? x1 ?
2

3 ? 41 3 ? 41 , x2 ? 2 2

? 线段 AB 的长度为 AB ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? (1 ?

16 )( x1 ? x2 )2 25

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?

41 41 ? 41 ? 25 5
22.[解析] 1 1 2 x (Ⅰ)a= 时,f(x)=x(e -1)- x , 2 2

f′(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1).
当 x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0;当 x∈(-1,0)时,f′(x)<0;当 x∈(0,+∞)时,

f′(x)>0.
故 f(x)在(-∞,-1],[0,+∞)上单调递增,在[-1,0]上单调递减. (Ⅱ)f(x)=x(e -1-ax). 令 g(x)=e -1-ax,则 g′(x)=e -a. 若 a≤1,则当 x∈(0,+∞)时,g′(x)>0,g(x)为增函数,而 g(0)=0,从而当 x≥0 时 g(x)≥0,即 f(x)≥0. 当 a>1,则当 x∈(0,lna)时,g′(x)<0,g(x)为减函数,而 g(0)=0,从而当 x∈(0, lna)时 g(x)<0,即 f(x)<0. 综上所述得 a 的取值范围为(-∞,1].
x x x

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