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高中数学竞赛专题讲座---几个重要不等式及其应用

几个重要不等式及其应用 一、几个重要不等式 以下四个不等式在数学竞赛中使用频率是最高的,应用极为广泛。 1、算术-几何平均值(AM-GM)不等式 设 a1 , a2 ,?, an 是非负实数,则 2、柯西(Cauchy)不等式 a1 ? a2 ? ? ? an n ? a1a2 ? an . n 2 ? n ?? n ? ? n ? 设 ai , bi ? R(i ? 1, 2,?n) , 则 ? ? ai2 ?? ? bi2 ? ? ? ? ai bi ? . 等 号 成 立 当 且 仅 当 存 在 ? ? R , 使 ? i ?1 ?? i ?1 ? ? i ?1 ? bi ? ?ai , i ? 1, 2, ?n , . ? n ? ? ? ai ? 2 n ai ? ;等号成立当且仅当存在 ? ? R , ? 变形(Ⅰ) :设 ai ? R, bi ? R ,则 ? ? ? i ?1 n i ?1 bi ? bi i ?1 2 使 bi ? ?ai , i ? 1, 2,?, n. ? n ? ? ? ai ? n ai ? i ?1 ? 变形(Ⅱ)设 ai , bi 同号,且 ai , bi ? 0 ,则 ? 。等号成立当且仅当 b1 ? b2 ? ? ? bn ? n i ?1 bi ? ai bi i ?1 2 3.排序不等式 设 a1 ? a2 ? ? ? an , b1 ? b2 ? ? ? bn , j1 , j2 ,?, jn 是 1,2,?, n 的一个排列,则 a1bn ? a2bn?1 ? ? ? an b1 ? a1b j1 ? a2b j2 ? ? ? a3b jn ? a1b1 ? a2b2 ? ?an bn . 等号成立当且仅当 (用调整法证明). a1 ? a2 ? ? ? an 或 b1 ? b2 ? ? ? bn 。 4.琴生(Jensen)不等式 若 f ?x ? 是区间 ?a, b ? 上的凸函数,则对任意的点 x1 , x2 ,?, xn ? ?a, b? (n ? N ) 有 * f( x1 ? x2 ? ? ? xn 1 )? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? ? f ? xn ? ? (用 ? . 等号当且仅当 x1 ? x2 ? ? ? xn 时取得。 n n? 归纳法证明) 二、进一步的结论 运用以上四个不等式可得以下更一般的不等式和一些有用的结论,有时用这些结论也会起到意想不到 的效果。 1. 幂均值不等式 ? 设 ? ? ? ? 0 , ai ? R (i ? 1,2,?, n) ,则 1 ? ? ? a1? ? a 2 ? ? ? an M? ? ? ? n ? ? ? ? ? ? a1? ? a 2 ? ? ? an ? ?? ? ? n ? ? 1 1 ?? ? ? M? 。 ? ? 1 证:作变量代换,令 ai? ? xi ,则 ai ? xi? ,则 1? M ? ? M ? ? ? x1? ? x2? ? ? ? xn? n? ? ? ? ? ? ? x1 ? x2 ? ? ? xn ? ? ??? ? ?① ? ? n ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ,? ? ? 1 ,又函数 ? f ( x) ? x p ( p ? 1) 是 ?0,??? 上的凸函数,由 Jensen 不等式知①式成立。 2.(切比雪夫不等式) 设两个实数组 a1 ? a2 ? ? ? an , b1 ? b2 ? ? ? bn ,则 1 ?a1 bn ? a2bn?1 ? ? ? anb1 ? ? n ? ai i ?1 n n ? ?b i ?1 n i n ? 1 ?a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ? n 等号成立当且仅当 a1 ? a2 ? ? ? an 或 b1 ? b2 ? ? ? bn 。 证:由排序不等式有: a1bn ? a2bn?1 ? ? ? anb1 ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn , a1bn ? a2bn?1 ? ? ? anb1 ? a1b2 ? a2b3 ? ? ? anb1 ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn , …………………………………………………………………………… a1bn ? a2bn?1 ? ? ? anb1 ? a1bn ? a2b1 ? ? ? anbn?1 ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn 以上 n 个等式相加即得。 3. 一个基础关系式 x? y1?? ? ?x ? (1 ? ? ) y ,其中 x, y ? 0, ? ? [0,1] 证:若 x,y 中有一个为 0,则显然成立。 ? ?x? ?x? x ? 设 x,y 均不为零,则原不等式 ? ? ? y? ? ? ?? ? y? ? ? 1 ? ? ,令 y ? t ,则上式 ? t ? ?t ? (1 ? ? ) ,记 ? ? ? ? f (t ) ? ?t ? (1 ? ? ) ? t ? ,则 f ?(t ) ? ? ? ?t ? ?1 ,因此,当 t ? 1 时, f ?(t ) ? 0 ,当 0 ? t ? 1 时, f ?(t ) ? 0 , ? ? 1?? 且 f ?(1) ? 0 ,所以 f (t ) 得极小值为 f (1) ? 0 ,故 ?t ? (1 ? ? ) ? t ? 0 ,即 x y ? ?x ? (1 ? ? ) y . 4. Holder 不等式 设 ak , bk ? 0(k ? 1,2,?n), p, q ? 1 且 1 1 ? ? 1 ,则 p q 2 ? n p ? p ? n q ?q a b ? ? ? ak ? ? ? bk ? ? k k k ?1 ? k ?1 ? ? k

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