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最新人教版高中数学选修2-1第二章《椭圆的几何性质》课堂探究


课堂探究 焦点在 x 轴、y 轴上的两类椭圆的几何性质与特征比较: 焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 图形 标准方程 范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率 ______________ ____________ ____________ ______________ ______________ __________________ 长轴长为______,短轴长为______ ________ ______________ 对称轴为________,对称中心为______ ______________,其中 c=______________ ________ (1)判断曲线关于原点,x 轴,y 轴对称的依据. 若把方程中的 x 换成-x,y 换成-y,方程不变,则曲线关于原点对称. 若把方程中的 y 换成-y,方程不变,则曲线关于 x 轴对称. 若把方程中的 x 换成-x,方程不变,则曲线关于 y 轴对称. (2)椭圆的顶点是它与对称轴的交点. x2 y2 【做一做 1-1】椭圆 + =1 的长轴长为( 9 36 A.5 B.3 C.6 D.12 ) x2 y2 【做一做 1-2】椭圆 + =1 的离心率为______. 25 9 椭圆的离心率 c 剖析:(1)椭圆的半焦距与长半轴长的比,称作椭圆的离心率.记作 e= . a (2)因为 a>c>0,所以离心率 e 的取值范围是 0<e<1. 离心率的大小对椭圆形状的影响: ①当 e 趋近于 1 时,c 趋近于 a,从而 b= a2-c2越小,因此椭圆越扁平; ②当 e 趋近于 0 时,c 趋近于 0,从而 b 趋近于 a,因此椭圆越接近于圆. 椭圆与圆是两种不同的曲线,因此椭圆的离心率满足不等式 0<e<1. 当 e=0 时,曲线就变为圆了. 题型一 利用椭圆的方程研究其几何性质 【例 1】分别求出椭圆 25x2+16y2=400 的长轴和短轴的长,离心率,焦点坐标和顶点 坐标. 分析:把椭圆方程写成标准形式,求出基本元素 a,b,c,即可求出答案. 反思:已知椭圆的方程讨论其性质时,应先将方程化成标准形式,找准 a 与 b,求出 c, 才能正确地得出椭圆的有关性质. 题型二 利用性质求椭圆的方程 x2 1 【例 2】已知 2+y2=1(a>0,a≠1)表示离心率为 的椭圆,求椭圆的标准方程. a 2 1 分析:椭圆的焦点不知在哪个轴上,所以需要分两种情况来讨论,再由 e= 即可求得. 2 反思:在求椭圆的标准方程时,首先要分清焦点在哪个坐标轴上,然后利用条件求出 a2.本题所给方程中的 a 与椭圆标准方程中的 a 不同. 题型三 椭圆几何性质的应用 【例 3】已知椭圆的中心在原点,离心率为 顶点,求∠ABF 的余弦值. 分析: 已知离心率为 2 c 2 , 即 = , 即 a= 2c, 再由 a, b, c 的关系可得 b=c, 在△ABF 2 a 2 2 ,F 为左焦点,A 为右顶点,B 为短轴一 2 中,由余弦定理可求得结果. 反思:知道离心率就知道 a,b,c 中任意两个字母间的关系. 答案: 基础知识· 梳理 x2 y2 y2 x2 1. 2+ 2=1(a>b>0) 2+ 2=1(a>b>0) -a≤x≤a,-b≤y≤b -a≤y≤a,- a b a b b≤x≤b A1(-a,0), A2(a,0) B1(0, -b), B2(0, b) A1(0, -a), A2(0, a) B1(-b,0), B2(b,0) c 2a 2b (±

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