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江苏省镇江市高三数学第一学期期末试卷Word版含答案


江苏省镇江市高三数学期末试题 2015 年 2 月
第I卷
注意事项: 1.本试卷由填空题和解答题两部分组成,满分 160 分,考试时间为 120 分钟. 2. 答题前,请您务必将自己的学校、姓名、考试号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写 在答题卡上规定的地方. 3. 答题时必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置,在其它位置作 答一律无效. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 不需要写出解答过程,请把答案 直接填写在答题卡的相应位置上 . ......... 1.记复数 z ? a ? bi(i 为虚数单位)的共轭复数为 z ? a ? bi(a, b ? R) ,已知 z ? 2 ? i ,则

z2 ?



.

2.设全集 U ? Z ,集合 M ? ? 1,2?, P ? ?? 2,?1,0,1,2?,则 P

? UM =



.

3.某校共有师生 1600 人,其中教师有 1000 人,现用分层抽样的方法,从所有师生中抽取 一个容量为 80 的样本,则抽取学生的人数为 4.若双曲线 ▲ .

1 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 ,则 2 4 a b
▲ . ▲ . ▲ .. 开始 输入 a , b

该双曲线的渐近线方程是

5.已知向量 a ? (2x ? 1,?1),b ? (2, x ? 1), a ? b ,则 x ? 6.执行如图流程图,若输入 a ? 20, b ?

1 ,则输出 a 的值为 2

7.设 ? , ? 为互不重合的平面, m, n 是互不重合的直线,给出下列四个命题: ①若 m // n, n ? ? ,则 m // ? ; ②若 m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? ,则 ? // ? ; ③若 ? // ? , m ? ? , n ? ? ,则 m // n ;

a ? a?b
Y

a?b
N 输出 a 结束

④若 ? ? ? , ? ? ? ? m, n ? ? , n ? m ,则 n ? ? ; 其中正确命题的序号为 ▲ .

8.设 m, n 分别为连续两次投掷骰子得到的点数,且向量 a ? ?m, n?, b ? ?1,?1?,则向量 a, b 的夹角为锐角的概率是________. 9.设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S 3 ? 7, S 6 ? 63, 则 a7 ? a8 ? a9 ? ▲ .

10.已知直线 l 过点 P(1,2) 且与圆 C : x 2 ? y 2 ? 2 相交于 A, B 两点, ?ABC 的面积为 1, 则直线 l 的方程为 ▲ .

11.若钝角三角形三个内角的度数成等差数列,且最大边与最小边长度之比为 m ,则 m 的 取值范围是 ▲ .

12. 若函数 f ( x) 为定义在 R 上的奇函数, 当 x ? 0 时, f ( x) ? x ln x , 则不等式 f ( x) ? ?e 的解集为 ▲ .

13.曲线 y ? ?

1 ( x ? 0) 与曲线 y ? ln x 公切线(切线相同)的条数为 x



.

14.已知正数 x, y 满足

1 1 4x 9y ? ? 1 ,则 ? 的最小值为 x ?1 y ?1 x y



.

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出必要的 .... 文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)已知 ?ABC 的面积为 S ,且 AB ? AC ? 2S . (1)求 sin A ; (2)若 AB ? 3, AB ? AC ? 2 3 ,求 sin B .

16. (本小题满分 14 分)如图,在三棱锥 D ? ABC 中,已知 ?BCD 是正三角形, AB ? 平 面 BCD , AB ? BC ? a , E 为 BC 的中点, F 在棱 AC 上,且 AF ? 3FC . (1)求三棱锥 D ? ABC 的体积; (2)求证: AC ? 平面 DEF ; ( 3 ) 若 M 为 DB 中 点 , N 在 棱 AC 上 , 且

3 CN ? CA ,求证: MN // 平面 DEF . 8

17. (本小题满分 15 分)某飞机失联,经卫星侦查,其最后出现在小岛 O 附近.现派出四艘 搜救船 A, B, C , D ,为方便联络,船 A, B 始终在以小岛 O 为圆心,100 海里为半径的圆上, 船 A, B, C , D 构成正方形编队展开搜索, 小岛 O 在正方形编队外 (如图) .设小岛 O 到 AB 的 距离为 x , ?AOB ? ? , D 船到小岛 O 的距离为 d .

(1)请分别求 d 关于 x, ? 的函数关系式 d ? g ( x), d ? f (? ) ;并分别写出定义域; (2)当 A, B 两艘船之间的距离是多少时搜救范围最大(即 d 最大).

18 .(本小题满分 15 分)已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F (1,0) ,离心率为 a 2 b2

2 ,过 F 作两条互相垂直的弦 AB, CD ,设 AB, CD 的中点分别为 M , N . 2

(1)求椭圆的方程;

(2)证明:直线 MN 必过定点,并求出此定点坐标; (3)若弦 AB, CD 的斜率均存在,求 ?FMN 面积的最大值.

19 . (本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? 4 x ? 2 x ,实数 s , t 满足 f (s) ? f (t ) ? 0 ,设

a ? 2s ? 2t , b ? 2s?t .
(1)当函数 f ( x) 的定义域为 ?? 1,1? 时,求 f ( x) 的值域; (2)求函数关系式 b ? g (a) ,并求函数 g (a ) 的定义域; (3)求 8 ? 8 的取值范围.
s t

20. (本小题满分 16 分)已知数列 ?an ?中, a1 ? 1 ,在 a1 , a2 之间插入 1 个数,在 a2 , a3 之 间插入 2 个数,在 a3 , a4 之间插入 3 个数,…,在 an , an?1 之间插入 n 个数,使得所有插入的 数和原数列 ?an ?中的所有项按原有位置顺序构成一个正项等差数列 ?bn ?. (1)若 a4 ? 19,求 ?bn ?的通项公式; (2)设数列 ?bn ?的前 n 项和为 Sn ,且满足 2Sn ? ? ? bn ? ? (? , ? 为常数) ,求 ?an ? 的通 项公式.

江苏省镇江市高三数学期末试题 第Ⅱ卷(理科附加卷)
21.【选做题】本题包括 A,B,C,D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答, 若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.(选修 4-1:几何证明选讲) 如图,圆 O 与圆 P 相交于 A, B 两点,点 P 在圆 O 上,圆 O 的弦 BC 切圆 P 于点 B , CP 及 其 延 长 线 交 圆 P 于 D, E 两 点 , 过 点 E 作 EF ? CE 交 CB 延 长 线 于 点 F . 若

CD ? 2, CB ? 2 2 ,求 EF 的长.

B.(选修 4-2:矩阵与变换)

?1 ? 0? ?1 0 ? ? 已知矩阵 M ? ? ,试求曲线 y ? sin x 在矩阵 MN 变换下的函数解析式. ?, N ? ? 2 ? 0 2 ? ? ?0 1 ?

C.(选修 4-4:坐标系与参数方程) 已知直线 l 的极坐标方程为 r sin(q -

ì p ? x = 10cosq ) = 6 ,圆 C 的参数方程为 í (q 为参数). 3 ? ? y = 10sin q

(1)请分别把直线 l 和圆 C 的方程化为直角坐标方程; (2)求直线 l 被圆截得的弦长.

D.(选修 4-5:不等式选讲) 已知函数 f ( x) = x - 1 + x - 2 ,若不等式 a +b + a - b 求实数 x 的取值范围.

a f ( x) 对任意 a, b ? R 恒成立,

【必做题】第 22,23 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内.

22.(本小题满分 10 分)

TM ,求动点 T 的轨 已知 A 为曲线 C : 4 x2 - y +1 = 0 上的动点,定点 M (- 2, 0) ,若 AT = 2
迹方程.

23.(本小题满分 10 分) 已知四棱锥 P - ABCD 的底面为直角梯形, AB / /CD, ? DAB

90癪 , PA
P

底面 ABCD ,且

PA = AD = DC =

1 AB = 1, M 是 PB 的中点. 2

(1)证明:平面 PAD ^ 平面 PCD ; (2)求 AC 与 PB 所成角的余弦值; (3)求平面 AMC 与平面 BMC 所成二面角(锐角)的 余弦值.

M

A

B

D

C

江苏省镇江市高三数学期末考试参考答案
第Ⅰ卷
一、填空题(每小题 5 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 试题出处 模考题改编 教材改编 教材改编
3 x 3

知识点 复数的运算,共轭复数 集合的交集与补集 分层抽样 双曲线的几何性质 向量的数量积 算法流程图 立体几何的判定和性质定理 概率问题,向量的夹角 等比数列的性质,求和 直线和圆的位置关系,点到直

能力 运算 运算 运算 运算 运算 识图 空间想象 运算 运算 运算

难度 易 易 易 易 易 易 中 中 中 中 较难 难

3 ? 4i
??2, ?1,0?
75
y??

教材改编 教材改编 教材改编 教材改编 原创 教材改编 教材改编

1

5 16


5 12
448
x ?1 ? 0 ,
3x ? 4 y ? 5 ? 0

线的距离公式 模考题改编 原创题 数单调性 函数求导,构造函数及画新函 正弦定理,角度范围的确定 函数的奇偶性,函数求导,函 图象分析 直觉,图形分析

(2, ??) ( ?? , ? e )

13 14

1 25

模考题改编 数图像 模考题改编 基本不等式求最值

转化,运算



转化



二、解答题 15. 解: (1) ∵△ ABC 的面积为 S ,且 AB ? AC ? 2S ,

1 ∴ bc cos A ? 2 ? bc sin A , 2
∴ sin A ? 2 cos A , ……3 分

……2 分

1 3 ∴ A 为锐角,且 sin 2 A ? cos2 A ? sin 2 A ? sin 2 A ? sin 2 A ? 1 , ……5 分 2 2
∴ sin A ?

6 . 3

……6 分

(2)设△ ABC 中角 A, B, C 对边分别为 a , b, c ∵ | AB |? c ? 3 , | AB ? AC |? CB ? a ? 2 3 , 由正弦定理得: ……7 分 ……9 分

3 2 3 c a ,即 ? ? sin C sin C sin A 6 3
……10 分

∴ sin C ? ∴C ?

2 ,又∵ c ? a ,则 C 锐角, 2

π , 4
……12 分

……11 分

π π π ∴ sin B ? sin( A ? ) ? sin A cos ? cos Asin 4 4 4
=
6 2 3 2 2 3? 6 ? ? ? ? . 3 2 3 2 6

……14 分

【说明】本题是由模拟试题改编,考查三角形中的边角关系、向量的数量积运算,考查正弦 定理,三角变换;考查学生的字母符号处理能力、运算能力能力、书写表达.

16.解: (1)因为 △ BCD 是正三角形,且 AB ? BC ? a ,所以 S?BCD ? 因为 AB ⊥ 平面 BCD ,

3 2 a ,……2 分 4

1 VD? ABC ? VA? BCD ? ? AB ? S△BCD ? 1 ? 3 a 2 ? a ? 3 a3 . 3 12 3 4
(2)在底面 ABC 中, (以下运用的定理不交代在同一平面中,扣 1 分) 取 AC 的中点 H ,连接 BH , AB ? BC ? BH ? AC ,
? ? ? ?EF ? AC AF ? 3FC , ? F 为 CH 的中点, ? ? ? ? EF∥BH ? E 为 BC 的中点, ?

……5 分

6分

△ BCD 是正三角形, ? DE ? BC . ? ? AB ? 面BCD, ? ? ? AB ? DE , (7分)? ? DE ? 面BCD, ? ? ? DE ? 面ABC ,(8分) ? ? ? DE ? AC , (9分) ? ? AB BC ? B, AC ? 面ABC , ? ? ? AC ? EF , ? AB, BC ? 面ABC , ? ? ? DE ? EF ? E , ? DE , EF ? 面DEF , ? ?

? AC ? 面DEF .……10 分

(注意:涉及到立体几何中的结论,缺少一个条件,扣 1 分,扣满该逻辑段得分为止)

3 (3)当 CN ? CA 时,连 CM ,设 CM ? DE ? O ,连 OF . 8 2 2 O 为△ BCD 的重心, ? CO ? CM ,当 CF ? CN 时, ? MN ∥ OF ,(11 分) ? ? 3 3 OF ? 面DEF , ? MN ? 面DEF , ? ?

? MN ∥ 面DEF .……14 分
【说明】本题是由模考题改编,考查锥体体积、垂直的判定、平行的判定;考查空间想象能 力和识图能力,规范化书写表达能力. 17. 解:设 x 的单位为百海里 (1)由 ?OAB ? ? , AB ? 2OA cos A = 2cos A , AD ? AB ? 2 cos ? , ……2 分
π 在△ AOD 中, OD ? f (? ) ? OA2 ? OB 2 ? 2 ? OA ? OB cos(? ? ) 2

……3 分

π ? 1 ? 4cos2 ? ? 4cos ? sin ? ; ? ? (0, ) (定义域 1 分)……5 分 2
若小岛 O 到 AB 的距离为 x , AB ? 2 12 ? x2 ,
OD ? g ( x) ? ( x ? AD 2 AB 2 ) ?( ) 2 2

……6 分 ……8 分 (定义域 1 分) ……10 分

? ? x2 ? 2 x 1 ? x2 ? 2 , x ? (0,1)
π (2) OD2 ? 4cos2 ? ? 1 ? 4cos ? sin ? ; ? ? (0, ) 2 ? 4?

1 ? cos 2? sin 2? ? 2(sin 2? ? cos 2? ) ? 3 ?1? 4? 2 2
……11 分 ……12 分

π π ? 2 2 sin(2? ? ) ? 3,? ? (0, ) . 4 2
π π π 5π π π 当 2? ? ? ( , ) ,则 2? ? ? 时,即 ? ? , OD 取得最大值, 4 4 4 4 2 8
π 此时 AB ? 2cos ? 2 ? 8 1 ? cos 2 π 4 ? 2 ? 2 (百海里).

……13 分 ……14 分

答:当 AB 间距离 100 2 ? 2 海里时,搜救范围最大.

【说明】本题是原创题,考查余弦定理,三角恒等变换,数学建模的能力,选择合适的模型 求最值的问题. 18. 解: (1)由题意: c ? 1,

c 2 ,则 a ? 2, b ? 1, c ? 1 , (每个 1 分)……3 分 ? a 2 x2 椭圆的方程为 ? y 2 ? 1 ……4 分 2

(2) AB, CD 斜率均存在,设直线 AB 方程为: y ? k ( x ? 1) ,

A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M (
? y ? k ( x ? 1), ? 2 2 ? x ? 2 y ? 2 ? 0,

x1 ? x2 x ?x , k ( 1 2 ? 1)) , 2 2
得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 , ……5 分

? 4k 2 x ? x ? 2 ? 2k 2 ?k ? 1 1 ? 2k 2 ,故 M ( , ), ? 2 2 1 ? 2 k 1 ? 2k 2 ? x x ? 2k ? 2 ? 1 2 1 ? 2k 2 ?

……6 分

1 2 k 将上式中的 k 换成 ? ,则同理可得: N ( , ), 2 k 2 ? k 2 ? k2


……8 分

2k 2 2 ,得 k ? ?1 ,则直线 MN 斜率不存在, ? 2 1 ? 2k 2 ? k2 2 2 此时直线 MN 过点 ( ,0) ,下证动直线 MN 过定点 P( ,0) . 3 3

……9 分

(法一)若直线 MN 斜率存在,则 kMN

?k k ? 2 2 k 2 ? k 2 ? ?k (3k ? 3) ? 3 ? ?k , ? 1 ? 22 2k 2 2k 4 ? 2 2 k 2 ?1 ? 1 ? 2k 2 2 ? k 2
……11 分

直线 MN 为 y ?

k 3 ?k 2 ? ? 2 (x ? ), 2 2?k 2 k ?1 2 ? k2

2 2 k 2 ?1 2 3 ? k 2 ?1 2 ? ? ? ? ? , 2 ? k2 3 2 ? k2 3 2 ? k2 3 2 综上,直线 MN 过定点 ( ,0) . 3
令 y ? 0 ,得 x ?

……12 分

(法二)动直线 MN 最多过一个定点,由对称性可知,定点必在 x 轴上,设 x ?

2 与 x 轴交 3

2 2 点为 P( ,0) ,下证动直线 MN 过定点 P( ,0) . 3 3
当 k ? ?1时, k PM

?k 2 3 k ? 1 ?2 2k , ? ? 2k 2 2 1? k2 ? 1 ? 2k 2 3

……10 分

1 (? ) 1 3 k 3 k 同理将上式中的 k 换成 ? ,可得 k PM ? ,……11 分 ? ? 1 2 1? 2 1? k2 k k2

2 则 k PM ? k PN ,直线 MN 过定点 P( ,0) . 3 2 (3)由第(2)问可知直线 MN 过定点 P( ,0) , 3
故 S△FMN=S△FPM+S△FPN ? 1 ? 1 | k 2 | ? 1 ? 1 | ?k 2 | 2 3 2?k 2 3 1 ? 2k

……12 分

?

1 | k | (3 ? 3k 2 ) 1 | k | ( k 2 ? 1) ? ? 6 (2 ? k 2 )(1 ? 2k 2 ) 2 2k 4 ? 5k 2 ? 2

……13 分

1 (| k | ? ) 1 |k| , ? 2 2k 2 ? 5 ? 2 k2
令 t ?| k | ?

1 1 t ? [2, ??) ,S△FMN ? f (t ) ? 1 ? 2 t ? ? 2 |k| 2 2(t ? 2) ? 5 2 2t ? 1 2 1 1 ? 2t f '(t ) ? ? 0 ,则 f (t ) 在 t ? [2, ??) 单调递减, 2 (2t 2 ? 1) 2
1 ,此时 k ? ?1 . 9

……14 分 ……15 分 ……16 分

当 t ? 2 时 f (t ) 取得最大值,此时 S△FMN 取得最大值

【说明】本题原创. 考查椭圆的标准方程,椭圆的几何性质;考查函数最值、定点定值问题 题型;考查变量代换法、函数思想、分类讨论思想、一般与特殊思想;考查运算能力、演绎 论证(分析法证明)能力、直觉思维能力,猜想探究能力. 本题可以不妨设 k ? 0 ,可直接对

k (k 2 ? 1) 求导,判断单调性. 2k 4 ? 5k 2 ? 2 1 19. 解: (1)若 x ? [?1,1] ,令 m ? 2x ?[ , 2] , 2
1 1 1 f ( x) ? l (m) ? m2 ? m ? (m ? )2 ? 在 [ , 2] 上为增函数 ……2 分 2 2 4

……1 分

1 1 f ( x)min ? l (m)min ? l ( ) ? ? ; f ( x ) max ? l (m) max ? l (2) ? 2 ,……3 分 2 4
1 f ( x) 值域为 [? , 2] . 4
……4 分

(2)实数 s, t 满足 f (s) ? f (t ) ? 0 ,则 4s ? 2s ? 4t ? 2t ? 0 , 则 (2s ? 2t )2 ? 2 ? 2s ?t ? (2s ? 2t ) ? 0 , ……6 分 ……7 分 ……8 分

1 而 a ? 2 s ? 2t , b ? 2s ? t ,故 a 2 ? 2b ? a ? 0 , b ? g (a) ? (a 2 ? a) , 2 1 由题意, b ? 0, a ? 0 ,则 (a 2 ? a ) ? 0 ,故 a ? 1 , 2
又 2s ? 2t ? 4s ? 4t ? 2 ? ( 即a?

2s ? 2t 2 ) , 2
……9 分

a2 ,故 a ? 2 ,当且仅当 s ? t 时取得等号, 2
……10 分

综上: 1 ? a ? 2 .

(3) 8s ? 8t ? (2s ? 2t )(4s ? 2s ? 2t ? 4t ) ? a(a ? b)

1 1 1 3 2 a ? (1, 2] ? a( a ? a 2 ? a ) ? ? a 3 ? a , 2 2 2 2

……12 分

1 3 令 h(a) ? ? a3 ? a2 , a ? (1,2] , 2 2
h '(a ) ? ?

3a2 3 ? 3a ? ? a(a ? 2) ? 0 当 a ? (1, 2] 恒成立, 2 2

……14 分 ……16 分

故 h( a ) 在 a ? (1, 2] 单调递增, h(a) ? (h(1), h(2)] ,故 8 s ? 8t ? (1, 2] .

【说明】本题原创,考查二次函数、指数函数的单调性,考查基本不等式、导数的应用;考 查换元法、划归思想;考查运算变形能力. 20. 解: (1)设 {bn } 的公差为 d ,由题意:数列 {bn } 的前几项为:
b1 ? a1 ? 1, b2 , b3 ? a2 , b4 , b5 , b6 ? a3 , b7 , b8 , b9 , b10 ? a4 ? 19
a 4 为 {bn } 的第 10 项,则 b10 ? b1 ? 9d ,

……2 分 ……4 分

d ? 2 ,而 b1 ? 1 ,

……5 分 ……6 分

故数列 {bn } 的通项公式为 bn ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 . (2)由 2Sn ? ? ? bn ? ? ( ? , ? 为常数) , 得 2Sn ? ? ? (bn ? ? )2 ? bn 2 ? 2?bn ? ? 2 ,……① 当 n ? 1 得: 2 ? ? ? 1 ? 2? ? ? 2 ,……② 当 n ? 2 时, 2Sn?1 ? ? ? bn?12 ? 2?bn?1 ? ? 2 , ……③ ①-③得 2bn ? bn2 ? bn?12 ? 2? (bn ? bn?1 ) , 则 2bn ? d (bn ? bn ?1 ) ? 2? d ? d (2bn ? d ) ? 2? d , 若 d ? 0 ,则 bn ? b1 ? 1 ,代入④式,得 2 ? 0 ,不成立;

……7 分

……8 分 ……9 分 ……10 分

(法一)当 n ? 2 , (2 ? 2d )bn ? 2? d ? d 2 ? 常数……④恒成立,又 {bn } 为正项等差数列,
? 2 ? 2d ? 0, 1 当 d ? 0 时, bn 不为常数,则 ? 得 d ? 1, ? ? , 2 2 ? d ? d ? 0, 2 ?

……11 分

代入②式,得 ? ?

1 . 4

……12 分

(法二) 2bn ? d (2bn ? d ) ? 2?d , (2 ? 2d )bn ? 2? d ? d 2 ,即 (2 ? 2d )[b1 ? (n ? 1)d ] ? 2? d ? d 2 , 则 2d (1 ? d )n ? 2(1 ? d )2 ? 2? d ? d 2 对 n ≥2 恒成立,

? d ? 1, ?4d (1 ? d ) ? 2(1 ? d ) 2 ? 2 ?d ? d 2 , ? 令 n ? 2,3 ,得 ? 解得 1 ? 2 2 ?? , ?6d (1 ? d ) ? 2(1 ? d ) ? 2 ?d ? d , ? ? 2

……11 分

【或者: 2d (1 ? d )n ? 2(1 ? d )2 ? 2?d ? d 2 ? 常数,则 2d (1 ? d ) ? 0 ,得 d ? 1 ,

1 当 d ? 1 时,代入上式得 ? ? , 】 2
代入②式,得 ? ?

1 . 4

……12 分

(法三)由 2bn ? d (bn ? bn?1 ) ? 2? d (n ? 2) ,……④ 得 2bn?1 ? d (bn?1 ? bn?2 ) ? 2? d (n ? 3) ,……⑤

1 ④-⑤,得 2d ? 2d 2 , d ? 1 , 代入上式得 ? ? , 2
代入②式,得 ? ?

……11 分 ……12 分 ……13 分

1 . 4

所以等差数列 {bn } 的首项为 b1 ? 1 ,公差为 d ? 1 ,则 bn ? n .

设 {an } 中的第 n 项为数列 {bn } 中的第 k 项,则 a n 前面共有 {an } 的 n ?1项,又插入了

1? 2 ? 3 ?

? (n ? 1) ?

n(n ? 1) n2 ? n n(n ? 1) 项,则: k ? (n ? 1) ? …15 分 ?1 ? 2 2 2
……16 分

故 an ? bk ? k ?

n2 ? n . 2

【说明】本题是原创题,考查等差数列的性质、通项、求和、简单递推;考查一般与特殊思 想、转化与划归思想;考查运算能力;考查分析探究能力. 第Ⅱ卷理科附加卷

?1 ? ?1 0? ? ?1 0 ? ? 21.B 解:MN = ? = 2 2 ? ?0 2 ? ? 0 1 ? ? 0 ? ? ?

? 0? , ? 2?
?1 ? ? 0? ? x ? ? x ? ? 2 , ? ? y? ? ? 2? ? ? ? ?2y ?

……4 分

?1 ? x ? ? x? ? ? 即在矩阵 MN 变换下 ? ? ? ? ? ? 2 ? y ? ? y ?? ? 0 ?

……6 分

x? ?

1 x, y? ? 2 y , 2 1 y? ? sin 2 x? , 2

……8 分

代入得:

即曲线 y ? sin x 在矩阵 MN 变换下的函数解析式为 y ? 2sin 2 x .

……10 分

π 1 3 21.C 解: (1)由 ? sin(? ? ) ? 6 ,得:? ( sin ? ? cos ? ) ? 6 3 2 3

? y ? 3x ? 12 ,即 3x ? y ? 12 ? 0 .
圆的方程为 x2 ? y 2 ? 100 . (2) d ? 6, r ? 10 , 弦长 l ? 2 100 ? 36 ? 16 .
2 22. 解:设 T ( x, y), A( x0 , y0 ) ,则 4 x0 ? y0 ? 1 ? 0 ,①

……4 分 ……6 分

……10 分 ……2 分 ……5 分 ……7 分 ……10 分

又 M (?2,0) ,由 AT ? 2TM 得 ( x ? x0 , y ? y0 ) ? 2(?2 ? x,0 ? y) ,
? x0 ? 3x ? 4, y0 ? 3 y ,

代入①式得 4(3x ? 4)2 ? 3 y ? 1 ? 0 ,即为所求轨迹方程. 23.解:建立如图所示的空间直角坐标系,

1 则 A(0,0,0), D(1,0,0), P(0,0,1), B(0,2,0), C(1,1,0), M (0,1, ) , 2
(1)证明:因为 AP ? (0,0,1), DC ? (0,1,0) , 故 AP ? DC ? 0, 所以AP ? DC , 由题设知 AD ? DC ,且 AP 与 AD 是平面 PAD 内的两条相交直线, 由此得 DC ⊥面 PAD ,又 DC ? 面 PCD ,故平面 PAD ? 面 PCD . (2)因 AC ? (1,1,0), PB ? (0,2, ?1), ? | AC |? 2,| PB |? 5, AC ? PB ? 2,
? cos ? AC , PB ?? AC ? PB 10 ? . 5 | AC | ? | PB |

……1 分

……4 分

……7 分

(3)设平面 AMC 的一个法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,

1 1 则 n1 ? AM ,? n1 ? AM ? ( x1 , y1 , z1 ) ? (0,1, ) ? y1 ? z1 ? 0 , 2 2
又 n1 ? AC ,? n1 ? AC ? ( x1 , y1 , z1 ) ? (1,1,0) ? x1 ? y1 ? 0 , 取 x1 ? 1 ,得 y1 ? ?1, z1 ? 2 ,故 n1 ? (1, ?1,2) , 同理可得面 BMC 的一个法向量为 n2 ? (1,1,2) ,

cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 n1 n2

?

1 ?1 ? 4 6? 6

?

2 , 3
2 . 3

……10 分

? 平面 AMC 与平面 BMC 所成二面角(锐角)的余弦值为


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