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昆明市第一中学2012届高考第二轮考点专题复习教案 数列问题的题型与方法

第 5-8 课时课题:数列问题的题型与方法 一.复习目标: 1. 能灵活地运用等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前 n 项和公式解题; 2.能熟练地求一些特殊数列的通项和前 n 项的和; 3.使学生系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律,深化数学思想方法在解题实 践中的指导作用,灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题; 4.通过解决探索性问题,进一步培养学生阅读理解和创新能力,综合运用数学思想方 法分析问题与解决问题的能力. 5.在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识,沟通 各类知识的联系,形成更完整的知识网络,提高分析问题和解决问题的能力. 6.培养学生善于分析题意,富于联想,以适应新的背景,新的设问方式,提高学生用 函数的思想、 方程的思想研究数列问题的自觉性、 培养学生主动探索的精神和科学理性的思 维方法. 二.考试要求: 1.理解数列的概念,了解数列通项公式的意义,了解递推公式是给出数列的一种方法, 并能根据递推公式写出数列的前几项。 2.理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式,并能运用公式解 答简单的问题。 3.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式,并能运用公式解 决简单的问题。 4.数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础,所以在高考中占有重要的 地位。高考对本章的考查比较全面,等差数列,等比数列的考查每年都不会遗漏。解答题多 为中等以上难度的试题,突出考查考生的思维能力,解决问题的能力,试题大多有较好的区 分度。有关数列的试题经常是综合题,经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知 识综合起来,试题也常把等差数列、等比数列,求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问 题是高考的热点,常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想,在主观题中着 重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想,以及配方法、换元法、待定系数法 等基本数学方法。应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化,常需构造数列模型,将现 实问题转化为数学问题来解决。 三.教学过程: (Ⅰ)基础知识详析 1.可以列表复习等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质. 2.判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法: (1)定义法:对于 n≥2 的任意自然数,验证 an ? an ?1 (an / an ?1 ) 为同一常数。 (2)通项公式法: ①若 ②若 (3)中项公式法:验证 3.在等差数列 = +(n-1)d= +(n-k)d,则 ,则 ?an ? 为等差数列; 都成立。 ?an ? 为等比数列。 ?an ? 中,有关 S 的最值问题——常用邻项变号法求解: n (1)当 a1 ? 0 ,d<0 时,满足 的项数 m 使得 Sm 取最大值. (2)当 a1 ? 0 ,d>0 时,满足 的项数 m 使得 Sm 取最小值。 在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 4.数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。 5.注意事项: ⑴证明数列 ?an ? 是等差或等比数列常用定义,即通过证明 an?1 ? an ? an ? an?1 或 an?1 a ? n 而得。 an a n?1 ⑵在解决等差数列或等比数列的相关问题时, “基本量法”是常用的方法,但有时灵活 地运用性质,可使运算简便。 ⑶对于一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。 ⑷注意一些特殊数列的求和方法。 ⑸注意 sn 与 an 之间关系的转化。如: an = s1 , n ?1 s n ? s n ?1 , n ? 2 , an = a1 ? ? (a k ?2 n k ? ak ?1 ) . ⑹数列极限的综合题形式多样,解题思路灵活,但万变不离其宗,就是离不开数列极限 的概念和性质,离不开数学思想方法,只要能把握这两方面,就会迅速打通解题思路. ⑺解综合题的成败在于审清题目,弄懂来龙去脉,透过给定信息的表象,抓住问题的本 质,揭示问题的内在联系和隐含条件,明确解题方向,形成解题策略. ⑻通过解题后的反思,找准自己的问题,总结成功的经验,吸取失败的教训,增强解综 合题的信心和勇气,提高分析问题和解决问题的能力. (Ⅱ)范例分析 例 1.已知数列{a n }是公差 d≠0 的等差数列,其前 n 项和为 S n . (2)过点 Q 1 (1,a 1 ),Q 2 (2,a 2 )作直线 12,设 l 1 与 l 2 的夹角为θ , 证明:(1)因为等差数列{a n }的公差 d≠0,所以 Kp 1 p k 是常数(k=2,3,?,n). (2)直线 l 2 的方程为 y-a 1 =d(x-1),直线 l 2 的斜率为 d. 例 2.已知数列 ?an ? 中, S n 是其前 n 项和,并且 Sn?1 ? 4an ? 2(n ? 1, 2, ⑴设数列 bn ? an?1 ? 2an (n ? 1,2,??) ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列; ), a1 ? 1 , an , (n ? 1,2, ??) ,求证:数列 ?cn ? 是等差数列; 2n ⑶求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项和。 ⑵设数列 c n ? 分析:由于{b n }和{c n }中的项都和{a n }中的项有关,{a n }中又有 S n?1 =4a n +2,可由 S n ? 2 -S n?1 作切入点探索解题的途径. 解 : (1) 由 S n?1 =4a n ?2 , S n?2 =4a n?1 +2 , 两 式 相 减 , 得 S n ? 2 -S n ?1 =4(a n?1 -a n ),即 a n ? 2 =4a n?1 -4a n .(根据 b n 的构造,如何把该式表示成 b n?1 与 b n 的关系是证明的关键,注 意加强恒等变形能力的训练) a n

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