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高一数学-盐城中学2015-2016学年高一上学期考试数学试题

盐城中学高一考试数学试题及参考答案 20160109
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分) 1.计算: sin13°cos17°+cos13°sin17°= ▲ .1/2 2.函数 f ( x ) ?
2x ? x x ?1
2

的定义域为



. ? 0 ,1 ?

? 1, 2 ?
.2 ▲ .
?
4

3.幂函数 y ? f ( x ) 的图象过点 A ( 2 , 2 ), 则 f ( 4 ) 的值为 ▲ 4.已知向量 AB ? (4, 0), AC ? (
2, ? 2), 则 AB与 AC

的夹角的大小为

5. 给定两个向量 a = (1, 2) ,b = (x , 1) , 若(a

? 2 b ) // ( 2 a ? 2 b )

, 则 x 的值等于





1 2

6. 函数 y ? f ( x ) 的图像按向量 a ? (1, 2 ) 平移后, 得到的图像的解析式为 y ? s in ( x ? 1) ? 2 . 那么 y ? f ( x ) 的解析式为 ▲ . y ? s i n x( ?
2 )

7.已知 m,n 为实数,若关于 x 的不等式 x2+mx+n<0 的解集为(—1,3),则 m+n 的值为 ▲ .-5
?
2
B D

8 .如图已知在 ? A B C 中, ? A ?
CE ? 1 2 CA , BD ? 1 4

, A B ? 2, A C ? 4 , 的值为
2

AF ?

1 2

AB

, F
A E C

BC ,则 DE DF



. -1/4

9.对于任意实数 k ? [ ? 1,1 ] ,函数 f ( x ) ? x ? ( k ? 4 ) x ? 2 k ? 4 的值恒大于零,则实数 x 的 取值范围是 ▲ . ( ?? ,1 ) ? ( 3 , ?? )
f (x) ? x ? 7 x ?
2

10.设 x 为任意正实数,则函数

180 x

的最小值是



.24

11. 已知锐角 ? A B C , 平面上点 P 满足 2 A B ? 3 A C ? 4 A P , 则 S ? ABC : SPBC = ▲ . 4: ? 1 2 12.已知函数 f ( x ) ? ax ? x , ( a ? 0 ) ,对任意实数 x 1 ? [ 2 , ? ? ) ,存在实数 x 2 ? [1, ? ? ) ,使得
f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? 1 成立,则 a 的取值范围为



.1 ? a ? 2

13.已知 g ( x ) ? ?

? ? lo g 2 ( ? x ) , x ? 0 ? lo g 2 x ? 1, x ? 0
3

,若使函数 f ( x ) ? g ( x ) ? a ( 0 ? a ? m ) 存在整数零点 ▲ . [ lo g 2 6 , 3 )
3 8

的实数 a 恰有 4 个,则实数 m 的取值范围是
2

14 . 已 知 函 数 f ( x ) ? m x ? ( 2 m ? 1) x ? x 对 任 意 两 不 等 实 数 x 1 , x 2 ? [3, ? ? ) , 都 有
x 2 f ( x 1) ? x 1f ( x )2 x1 x 2 ? x1 x 2
2 2

? 2 恒成立,则 m 的取值范围为



.[

.? ? )

解答题(本大题共 6 题,共 80 分) 15.(本小题共 12 分)

1

计算:(1) (2)

?

1 2

3

0 .0 4

? ? ? 0 .3 ? ? 1 6

0

4

?

3 4

lg 2 5 ? 2

lo g 2 3

? lg 2

2 .

3 π 已知 cos?=-5 ,0<?<?.求 tan??cos(α+3)的值.

解:每小题 6 分,答案: (1)1/2 (2) ? 4 9 / 3 0 ? 2 3 / 5 16.(本小题共 12 分) 已知函数 f ( x ) ? s in 2 x ?
3 cos 2 x

.

(I)求 f ( x ) 的最小正周期和单调递减区间; (II)若函数 g ( x ) ? f ( x ) ? k 在 [ 0 , 解:每小题 6 分 (Ⅰ) f ( x ) ? s in 2 x ?
3 c o s 2 x ? 2 s in ( 2 x ? ? / 3 )

?
6

] 上有两个不同的零点,求实数 k 的取值范围.

由此得 f ( x ) 的最小正周期为 ? . 由 2k? ?
?
2 ? 2x ?

?
3

? 2k? ?

3? 2

(k ? Z ) 得 : k? ?

?
12

? x ? k? ?

7? 12

(k ? Z )

所以函数 f ( x ) 的递减区间为 [ k ? ?
? ?

?
12

, k? ?

7? 12

]( k ? Z ) .

( II )由 x ? ? 0 ,
? ? 2? ? , ? ? 3 ? ? 2

? ?
? 6 ?

,得 2 x ?

?
3

?

? ? 2? ? ?? ? ? , ,而函数 s i n x 在 ? , ? 上单调递增 , 在 ? ? 3 ? ?3 ?3 2 ?

上单调递减,所以 f ( x ) ? [ 3 , 2 ] ,
?

所以若函数 g ( x ) ? f ( x ) ? k 在 ? 0 , ? 上有两个不同的零点,则 k ? [ 3 , 2 ) . 6 ? ? 17.(本小题共 14 分) 已知函数 f ( x ) ? 2 s i n ( ? x ? (I)若函数 f ( x ) 的图象经过点 (
?
3 ) ,且 ? ? 0 , ? ? R .
, 2 ) ,且 0 ? ? ? 3 ,求 ? 的值;

? ?

?
3

(II) 在 (I) 的条件下, 若函数 g ( x ) ? m f ( x ) ? n ? m ? 0 ? , 当x?[ ?2 ? ,? ] 的值域为 [ ? 2 ,1] ,求 m , n 的值; (III)若函数 h ( x ) ? f ( x ?
?
3? ) 在[ ?
? ?

?
3

时, 函数 g ( x )

?
3

,

?
3

] 上是减函数,求 ? 的取值范围.

.解: (Ⅰ ) 因为函数 f ? x ? ? 2 s in ? ? x ?

? ?

?? ? ,2? , ? 的图象经过点 ? 3 ? ? 3 ?

2

所以 2 s in ? 所以 ? ?

?? ? 3

? ?

? ?

? ? 2 3 ?

所以

?
3

? ?

?
3

?

?
2

? 2k? , k ? Z
1 2

1 2

? 6k , k ? Z

,因为 0 ? ? ? 3 ,所以 0 ?

? 6k ? 3 , k ? Z .

所以 k ? 0 所以 ? ?
1 2

1 2
?1 ? 2 x?

(Ⅱ)因为 ? ?



所以 g ( x ) ? m ? 2 s in ?
?
3

? ?

? ? n. 3 ?

因为 ? 2 ? ? x ? ?
?1 ? 2

, 所以 ?
? ?
1 ? ? . 3 ? 2

2? 3

?

1 2

x?

?
3

?

?
6

.

所以 ? 1 ? s in ?

x?

所以 ? 2 m ? n ? g ? x ? ? m ? n . 因为函数 g ? x ? 的值域为 ? ? 2 ,1 ? ,所以 ? 解得 m ? 1 , n ? 0 . (Ⅲ) 。 。 。 。 。 。所以 ? 的取值范围是 0 ? ? ? 18.(本小题共 14 分) (I)盐城城南新区大学城内有五所大学,其在城市的位置坐标依次为(1,9) , (3,5) , (4, 3) , (5,8) , (6,2) ,为了方便学生生活,需在大学城内部建一生活超市,其坐标为( m , n ) ,其中 m , n 都要求是整数,并且要满足生活超市到五个大学城的“出租车距离” (若
A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,则定义 AB 两点的出租车距离为 x 2 ? x1 ? y 2 ? y 1 )之和最小,求生

??2m ? n ? ?2 , ?m ? n ? 1.

1 2

活超市所建位置的坐标并说明理由。 (II)已知函数 f ( x ) ? x ? 6 ? x ? 2 ? x ? 3 ? x ? 5 , 现对任意实数 x ? [ 0 , 3 ] ,等式 f ( x ? m x ? 1) ? f ( x ? m x ? 1) 恒成立,求实数 m 的取 值范围。 解: (1) d ? x ? 1 ? x ? 3 ? x ? 4 ? x ? 5 ? x ? 6 ? y ? 9 ? y ? 5 ? y ? 3 ? y ? 8 ? y ? 2 。 。转化求 d 1 和 d 2 的最小值,其中 d 1 ? x ? 1 ? x ? 3 ? x ? 4 ? x ? 5 ? x ? 6
d2 ? y ? 9 ? y ? 5 ? y ? 3 ? y ? 8 ? y ? 2
2 2

利用分段函数图象或单调性说明 x ? 4 时 d 1 最小, y ? 5 时 d 所以生活超市所建位置的坐标(4,5)
2 2

2

最小

(2) 注意到 ( x ? m x ? 1) ? ( x ? m x ? 1) ? 2 以及分段函数 f ( x ) ? x ? 6 ? x ? 2 ? x ? 3 ? x ? 5 的
??3 ? ??3


x? x?
2 2




m? m? 1 x 1 x


?2 ?2


? ?



f ( x ? m x ? 1) ? f ( x ? m x ? 1)

2

2





…………10 分

3

。 。 。 。 。 。 (分离参数,分类讨论,恒成立问题) 可求 m ? [ , 2 2 ]
3 8

19. (本题满分 14 分) 定 理 : 对 于 定 义 域 为 D 的 函 数 y ? f (x) , 若 对 于 任 意 的 x ? D 都 有 成立,则函数 f ( a ? x) ? f ( a ? ) x? 2 b y ? f ( x ) 的图象关于点 ( a , b ) 中心对称. (1)若函数 f 1 ( x ) ?
x
2

? mx ? 1 x

的图象关于点 ( 0 ,1) 中心对称.求 m 的值;

(2) 定义在实数集 R 上的函数 f ( x ) 若满足 f ( x ? 1 ) ? f ( x ? 1 ) ? 2, 且 f ( x ) 关于点
(1, 1 ) 中心对称,试求函数 y ? f ( x ) 图像的对称轴方程;

(3)设函数 y ? f ( x ) , y ? g ( x ) 在定义域 R 上的图象都是关于点 ( a , b ) 中心对称.试就 函数 y ? f ( x ) ? g ( x ) , y ? f ( x ) ? g ( x ) , y ? f ( x ) g ( x ) 及 y ?
f (x) g (x)

,指出其中一个

函数的图象一定是中心对称曲线及其对称中心,再指出其中一个函数的图象可以不是中 心对称曲线,并分别说明理由. 解: (1)第 1 小题 3 分: m ?1 (2)第 2 小题 7 分: 证出函数为偶函数, 证出函数是周期函,周期为 4, 证出函数在一个周期 [ 0 , 4 ) 内有对称轴两条: x ? 0 , x ? 2 所以函数 y ? f ( x ) 图像的对称轴方程为 x ? 2 k ( k ? Z ) (3)第 3 小题 4 分: 由于 f(a+x)+g(a+x)+f(a-x)+g(a-x)=4b 成立, 则函数 y= f(x)+g(x)的图象关于点(a,2b)中心对称. 由于 f(a+x)-g(a+x)+f(a-x)-g(a-x)=成立, 则函数 y=f(x)-g(x)的图象关于点(a,0)中心对称. y=f(x)·g(x)及 y=
f (x) g (x)

可以不是中心对称曲线 ,
5 3

反例是 y=f(x)=g(x)=x 与 f(x)=x ,g(x)=x 20.(本小题共 14 分)

定 义 域 为 D 的 函 数 f ( x ) , 如 果 对 于 区 间 I 内 ( I ? D ) 的 任 意 两 个 数 x1 、 x 2 都 有
x1 ? x 2 2 ) ? 1 2 [ f ( x 1 ) ? f ( x 2 )] 成立,则称此函数在区间 I 上是“凸函数”.

f (

(1)判断函数 f ( x ) ? lg x 在 ( 0 , ? ? ) 上是否是“凸函数”,并证明你的结论; (2)如果函数 f ( x ) ? x ? (3)对于区间 [ c ,
2

a x

在 [1,

2 ] 上是“凸函数”,求实数 a 的取值范围; d ] 上任取 x 1 , x 2 , x 3 ,, x n .

d ] 上的“凸函数” f ( x ) ,在 [ c ,

4

① 证明: 当 n ? 4 时, f (

x1 ? x 2 ? ? ? x n n

)?

1 n

[ f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x n )] 成立;

② 请再选一个与①不同的且大于 1 的整数 n , 证明: f (
x1 ? x 2 ? ? ? x n n )? 1 n [ f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x n )] 也成立.

2 ? 解:(1)设 x 1 , x 2 是 R 上的任意两个数,先证 4 x 1 x 2 ? ( x 1 ? x 2 ) ,

则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 2 f (

x1 ? x 2 2

) ? lg x 1 ? lg x 2 ? 2 lg

x1 ? x 2 2

? lg

4 x1 x 2 ( x1 ? x 2 )
2

? lg 1 ? 0

?

f (

x1 ? x 2 2

) ?

1 2

[ f ( x 1 ) ? f ( x 2 )] .? 函数 f ( x ) ? lg x 在 R

?

上是 “凸函数”

?

(2) 对于 [1,

2 ] 上的任意两个数 x 1 , x 2 , 均有 f (

x1 ? x 2 2

) ?

1 2

[ f ( x 1 ) ? f ( x 2 )] 成



,



(

x1 ? x 2 2

) ?

2

a x1 ? x 2 2

?

1 2

[( x 1 ?

2

a x1

) ? (x2 ?

2

a x2

)]

,







( x1 ? x 2 ) a ? ?

2

1 2

( x1 ? x 2 ) x1 x 2 ( x1 ? x 2 )

2

若 x 1 ? x 2 , a 可以取任意值. (若 x 1 ? x 2 这一步没有讨论,则扣一分) 若 x 1 ? x 2 ,得 a ? ? 综上所述得 a ? ? 8 (3)①由已知得 f (
x1 ? x 2 2 ) ? 1 2 [ f ( x 1 ) ? f ( x 2 )] 成立. 所以
1 2 x 1 x 2 ( x 1 ? x 2 ) ,? ? 8 ? ? 1 2 x 1 x 2 ( x 1 ? x 2 ) ? ? 1 ,? a ? ? 8 .

x1 ? x 2 f ( x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 4
x1 ? x 2 2 ) ? 1 2

) ? f (

2

? 2

x3 ? x4 2 )?

f (

x1 ? x 2 2

)? f ( 2

x3 ? x4 2

)

而f( 所

[ f ( x 1 ) ? f ( x 2 )] , f (

x3 ? x4 2

)?

f ( x3 ) ? f ( x4 ) 2


f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2 ? 2 f ( x3 ) ? f ( x4 ) 2 ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x 3 ) ? f ( x 4 ) 4

f(

x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 4

)?











n ? 3











.







5

c ? x1 ? d , c ? x 2 ? d , c ? x 3 ? d , c ? x 4 ? d ,

有f(

x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 4

) ?

1 4

[ f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x 3 ) ? f ( x 4 )] 成立.
1 3

? c ? x1 ? d

,c ? x2 ? d ,c ? x3 ? d ,c ?

( x1 ? x 2 ? x 3 ) ? d ,

x1 ? x 2 ? x 3
?

f(
1 4 x1 ? x 2 ? x 3 3

x1 ? x 2 ? x 3 3

) ? f(

3

? x1 ? x 2 ? x 3 4 )

?

[f(

) ? f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x 4 )] ,

从而得 f (

x1 ? x 2 ? x 3 3

) ?

1 3

[ f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x 3 )]

(若证别的 n 值且证明过程正确,同样给 3 分)

6


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