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湖南省长沙市长郡中学2015届高三上学期第五次月考数学试卷(理科)

湖南省长沙市长郡中学 2015 届高三上学期第五次月考数学试卷 (理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)复数 A.第一象限 所对应的点位于复平面内() B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2. (5 分)已知离散型随机变量 X 的分布列为 X 1 2 P 则 X 的数学期望 E(X)=() A. B. 2

3

C.

D.3
2

3. (5 分)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x ﹣3x,则函数 g(x)=f (x)﹣x+3 的零点的集合为() A.{1,3} B.{﹣3,﹣1,1,3} C.{2﹣ ,1,3} D.{﹣2﹣ ,1,3} 4. (5 分)在(1+x) (1+y) 的展开式中,记 x y 项的系数为 f(m,n) ,则 f(3,0)+f (2,1)+f(1,2)+f(0,3)=() A.45 B.60 C.120 D.210 5. (5 分)已知命题 p:x∈A∪B,则非 p 是() A.x 不属于 A∩B B. x 不属于 A 或 x 不属于 B C. x 不属于 A 且 x 不属于 B D.x∈A∩B 6. (5 分)若执行如图所示的程序框图,输出 S 的值为 3,则判断框中应填入的条件是()
6 4 m n

A.k<6?

B.k<7?

C.k<8?

D.k<9?

7. (5 分)已知三棱锥的底面是边长为 1 的正三角形,其正视图与俯视图如图所示,则其侧视 图的面积为()

A.

B.

C.

D.1

8. (5 分)已知函数 f(x)=e ,g(x)=ln 的最小值为() A.2 B.2+ln2

x

的图象分别与直线 y=m 交于 A,B 两点,则|AB|

C. e

2

D.2e﹣ln

9. (5 分)设函数 f(x)= 称,则()

sin(2x+φ)+cos(2x+φ) (|φ|<

) ,且其图象关于直线 x=0 对

A.y=f(x)的最小正周期为 π,且在(0, B. y=f(x)的最小正周期为 ,且在(0,

)上为增函数 )上为增函数

C. y=f(x)的最小正周期为 π,且在(0, D.y=f(x)的最小正周期为 ,且在(0,
3 2

)上为减函数 )上为减函数

10. (5 分)对于三次函数 f(x)=ax +bx +cx+d(a≠0) ,给出定义:设 f′(x)是函数 y=f(x) 的导数,f″(x)是 f′(x)的导数,若方程 f″(x)=0 有实数解 x0,则称点(x0,f(x0) )为 函数 y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次 函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心,设函数 g(x)= x ﹣ x +3x﹣ +g( A.2 013 )+…+g( )=() B.2 014 C.2 015 D.2 016
3 2

,则 g(



二、填空题:本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡 中对应题号后的横线上. (一)选做题(请考生在第 11,12,13 三题中任选两题作答,如果 全做,则按前两题记分) 11. (5 分)如图,AB 是半圆 O 的直径,点 C 在半圆上,CD⊥AB,垂足为 D,且 AD=5DB, 设∠COD=θ,则 tanθ 的值为.

12. (5 分) (坐标系与参数方程选做题)已知在平面直角坐标系 xoy 中,圆 C 的参数方程为 , (θ 为参数) ,以 ox 为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 =0,则圆 C 截直线 l 所得的弦长为.

13.不等式

对一切非零实数 x,y 均成立,则实数 a 的范围为.

14. (5 分)已知点 A 是不等式组

所表示的平面区域内的一个动点,点 B(﹣1,

1) ,O 为坐标原点,则

的取值范围是.

15. (5 分)如图,已知过椭圆

(a>b>0)的左顶点 A(﹣a,0)作直线 1 交 y 轴

于点 P,交椭圆于点 Q,若△ AOP 是等腰三角形,且

,则椭圆的离心率为.

16. (5 分)等边△ ABC 的边长为 2,取各边的三等分点并连线,可以将△ ABC 分成如图所示 的 9 个全等的小正三角形,记这 9 个小正三角形的重心分别为 G1,G2,G3,…,G9,则| ( + )+( + )+…( + )|=.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分)某车间甲组有 10 名工人,其中有 4 名女工人;乙组有 5 名工人,其中有 3 名女 工人.现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取 3 名工 人进行技术考核. (1)求从甲、乙两组各抽取的人数; (2)记 ξ 表示抽取的 3 名工人中男工人数,求 ξ 的分布及数学期望. 18. (12 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 a=3,△ ABC 的面积为 ,求 的值. acosC=csinA.

19. (12 分) 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 为矩形, PA⊥平面 ABCD, AB=PA=1, AD= ,F 是 PB 中点,E 为 BC 上一点. (Ⅰ)求证:AF⊥平面 PBC; (Ⅱ)当 BE 为何值时,二面角 C﹣PE﹣D 为 45°.

20. (13 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn=2﹣( +1)an(n≥1) . (1)求证:数列{
n

}是等比数列; .试比较 An 与 的大小.

(2)设数列{2 an}的前 n 项和为 Tn,An=

21. (13 分)如图,O 为坐标原点,点 F 为抛物线 C1:x =2py(p>0)的焦点,且抛物线 C1 2 2 上点 P 处的切线与圆 C2:x +y =1 相切于点 Q. (Ⅰ)当直线 PQ 的方程为 x﹣y﹣ =0 时,求抛物线 C1 的方程; (Ⅱ)当正数 p 变化时,记 S1,S2 分别为△ FPQ,△ FOQ 的面积,求 的最小值.

2

22. (13 分)已知函数 f(x)=2lnx﹣x ﹣ax. (Ⅰ)当 a≥3 时,讨论函数 f(x)在 X 1 2 P 则 X 的数学期望 E(X)=() A. B. 2

2

3

C.

D.3

考点: 离散型随机变量的期望与方差. 专题: 概率与统计. 分析: 利用数学期望的计算公式即可得出.

解答: 解:由数学期望的计算公式即可得出:E(X)= 故选 A. 点评: 熟练掌握数学期望的计算公式是解题的关键.

= .

3. (5 分)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x ﹣3x,则函数 g(x)=f (x)﹣x+3 的零点的集合为() A.{1,3} B.{﹣3,﹣1,1,3} C.{2﹣ ,1,3} D.{﹣2﹣ ,1,3} 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 首先根据 f(x)是定义在 R 上的奇函数,求出函数在 R 上的解析式,再求出 g(x) 的解析式,根据函数零点就是方程的解,问题得以解决. 2 解答: 解:∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x ﹣3x, 令 x<0,则﹣x>0, 2 ∴f(﹣x)=x +3x=﹣f(x) 2 ∴f(x)=﹣x ﹣3x, ∴ ∵g(x)=f(x)﹣x+3 ∴g(x)= 令 g(x)=0, 当 x≥0 时,x ﹣4x+3=0,解得 x=1,或 x=3, 2 当 x<0 时,﹣x ﹣4x+3=0,解得 x=﹣2﹣ , ∴函数 g(x)=f(x)﹣x+3 的零点的集合为{﹣2﹣ ,1,3} 故选:D. 点评: 本题考查函数的奇偶性及其应用,考查函数的零点,函数方程思想. 4. (5 分)在(1+x) (1+y) 的展开式中,记 x y 项的系数为 f(m,n) ,则 f(3,0)+f (2,1)+f(1,2)+f(0,3)=() A.45 B.60 C.120 D.210 考点: 二项式定理的应用. 专题: 二项式定理. 3 0 2 1 1 2 0 3 分析: 由题意依次求出 x y ,x y ,x y ,x y ,项的系数,求和即可. 解答: 解: (1+x) (1+y) 的展开式中,含 x y 的系数是: 含 x y 的系数是 含 x y 的系数是
1 2 2 1 6 4 3 0 6 4 m n 2

2

=20.f(3,0)=20;

=60,f(2,1)=60; =36,f(1,2)=36;

含 x y 的系数是

0 3

=4,f(0,3)=4;

∴f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=120. 故选:C. 点评: 本题考查二项式定理系数的性质,二项式定理的应用,考查计算能力. 5. (5 分)已知命题 p:x∈A∪B,则非 p 是() A.x 不属于 A∩B B. x 不属于 A 或 x 不属于 B C. x 不属于 A 且 x 不属于 B D.x∈A∩B 考点: 逻辑联结词“非”. 专题: 阅读型. 分析: 因 x∈A∪B 即 x∈A 或 x∈B.是由“或”连接的复合命题,它的否定是由“且”连接的复 合命题. 解答: 解:由 x∈A∪B 知 x∈A 或 x∈B. 非 p 是:x 不属于 A 且 x 不属于 B. 答案:C 点评: 简单的逻辑连接词是指“或”、“且”、“非”.两个命题通过“或”或“且”连接、在一个命 题前加“非”组成新的命题. 6. (5 分)若执行如图所示的程序框图,输出 S 的值为 3,则判断框中应填入的条件是()

A.k<6? 考点: 专题: 分析: 条件. 解答:

B.k<7?

C.k<8?

D.k<9?

循环结构. 算法和程序框图. 根据程序框图,写出运行结果,根据程序输出的结果是 S=3,可得判断框内应填入的 解:根据程序框图,运行结果如下: S k log23 3 log23?log34 4

第一次循环 第二次循环

第三次循环 log23?log34?log45 5 第四次循环 log23?log34?log45?log56 6 第五次循环 log23?log34?log45?log56?log67 7 第六次循环 log23?log34?log45?log56?log67?log78=log28=3 8 故如果输出 S=3,那么只能进行六次循环,故判断框内应填入的条件是 k<8. 故选:C. 点评: 本题考查程序框图,尤其考查循环结构,对循环体每次循环需要进行分析并找出内 在规律,属于基础题. 7. (5 分)已知三棱锥的底面是边长为 1 的正三角形,其正视图与俯视图如图所示,则其侧视 图的面积为()

A.

B.

C.

D.1

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 计算题. 分析: 由题意可知三棱锥是正三棱锥,底面正三角形的高与正视图的投影线平行,如此其 正视图中底边是正三棱锥的底面边长,由俯视图知底面是边长是 的三角形,其高是棱锥的

高 ,由此作出其侧视图,求侧视图的面积. 解答: 解:由题意,此物体的侧视图如图. 根据三视图间的关系可得侧视图中,底边是正三角形的高,底面三角形是边长为 1 的三角形, 所以 AB= ,侧视图的高是棱锥的高: × = . ,

∴S△ VAB= ×AB×h= × 故选:C.

点评: 本题考点是简单空间图形的三视图,考查根据作三视图的规则来作出三个视图的能 力,三视图的投影规则是:“主视、俯视 长对正;主视、左视高平齐,左视、俯视 宽相等”.三 视图是 2015 届高考的新增考点,不时出现在 2015 届高考试题中,应予以重视 8. (5 分)已知函数 f(x)=e ,g(x)=ln 的最小值为() A.2 B.2+ln2 C. e
2 x

的图象分别与直线 y=m 交于 A,B 两点,则|AB|

D.2e﹣ln

考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: 由题意,A(lnm,m) ,B(2 ,m) ,其中 2 >lnm,且 m>0,表示|AB|,

构造函数,确定函数的单调性,即可求出|AB|的最小值. 解答: 解:由题意,A(lnm,m) ,B(2 ∴|AB|=2 令 y= ∴x= , ∴0<x< 时,y′<0;x> 时,y′>0, ﹣lnm, ﹣lnx(x>0) ,则 y′= ﹣ , ,m) ,其中 2 >lnm,且 m>0,

∴y=

﹣lnx(x>0)在(0, )上单调递减,在( ,+∞)上单调递增,

∴x= 时,|AB|min=2+ln2. 故选:B. 点评: 本题考查最值问题,考查导数知识的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中 档题.

9. (5 分)设函数 f(x)= 称,则()

sin(2x+φ)+cos(2x+φ) (|φ|<

) ,且其图象关于直线 x=0 对

A.y=f(x)的最小正周期为 π,且在(0, B. y=f(x)的最小正周期为 ,且在(0,

)上为增函数 )上为增函数 )上为减函数

C. y=f(x)的最小正周期为 π,且在(0,

D.y=f(x)的最小正周期为

,且在(0,

)上为减函数

考点: 三角函数的周期性及其求法;三角函数中的恒等变换应用;余弦函数的对称性;函 数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 通过两角和与差的三角函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式,求出函数的 最小正周期,再由函数图象关于直线 x=0 对称,将 x=0 代入函数解析式中的角度中,并令结 果等于 kπ(k∈Z) ,再由 φ 的范围,求出 φ 的度数,代入确定出函数解析式,利用余弦函数的 单调递减区间确定出函数的得到递减区间为(k∈Z) ,可得出(0, 函数在(0, )上为减函数,进而得到正确的选项. sin(2x+φ)+cos(2x+φ) )?(k∈Z) ,即可得到

解答: 解:∵f(x)= =2 =2sin(2x+φ+ ∴ω=2, ∴T= =π, ) ,

又函数图象关于直线 x=0 对称, ∴φ+ =kπ+ (k∈Z) ,

即 φ=kπ 又|φ|< ∴φ= , ,

(k∈Z) ,

∴f(x)=2cos2x, 令 2kπ≤2x≤2kπ+π(k∈Z) , 解得:kπ≤x≤kπ+ (k∈Z) ,

∴函数的递减区间为(k∈Z) , 又(0, )?(k∈Z) , )上为减函数, )上为减函数.

∴函数在(0,

则 y=f(x)的最小正周期为 π,且在(0,

故选:C. 点评: 本题考查了两角和与差的三角函数,三角函数的周期性及其求法,余弦函数的对称 性,余弦函数的单调性,以及两角和与差的余弦函数公式,其中将函数解析式化为一个角的余 弦函数是本题的突破点.

10. (5 分)对于三次函数 f(x)=ax +bx +cx+d(a≠0) ,给出定义:设 f′(x)是函数 y=f(x) 的导数,f″(x)是 f′(x)的导数,若方程 f″(x)=0 有实数解 x0,则称点(x0,f(x0) )为 函数 y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次 函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心,设函数 g(x)= x ﹣ x +3x﹣ +g( A.2 013 )+…+g( )=() B.2 014 C.2 015 D.2 016
3 2

3

2

,则 g(



考点: 导数的运算;函数的值. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点( ,1)对称,即 f(x)+f(1﹣x) =2,即可得到结论. 2 解答: 解:函数的导数 g′(x)=x ﹣x+3, g″(x)=2x﹣1, 由 g″(x0)=0 得 2x0﹣1=0 解得 x0= ,而 f( )=1, 故函数 g(x)关于点( ,1)对称, ∴g(x)+g(1﹣x)=2, 故设 g( 则 g( )+g( )+g( )+…+g( )+…+g( )=m, )=m,

两式相加得 2×2014=2m, 则 m=2014. 故选:B 点评: 本题主要考查导数的基本运算, 利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键. 求 和的过程中使用了倒序相加法. 二、填空题:本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡 中对应题号后的横线上. (一)选做题(请考生在第 11,12,13 三题中任选两题作答,如果 全做,则按前两题记分) 11. (5 分)如图,AB 是半圆 O 的直径,点 C 在半圆上,CD⊥AB,垂足为 D,且 AD=5DB, 设∠COD=θ,则 tanθ 的值为 .

考点: 直角三角形的射影定理. 专题: 计算题. 分析: 求 tanθ 的值,可转化为解三角形 OCD,根据相交弦定理,不难求出 CD 与半径的关 系,根据已知也很容易出出 OD 与半径的关系. 解答: 解:令圆 O 的半径为 R,即 OA=OB=OC=R ∵AD=5DB∴OD= R,AD= R,BD= R 由相交弦定理可得:CD =AD?BD= ∴CD=
2

∴tanθ=

=

故答案为: 点评: 如果题目中出现有一条弦(特别是直径) ,被分成成比例的两条线段时,可考虑使用 相交弦定理.如果该弦为直径,则还可以结合垂径定理进行解答. 12. (5 分) (坐标系与参数方程选做题)已知在平面直角坐标系 xoy 中,圆 C 的参数方程为 , (θ 为参数) ,以 ox 为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 =0,则圆 C 截直线 l 所得的弦长为 4 .

考点: 简单曲线的极坐标方程;圆的参数方程. 专题: 直线与圆. 分析: 首先把给出的圆的参数方程和直线的极坐标方程化为普通方程,然后运用数形结合 即可解得答案. 解答: 解:由 ,得 ,两式平方相加得:

①, 由 如图 圆心 C 到直线 的距离为 , ,得: ,即 ②,

所以直线 L 被圆 C 所截得的弦长为|AB|=



故答案为



点评: 本题考查了简单曲线的极坐标方程和圆的参数方程,考查了数形结合的解题思想, 考查了灵活处理和解决问题的能力,是中档题.

13.不等式

对一切非零实数 x,y 均成立,则实数 a 的范围为.

考点: 绝对值三角不等式. 专题: 计算题. 分析: 由对勾函数的性质,我们可以求出不等式左边的最小值,再由三角函数的性质,我 们可以求出 siny 的最大值,若不等式 对值不等式,即可得到答案. 解答: 解:∵ ∈(﹣∞,﹣2]∪ 恒成立,则|a﹣2|≤1,解这个绝

故答案为 点评: 本题考查的知识点是绝对值三角不等式的解法,其中根据对勾函数及三角函数的性 质,将不等式 恒成立转化为|a﹣2|≤1,是解答本题的关键.

14. (5 分)已知点 A 是不等式组

所表示的平面区域内的一个动点,点 B(﹣1,

1) ,O 为坐标原点,则

的取值范围是.

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 设 A(x,y) ,z= =﹣x+y,作出不等式组对应的平面区域,利用 z 的几何意义

即可得到结论. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图:

设 A(x,y) ,z=

=﹣x+y,

由 z=﹣x+y,得 y=x+z 表示,斜率为 1 纵截距为 z 的一组平行直线, 平移直线 y=x+z,当直线 y=x+z 经过点 D 时,直线 y=x+z 的截距最小,此时 z 最小, 当直线 y=x+z 经过点 B 时,直线 y=x+z 的截距最大,此时 z 最大, 由 ,解得 ,即 B(1,2) ,此时 zmax=﹣1+2=1.



,解得

,即 D(2,1)

此时 zmin=﹣2+1=﹣1. 故﹣1≤z≤1, 故答案为: ;

点评: 本题主要考查线性规划的基本应用,利用 z 的几何意义是解决线性规划问题的关键, 注意利用数形结合来解决.

15. (5 分)如图,已知过椭圆

(a>b>0)的左顶点 A(﹣a,0)作直线 1 交 y 轴

于点 P,交椭圆于点 Q,若△ AOP 是等腰三角形,且

,则椭圆的离心率为



考点: 专题: 分析: 解答:

椭圆的简单性质. 圆锥曲线的定义、性质与方程. 利用等腰三角形的性质和向量相等运算即可得出点 Q 的坐标, 再代入椭圆方程即可. 解:∵△AOP 是等腰三角形,A(﹣a,0)∴P(0,a) . ,∴(x0,y0﹣a)=2(﹣a﹣x0,﹣y0) .

设 Q(x0,y0) ,∵



,解得



代入椭圆方程得

,化为





=



故答案为



点评: 熟练掌握等腰三角形的性质和向量相等运算、“代点法”等是解题的关键. 16. (5 分)等边△ ABC 的边长为 2,取各边的三等分点并连线,可以将△ ABC 分成如图所示 的 9 个全等的小正三角形,记这 9 个小正三角形的重心分别为 G1,G2,G3,…,G9,则| ( + )+( + )+…( + )|=6 .

考点: 向量的加法及其几何意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 将所有的向量用 , , 表示出来,再利用等边三角形的三线合一性质即可求

解. 解答: 解:∵△ABC 为等边三角形,边长为 2 ∴AD=BF= , ∴|( =|( =|54 |=6 )+…+( + ,且 )| )+…+( )|

故答案为:6

点评: 本题主要考察了向量的三角形法则,及向量的求模运算,属于中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分)某车间甲组有 10 名工人,其中有 4 名女工人;乙组有 5 名工人,其中有 3 名女 工人.现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取 3 名工 人进行技术考核. (1)求从甲、乙两组各抽取的人数; (2)记 ξ 表示抽取的 3 名工人中男工人数,求 ξ 的分布及数学期望. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;分层抽样方法;等可能事件的概率;离散型随机变 量及其分布列. 专题: 计算题;分析法. 分析: 对于(1)求从甲、乙两组各抽取的人数;因为采用分层抽样方法从甲、乙两组中共 抽取 3 名工人进行技术考核.且甲组有 10 名工人,乙组有 5 名工人,根据分层抽样原理可直 接得到答案. 对于(2)求 ξ 的分布及数学期望.首先记事件 Ai 表示事件:从甲组抽取的 2 名工人中恰有 i 名男工人,i=0,1,2.B 表示事件:从乙组抽取的是 1 名男工人.故可得到 ξ 的可能取值为 0, 1,2,3.然后对每一个取值求概率.最后根据期望公式即可得到答案. 解答: 解: (1)由于甲组有 10 名工人,乙组有 5 名工人,根据分层抽样原理.若从甲、乙 两组中共抽取 3 名工人进行技术考核,则从甲组抽取 2 名工人,乙组抽取 1 名工人. (2)ξ 的可能取值为 0,1,2,3. Ai 表示事件:从甲组抽取的 2 名工人中恰有 i 名男工人,i=0,1,2. B 表示事件:从乙组抽取的是 1 名男工人. Ai 与 B 独立,i=0,1,2. 当 ξ=0 时,P(ξ=0)=P( )=P(A0)P( )=

当 ξ=1 时, P (ξ=1) =P (

) =P (A0) P (B) +P (A1) P ( ) =

当 ξ=3 时,P(ξ=3)=P(A2B)=P(A2)?P(B)= 当 ξ=2 时,P(ξ=2)=1﹣= .

故期望 Eξ=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+2×P(ξ=2)+3×P(ξ=3)= . 故答案为 . 点评: 此题主要考查分层抽样的概念以及离散型随机变量的期望和方差,题中涉及到独立 事件概率的求法.涵盖知识点多,有一定的计算量,属于难题. 18. (12 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 a=3,△ ABC 的面积为 ,求 的值. acosC=csinA.

考点: 正弦定理;平面向量数量积的运算. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ)已知等式利用正弦定理化简,由 sinA 不为 0 求出 tanC 的值,即可确定出角 C 的大小; (Ⅱ)利用三角形面积公式列出关系式,把 a,sinC,以及已知面积代入求出 b 的值,再利用 余弦定理求出 c 的值, 求出 cosA 的值, 利用平面向量的数量积运算法则即可确定出原式的值. 解答: 解: (Ⅰ)∵ acosC=csinA, 由正弦定理得: sinAcosC=sinCsinA, ∵0<A<π,∴sinA>0, ∴ cosC=sinC,即 tanC= , 又 0<C<π,∴C= ; ,

(Ⅱ)∵a=3,△ ABC 的面积为 ∴S= absinC= ×3bsin ∴b=2, 由余弦定理得:c =4+9﹣6=7,即 c= 则 =bccos(π﹣A)=2
2

=



,cosA= )=﹣1.

=



?

×(﹣

点评: 此题考查了正弦、余弦定理,平面向量的数量积运算,以及三角形面积公式,熟练 掌握定理及公式是解本题的关键.

19. (12 分) 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 为矩形, PA⊥平面 ABCD, AB=PA=1, AD= ,F 是 PB 中点,E 为 BC 上一点. (Ⅰ)求证:AF⊥平面 PBC; (Ⅱ)当 BE 为何值时,二面角 C﹣PE﹣D 为 45°.

考点: 与二面角有关的立体几何综合题;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)以 A 为原点,AD 为 x 轴,AB 为 y 轴,AP 为 z 轴,建立空间直角坐标系, 利用向量法能证明 AF⊥平面 PBC. (Ⅱ)设 BE=a,E(a,1,0 求出平面 PDE 的法向量和平面 PCE 的法向量,利用向量法能求 出当 BE= 时,二面角 C﹣PE﹣D 为 45°.

解答: (Ⅰ)证明:以 A 为原点,AD 为 x 轴,AB 为 y 轴,AP 为 z 轴,建立空间直角坐 标系, ∵AB=PA=1,AD= ,F 是 PB 中点, ∴A(0,0,0) ,P(0,0,1) ,B(0,1,0) ,C( ,1,0) , , =(0, , ) , ∵ =0, , ,F(0, , ) ,

∴AF⊥PB,AF⊥PB, ∴AF⊥平面 PBC. (Ⅱ)设 BE=a,∴E(a,1,0) , 设平面 PDE 的法向量 , , ,





取 x=1,得 =(1, 平面 PCE 的法向量为



) , ,

∵二面角 C﹣PE﹣D 为 45°,

∴cos<

>=

=



解得 a= ∴当 BE=

, 时,二面角 C﹣PE﹣D 为 45°.

AF⊥平面 PBC.

点评: 本题考查直线与平面垂直的证明,考查使得二面角为 45°的线段长的求法,解题时要 认真审题,注意向量法的合理运用.

20. (13 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn=2﹣( +1)an(n≥1) . (1)求证:数列{
n

}是等比数列; .试比较 An 与 的大小.

(2)设数列{2 an}的前 n 项和为 Tn,An=

考点: 数列递推式;数列的求和. 专题: 计算题;证明题;压轴题. 分析: (1)由 a1=S1=2﹣3a1 得 a1= ,由 Sn=2﹣( +1)an 得 Sn﹣1=2﹣( 由此能证明数列{ (2)由 = × }是等比数列. = ,知 2 an=n,Tn=1+2+3+…+n= ,An=2 考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)求单调区间,先求导,令导函数大于等于 0 即可.
n

+1)an﹣1,



(Ⅱ)由题意可得 a=

﹣(x2+x1) ,代入

,可得

=

(ln

)﹣

,构造函数 h(t)=lnt



,求导数可得单调性和求值范围,进而可得答案.
2

解答: 解: (Ⅰ)∵f(x)=2lnx﹣x ﹣ax, ∴ = ,

令 f'(x)=0 得 ∵a≥3, 2 2 ∴a +16≤a +4a+4, ∴ ∴ 故在 ∴在 , , 上恒成立

(负根舍去) ,

上函数 f(x)单调递减;

(Ⅱ) (Ⅱ)∵x1,x2(x1<x2)是函数 f(x)的两个零点, 2 2 ∴f(x1)=2lnx1﹣x1 ﹣ax1=0,f(x2)=2lnx2﹣x2 ﹣ax2=0, 两式相减可得:2ln ﹣(x2 ﹣x1 )﹣a(x2﹣x1)=0,
2 2

∴a= ∵

﹣(x2+x1) , ,



=



﹣a,

=

﹣(x2+x1)+





=

+





=

(ln

)﹣



令 t=

∈(1,4) ,h(t)=lnt﹣



∴h′(t)=

=

=

<0,

∴h(t)在(1,4)上单调递减, ∴h(t)<h(1)=0, 又 <0,﹣ >0,



>0.

点评: 本题考查利用导数研究函数的极值和单调性,涉及构造函数的方法,属中档题.


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