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全国高中数学联赛模拟试题1


全国高中数学联赛模拟试题(一)
第一试
一,选择题(每小题 6 分,共 36 分)
y 3 A = ( x, y ) = a + 1 2 x2 , B = ( x, y ) (a 1)x + (a 1) y = 15 .若 1,已知集合 A I B = ,则 a 的所有取值是

{

}

(A)-1,1

1 (B)-1, 2

5 (C)±1,2 (D)±1,-4, 2 2,如图 1, 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1, M, 点 D C N 分别在 AB1,BC1 上,且 AM=BN.那么, B ①AA1⊥MN; A N ②A1C1‖MN; M ③MN‖平面 A1B1C1D1; C1 D1 ④MN 与 A1C1 异面. 以上 4 个结论中,不正确的结论的个数为 A1 B1 (A )1 (B)2 (C )3 图1 (D )4 3,用 Sn 与 an 分别表示区间 [0,1) 内不含数字 9 的 n 位小数的和与个数.则

an n →∞ S n 的值为 3 5 7 9 (B) 4 (C ) 4 (D ) 4 (A ) 4 4,首位数字是 1,且恰有两个数字相同的四位数共有 (A)216 个 (B)252 个 (C)324 个 (D)432 个 2 5,对一切实数 x,所有的二次函数 f ( x ) = ax + bx + c (a<b)的值均为非负 lim
ba 实数.则 a + b + c 的最大值是 1 1 (A ) 3 (B) 2
2 2

(C )3

(D )2

x y 2 =1 2 b 6,双曲线 a 的一个焦点为 F1,顶点为 A1,A2,P 是双曲线上任意 一点.则分别以线段 PF1,A1A2 为直径的两圆一定 (A)相交 (B)相切 (C)相离 (D)以上情况均有可能

二,填空题(每小题 9 分,共 54 分)

z1 + i (2i + 1) z1 .若△ABC 的 3 个内角∠A,∠B, 1,已知复数 z1 = 2 + i , C u = cos A + 2icos 2 2 ,则 u + z 2 的取值范围 ∠C 依次成等差数列,且 是 . 2,点 P(a,b)在第一象限内,过点 P 作一直线 l,分别交 x, 轴的正半轴于 A, y 2 2 B 两点.那么,PA +PB 取最小值时,直线 l 的斜率为 . 3,若△ABC 是钝角三角形,则 arccos(sinA)+arccos(sinB)+arccos(sinC)的取 . 值范围是 4,在正四面体 ABCD 中,点 M,P 分别是 AD,CD 的中点,点 N,Q 分别 是△BCD,△ABC 的中心.则直线 MN 于 PQ 的夹角的余弦值为 . 2z2 =
5, 在 x +2 的展开式中, 的幂指数是整数的各项系数之和是 x . 6,集合 A,B,C(不必两两相异)的并集 A∪B∪C={1,2,3,…,n}.则满足 . 条件的三元有序集合组(A,B,C)的个数是

(

)

2 n +1

三, (20 分)
设 p>0,当 p 变化时,Cp:y2=2px 为一族抛物线,直线 l 过原点且交 Cp 于原点和点 Ap.又 M 为 x 轴上异于原点的任意点,直线 MAp 交 Cp 于点 Ap 和 Bp.求证:所有的点 Bp 在同一条直线上.

四, (20 分)
对于公差为 d(d≠0)的等差数列{an},求证:数列中不同两项之和仍是这 一数列中的一项的充要条件是存在整数 m≥-1,使 a1=md.

五, (20 分)
求最大的正数λ,使得对任意实数 a,b,均有
3

λa 2 b 2 (a + b )2 ≤ (a 2 + ab + b 2 ) .

参考答案
第一试
一,选择题: 题号 1 答案 D
2 5 , 2 2 1,


2 B

3 D

4 D
1 4, 18 ;

5 A

6 B

2,

π 3π ab , a ;3 , 2 2

3 2 n+1 + 1 2 5, 6 ,7 n .

2 5 , 2 2 ; 二,填空题:1, π 3π , 3, 2 2 ;
1 4, 18 ; 6 ,7 n .

2,



ab a ;

3 2 n+1 + 1 2 ; 5,

2 5 , 2 2 ; 1, π 3π , 3, 2 2 ;
3 2 n+1 + 1 2 5, ;

2,



ab a ;

1 4, 18 ; 6 ,7 n .

第二试
一, (50 分)
如图 2,⊙O 切△ABC 的边 AB 于点 D,切边 AC 于点 C,M 是边 BC 上 一点,AM 交 CD 于点 N.求证:M 是 BC 中点的充要条件是 ON⊥BC.
A C

二, (50 分)
N

D B

M

求出能表示为 正整数 n.

(a + b + c )2 n=
abc

(a,b,c∈Z+)的所有

O

三, (50 分)
图2

在一个 2 1 × 2 1 (n≥2)的方格表的每个方格 内填入 1 或-1,如果任意一格内的数都等于与它有公共 边的那些方格内所填数的乘积,则称这种填法是"成功"的.求"成功"填 法的总数.
n n

(

) (

)

参考答案
第一试
一,选择题: 题号 1 答案 D 二,填空题:
2 5 , 2 2 ; 1, π 3π , 3, 2 2 ;
3 2 n+1 + 1 2 ; 5,

2 B

3 D

4 D

5 A

6 B

2,



ab a ;

1 4, 18 ; 6 ,7 n .

三,证略. 四,证略.

五,

λ max =

27 4 .

第二试
一,证略; 二,1,2,3,4,5,6,8,9. 三,1 种(每空填 1) .


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