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数列的奇偶项3类问题

数列的奇偶项问题 问题一: 有部分数列的通项公式根据脚标为奇数、偶数而有所不同,称为数列的奇偶项问题. 解题过程中,通常要采用奇偶分析法,即对脚标的奇偶分类讨论. 看 2014 年全国高考卷的一道数列题. 分析:题中给出的是通项与前 n 项和的关系.童鞋们对这种题型训练的较多,基本的办法就是利 用二者的关系,把前 n 项和消去,得到相邻两项或相邻多项的关系. 从(1)问的结论中,我们能判断数列为等差吗? 显然不能,因为等差数列要求后项减去前项是同一个常数,而上式中两项的脚标相差 2. 当然,我们可以这样来看:第一项,第三项,第五项,...,即奇数项可看作等差数列;第二项, 第四项,第六项,...即偶数项可看作等差数列. 但是,我们不能认为整个数列为等差数列. 第(2)为探索题.对于探索题的解法,通常我们先假设存在,用特殊项,比如利用前 3 项成等 差,求出参数的值(这个过程利用的是条件的必要性);然后再验证该参数的值的确使得该数列 为等差数列(这个过程是证明条件的充分性). 这种先用特殊法求值,再一般验证的办法,有利于减少探索时间,这在高考时间紧迫的情况下 尤其显得重要. 当然,解到这一步不算完,还要验证.若入=4 时数列不是等差数列,则不存在符合题意的入. 如何进行一般化的验证呢? 证明数列为等差的途径有以下几个. 其中,1 是定义法,4 是中项法,我们在证明复杂数列为等差或等比数列的方法,中项法证 明等差数列中分别谈到过. 2 和 3 是定义法的拓展和延伸,2 称为通项判断法,3 称为前 n 项和判断法. 2 和 3 分别试图从通项和前 n 项和的形式上描述等差数列, 当然方法 2 和 3 本质上依然是定义 法. 结合第(1)问提供的结论,我们采用通项判断法.为此需要研究数列的通项公式,为此需要采用 奇偶分析法. 同样的方法研究偶数项的通项公式. 我们看到,不管 n 为奇数还是偶数,通项公式的形式是相同的. 在采用奇偶分析法研究数列的通项时,我们采用了累加法.这个方法简单易用,属于“无脑解法”, 不容易犯错. 当然,因为奇数项成等差,偶数项也成等差,你也可以利用等差数列的通项公式直接写出奇数项 和偶数项的通项公式,前提是项数不要搞错. 下面,思考一个一般化的问题. 看下面的简图. 把等差数列的各项放在数轴上, 那么等差数列可理解为任意相邻两项的距离为定值 (假设入>0) . 可是,由题我们只能确定间隔一项的两项距离为定值,如何做到符合等差数列的要求呢? 其实也容易,如果我们使得第 1 项和第 2 项的距离为入/2,自然地,第 2 项和第 3 项的距离 就为入/2,第 3 项和第 4 项的距离也为入/2,依次往下,多米诺骨牌效应...... 文章的最后,留这样一道思考题. 问题二 数列的奇偶项问题 2 2012 年高考全国新课标理科卷第 16 题考到了这样一道数列题. 题目非常简洁,解起来却不容易.当年得分率比较低.好多童鞋感慨:怎么第 1 项也不告诉我啊? 在数列的奇偶项问题中,我们谈到过,遇到(-1)^n 的形式,要采用奇偶分析法. 若 n 为奇数,得到下面的结论. 若 n 为偶数,有下面的结论. 请注意, (1)式和(2)式都无法使用累加法,因为迭代时脚标的奇偶发生变化.所以,通过(1) (2)是无法求出通项公式的. 如何处理呢? 注意到,(1)(2)中有相同的项 a(2k),我们把两式相减. 上式表明:数列中相邻奇数项的和为定值 2. 这样的话,我们就能够求出奇数项的和. 解决复杂问题就是这样,既然我们求解通项公式很困难,能求什么就先求什么,能做到什么程度 就先做到什么程度,急不得. 如何求偶数项的和呢? 偶数项的通项也未知, 但是已知偶数项与奇数项的关系, 我们可以利用这个关系间接求出偶数项 的和. 奇数项和偶数项的和都已知,相加即得到结果. 下面我们换一个思考问题的角度. 既然我们放弃求解通项,采用分奇偶项求和的方法,那么(2)式反映了什么? 思考 1 分钟. 你看出来了吗? (2)式表明:从第 2 项开始(因为 k 是正整数),相邻两项的和构成等差数列(奇数项脚标 比偶数项脚标大). 按照这个思路,我们有了下面的解法. 不幸的是,这个求和的项与所求的不一样,少了第 1 项,多了第 61 项. 它们二者之间有没有关系呢? 带着这个疑问,我们有必要回头再研究研究通项. 依然采用迭代的方法. 这个式子表达什么含义呢? 奇数项是以 4 为周期的,即奇数项每隔四项是相等的. 所以,前 60 项和依然等于 1830. 本篇强调数列问题的基本方法: 1.遇符号数列,采用奇偶分析法; 2.不管有没有用,迭代试一试,加减试一试; 3.数列求和无定法,尤其要关注那些非常规求和的方法. 问题三 数列的奇偶项问题 3 最近,真是数列开会啊,可见这个部分难题多. 第 1 问分析:我们平时习惯于证明肯定的结论,否定形式的命题见的比较少. 大家觉得肯定类型的结论和否定类型的结论,哪一类容易证明呢? 往往否定的更难证明,因为“不是”意味着多种可能性. 聪明的解决办法,就是采用反证法.即假设命题成立,然后推出矛盾,以这种“曲线证明”的方法 说明原命题是不成立的. 同时请注意,命题中有全称量词“任意”,在反设结论时,应该把全称量词改为特称量词 . 第(2)问分析: 证明复杂数列为等差或者等比的方法,主要为定义法,这一方法在证明复杂数列为等差或等比 数列的方法中谈到过. 第(3)问分析:考察两个方面的问题,一是等比数列的求和,二是恒成立问题. 先写通项、求和. 题目要求 Sn>-12 恒成立,属于含参数的恒成立问题.为减少干扰,我们尽可能采用分离参数的 方法. 我们又一次遇到了数列的奇偶项问题,和数列的奇偶项问题 2,数列的奇偶项问题一样,采用奇 偶分析法. 根据恒成立的原理,求出入的范围. 本题复习到的方法: 1.用反证法证明否定形式的