141231-教案-高一(必修1,必修2)数学复习习题

1.设 f(x 2 ＋1)＝log a (4－x 4 ) （a>1） ， 则 f(x)的值域是_______________。 2.设实数 x、y 满足 x 2 ＋2xy－1＝0，则 x＋y 的取值范围是___________。 3.方程
1 ? 3? x ＝3 的解是_______________。 1 ? 3x

4.不等式 log 2 (2 x －1) ·log 2 (2 x ?1 －2)〈2 的解集是_______________。 【简解】1 小题：设 x 2 ＋1＝t (t≥1)，则 f(t)＝log a [-(t-1) 2 ＋4]，所以 值域为(－∞,log a 4]； 2 小题：设 x＋y＝k，则 x 2 －2kx＋1＝0, △＝4k 2 －4≥0,所以 k≥1 或 k≤ －1；
1 3 小题：设 3 x ＝y，则 3y 2 ＋2y－1＝0,解得 y＝ ，所以 x＝－1； 3

4 小题：设 log 2 (2 x － 1) ＝ y ，则 y(y ＋ 1)<2 ，解得－ 2<y<1 ，所以 x ∈
5 ,log 2 3)。 4 Ⅱ、示范性题组：

(log 2

例 1. 设 对 所 于 有 实 数 x ， 不 等 式 x 2 log 2
(a ? 1)2 >0 恒成立，求 a 的取值范围。 4a 2

4( a ? 1) 2a ＋ 2x log 2 ＋ a a ?1

log 2

4( a ? 1) 2a ( a ? 1) 2 【分析】不等式中 log 2 、 log 2 、log 2 三项有何联系？ a a ?1 4a 2

进行对数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。 【解】 设 log 2
4( a ? 1) 8( a ? 1) 2a a ?1 ＝t， 则 log 2 ＝log 2 ＝3＋log 2 ＝3 a a ?1 2a 2a

－log 2

2a a ?1 (a ? 1)2 ＝3－t，log 2 ＝2log 2 ＝－2t， 2 a ?1 2a 4a

代入后原不等式简化为（3－t）x 2 ＋2tx－2t>0，它对一切实数 x 恒成立，所以：

?3 ? t ? 0 ?t ? 3 ，解得 ? ? 2 ?t ? 0或t ? 6 ?? ? 4t ? 8t (3 ? t ) ? 0

∴ t<0 即 log 2

2a <0 a ?1

0<

2a <1，解得 0<a<1。 a ?1 【注】应用局部换元法，起到了化繁为简、化难为易的作用。为什么会想到

换元及如何设元，关键是发现已知不等式中 log 2

4( a ? 1) 2a 、 log 2 、 a a ?1

log 2

(a ? 1)2 三项之间的联系。 在解决不等式恒成立问题时， 使用了 “判别式法” 。 4a 2

另外，本题还要求对数运算十分熟练。一般地，解指数与对数的不等式、方程， 有可能使用局部换元法， 换元时也可能要对所给的已知条件进行适当变形，发现 它们的联系而实施换元，这是我们思考解法时要注意的一点。 Ⅲ、巩固性题组： 1. 已知 f(x 3 )＝lgx A. 2lg2 (x>0)，则 f(4)的值为_____。 B.
1 lg2 3

C.

2 lg2 3

D.

2 3

lg4

2. 函数 y＝(x＋1) 4 ＋2 的单调增区间是______。 A. [-2,+∞) B. [-1,+∞) D. (-∞,+∞) C. (-∞,-1]

3. 已知 x 2 ＋4y 2 ＝4x，则 x＋y 的范围是_________________。 4. 已知 a≥0，b≥0，a＋b＝1，则 5. 不等式
x >ax＋

a?

1 2

＋

b?

1 2

的范围是____________。

3 的解集是(4,b)，则 2

a＝________，b＝_______。

6. 函数 y＝2x＋

x ? 1 的值域是________________。

已知 f(x)＝－x ＋cx，f(2)＝－14，f(4)＝－252，求 y＝log 上的单调性。

n

2 2

2 f(x)的定义域，判定在( 2 ,1)

3

【分析】 要判断函数的单调性，必须首先确定 n 与 c 的值求出函数的解析式， 再利用函数的单调性定义判断。
n ? ? f ( 2) ? ?2 ? 2c ? ?14 【解】 ? n ? ? f ( 4) ? ?4 ? 4c ? ?252

?n ? 4 解得： ? ?c ? 1

∴ f(x)＝－x 4 ＋x
3

解 f(x)>0 得：0<x<1
4

设

2 <x 1 <x 2 <1 ， 则 f(x 1 ) － f(x 2 ) ＝ － x 1 2

+x 1 - （ -x

4

2

+x 2 ）

=(x 1 -x 2 )[1-(x 1 +x 2 )( x 1 2 +x 2 2 )],

∵ x 1 +x 2 > 2 ， x 1 +x 2

3

2

2

4 > 2
3

3

3

∴ (x 1 +x 2 )( x 1 +x 2 )〉 2 ×
2 ,1)上是减函数 2
3

2

2

3

4 ＝1 2

∴ f(x 1 )－f(x 2 )>0 即 f(x)在( ∵
2 <1 2

∴ y＝log

f(x) 在( 2
2

2 ,1)上是增函数。 2

【注】关于函数的性质：奇偶性、单调性、 周期性的判断， 一般都是直接应用定义解题。 本 题还在求 n、c 的过程中，运用了待定系数法和 换元法。 例 2. 若下列方程： x 2 ＋4ax－4a＋3＝0， x 2 ＋(a－1)x＋a 2 ＝0, x 2 ＋2ax－2a＝0 至少有一个方程有实根。试求实数 a 的取 值范围。 【分析】 三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种：三个方程均 没有实根。 先求出反面情况时 a 的范围， 再所得范围的补集就是正面情况的答案。 【解】 设三个方程均无实根，则有：

1 ? 3 ? ?a? ? 2 2 ?△ 1 ? 16a 2 ? 4( ?4a ? 3) ? 0 ? ? 3 1 ? 2 2 ,解得 ?a ? ?1或a ? ,即－ <a<－1。 ?△ 2 ? ( a ? 1) ? 4a ? 0 2 3 ? ? 2 △ ? 4 a ? 4 ( ? 2 a ) ? 0 ? 2 ?? 2 ? a ? 0 ? ?
3 时，三个方程至少有一个方程有实根。 2 【注】“至少”、“至多”问题经常从反面考虑，有可能使情况变得简单。 本题还用到了“判别式法”、“补集法”（全集 R），也可以从正面直接求解， 即分别求出三个方程有实根时（△≥0）a 的取值范围，再将三个范围并起来， 即求集合的并集。两种解法，要求对不等式解集的交、并、补概念和运算理解透 彻。

所以当 a≥－1 或 a≤－

17、（本小题满分 10 分）设 求 a 的值。 解：

A ? ??4, 2a ? 1, a 2 ?, B ? ?a ? 5,1 ? a,9 ?

，已知

A B ? ?9?

，

A B ? ?9? ,?9 ? A且9 ? B
2

----------------------------------1 分 ---------------------4 分

有 2a ? 1 ? 9 或 a ? 9 ，解得： a ? 5, 或a ? ?3

A ? ??4,9,25?, B ? ?0, ?4,9? 当 a ? 5 时， ，
则有

A B ? ??4,9?

，与题意不相符，? a ? 5 舍去。

-----------6 分

A ? ??4,9,5?, a ? 5 ? 1 ? a ? ?2 当 a ? 3 时， ，
则与 B 中有 3 个元素不相符，? a ? 3 舍去。 当 a ? ?3 时， ------------------8 分

A ? ??4, ?7,9?, B ? ??8,4,9?

，

A B ? ?9? ? a ? 3 ------10 分

18、（本小题满分 10 分）判断并证明

f ? x? ?

x2 x 2 ? 1 在 ? 0, ?? ? 的单调性。

x2 f ? x? ? 2 x ? 1 在 ? 0, ?? ? 的单调递增。--------------------------2 分 解：判断：

证明：设

x1 ? x2 ? 0 ，则有

f ? x1 ? ?

x12 x22 , f x ? ? ? 2 x12 ? 1 x22 ? 1 ----------------3 分

x12 ? ? x2 2 ? 1? ? x2 2 ? ? x12 ? 1? x12 x2 2 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 2 ? ? x1 ? 1 x2 2 ? 1 ? x12 ? 1? ? ? x22 ? 1?
?

--------5 分

? x ? x ? ? ? x1 ? x2 ? x12 ? x2 2 ? 12 2 2 2 ? x1 ? 1? ? ? x2 ? 1? ? x1 ? 1? ? ? x22 ? 1?

-------------7 分

x1 ? x2 ? 0 ，? x1 ? x2 ? 0, x1 ? x2 ? 0 ，又 x12 ? 1 ? 0, x22 ? 1 ? 0 -----10 分
?

? x1 ? x2 ? ? ? x1 ? x2 ? ? 0

?x

2

1

? 1? ? ? x2 2 ? 1?

，即

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0

故

f ? x? ?

x2 x 2 ? 1 在 ? 0, ?? ? 的单调递增。
1? x 1 ? x 的定义域和奇偶性。

y ? lg
19、（本小题满分 12 分）研究函数

1? x ?0 解：（1） 依题意有： 1 ? x ，----------------------------------------2 分
解得： ?1 ? x ? 1 -----------------------------------------4 分

y ? lg
所以，函数 （2） 设

1? x 1 ? x 的定义域为 ? ?1,1?
，则

x ? ? ?1,1?

?x ? ? ?1,1?

有：

f ? ? x ? ? lg
?1

1? x 1? x

-------------------------------------6 分

1? x ? 1? x ? ? lg ? ? ? ? lg 1? x ? 1? x ?

? ? f ? x?

------------------------------------------10 分

y ? lg
所以函数

1? x 1 ? x 为奇函数

--------------------------------12 分

? a ?b ? ? ?a b a 20、（本小题满分 12 分）已知： a ? 0, b ? 0 ，且 a ? b ，求证： ? b ?
b a a 证明：由 a ? b 知： b ? a

a

a ?b b

。

b

----------------------------------------4 分

? a ?b a b ? ? ? a ?b? bb 则左边=
a

a

a

-----------------------------------------6 分

?

ab ? b ?b a a ? ? ? ?
a ?1

a

---------------------------------------- 10 分
a ?b b

? ab ? a

? 右边

-------------------------------------12 分

21、（本小题满分 12 分）某商品最近 30 天的价格

f ?t ?

（元）与时间 t 满足关系式

? 1 t ? 8, ? ? 3 f ?t ? ? ? ?? 1 t ? 18, ? ? 3
且知销售量

? 0 ? t ? 15, t ? N ?
?

?15 ? t ? 30, t ? N ?
?

，

g ?t ?

g ? t ? ? ?t ? 30, 与时间 t 满足关系式

? 0 ? t ? 30, t ? N ? ，求该商品
?

的日销售额的最大值。

解： 设 则有：

W ?t ?

表示商品甲的日销售额（单位:元）与时间 t 的函数关系。--------1 分 --------------------------------------2 分

W ?t ? ? f ?t ? ? g ?t ?

? ?1 ? ? ? 3 t ? 8 ? ? ? ?t ? 30 ? , ? ? ? ?? ?? ? 1 t ? 8 ? ? ? ?t ? 30 ? , ? ? ? ? ?? 3
? 1 2 ? t ? 2t ? 240, ? ? 3 ?? ? 1 t 2 ? 28t ? 540, ? ?3

? 0 ? t ? 15, t ? N ?
?

?15 ? t ? 30, t ? N ?
?
?

? 0 ? t ? 15, t ? N ? ?15 ? t ? 30, t ? N ?
?

---------------------5 分
?

2 ? 1 ? ? t ? 3? ? 243, ? ? 3 ?? ? 1 ? t ? 42 ?2 ? 48, ? ?3

? 0 ? t ? 15, t ? N ? ?15 ? t ? 30, t ? N ?
?

--------------------7

分
? W ?t ?max ? W ?3? ? 243 当 0 ? t ? 15, t ? N 时，易知 t ? 3 时，

--------9 分 ----11 分

? W ?t ?max ? W ?15? ? 195 当 15 ? t ? 30, t ? N 时，易知 t ? 15 时，

所以，当 t ? 3 时，该商品的日销售额为最大值 243 元。------------12 分

22、（本小题满分 14 分）已知

log a ? x 2 ? 4 ? ? log a ? y 2 ? 1? ? log a 5 ? log a ? 2 xy ? 1? , ? a ? 0, 且a ? 1?

，

求

log 8

y x 的值。
2 2 ? log a ? ?5 ? 2 xy ? 1? ? ? ?? x ? 4 ? ? ? y ? 1?? ? log a ?

解：原方程可变形为： 可得：

-------------2 分

?x
2

2

? 4 ? ? ? y 2 ? 1? ? 5 ? 2 xy ? 1?
-----------------------5 分

x2 y 2 ? x2 ? 4 y 2 ?10xy ? 9 ? 0
得：

?x

y 2 ? 6 xy ? 9 ? ? ? x 2 ? 4 y 2 ? 4 xy ? ? 0
2

? xy ? 3? 即：

? ? x ? 2y? ? 0
2

--------------------------9 分

? xy ? 3 ? x ? 2y 易知： ?
y 1 ? x 2 所以：

------------------------------------10 分

---------------------------------------12 分

故

log8

y 1 ? log8 ? ?3 x 2

-------------------------------14 分

15．（本题满分 12 分）已知函数 f ( x) ?

1 . x ?1
2

（1）设 f ( x) 的定义域为 A，求集合 A； （2）判断函数 f ( x) 在（1，+ ? ）上单调性，并用定义加以证明.

16．（本题满分 12 分）有一个自来水厂，蓄水池有水 450 吨. 水厂每小时可向蓄水池注水 80 吨，同时蓄水池又向居民小区供水，t 小时内供水量为 160 5 t 吨. 现在开始向池中注水 并同时向居民供水. 问多少小时后蓄水池中水量最少?并求出最少水量。

17．（本题满分 12 分）已知函数 f ( x) ? a

x ?1

(a ? 0且a ? 1)

（1）若函数 y ? f ( x) 的图象经过 P（3，4）点，求 a 的值； （2）比较 f (lg

1 )与f ( ?2.1) 大小，并写出比较过程； 100

（3）若 f (lg a) ? 100 ，求 a 的值.

18．（本题满分 8 分）集合 A 是由适合以下性质的函数 f?x?构成的：对于定义域内任意两个 x ?x 1 不相等的实数 x1 , x2 ，都有 [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? f ( 1 2 ) . 2 2 （1）试判断 f?x?? x2 及 g?x??log2x 是否在集合 A 中，并说明理由；

（2）设 f?x??A 且定义域为?0，???，值域为?0，1?， f ?1? ? 的函数 f ?x?的解析式.

1 ，试求出一个满足以上条件 2

15． 解：（1）由 x ? 1 ? 0 ，得 x ? ?1 ，
2

1 的定义域为 {x ? R | x ? ?1} ……………………… 4 分 x ?1 1 （2）函数 f ( x) ? 2 在 (1, ??) 上单调递减. ………………………………6 分 x ?1
所以，函数 f ( x) ?
2

证明：任取 x1 , x2 ? (1, ??) ，设 x1 ? x2 ， 则 ?x ? x2 ? x1 ? 0,

?y ? y2 ? y1 ?

( x ? x )( x ? x ) 1 1 ? 2 ? 1 2 2 12 2 …………………… 8 分 x ? 1 x1 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)
2 2

x1 ? 1, x2 ? 1,
2 ? x12 ?1 ? 0, x2 ?1 ? 0, x1 ? x2 ? 0.

又 x1 ? x2 ，所以 x1 ? x2 ? 0, 故 ?y ? 0. 因此，函数 f ( x) ?

1 在 (1, ??) 上单调递减. ………………………12 分 x ?1
2

说明：分析 ?y 的符号不具体者，适当扣 1—2 分.

16．解：设t小时后蓄水池内水量为y吨， 根据题意，得

…………………………………… 1分

y ? 450 ? 80t ?160 5t
? 80( t )2 ? 160 5 t ? 450 ? 80[( t )2 ? 2 5 t ] ? 450 ? 80( t ? 5)2 ? 50

……………………………………… 5分

……………………………………… 10分

当 t ? 5 ，即 t ? 5 时，y取得最小值是50. 答：5小时后蓄水池中的水量最少，为50吨.

…………………………… 11分 …………………………… 12分
2

说明：①本题解题过程中可设 t ? x ，从而 y ? 80x ?160 5x ? 450 . ②未写出答，用“所以，5小时后蓄水池中的水量最少，为50吨”也可以. 未答者 扣1分. 17．解：⑴ ∵ 函数 y ? f ( x) 的图象经过 P(3, 4) ∴a
3-1

? 4 ，即 a 2 ? 4 .

……………………………………… 2 分 ……………………………………… 4 分

又 a ? 0 ，所以 a ? 2 . ⑵当 a ? 1 时， f (lg

1 ) ? f (?2.1) ; 100 1 ) ? f (?2.1) . …………………………………… 6 分 100

当 0 ? a ? 1 时， f (lg

因为， f (lg

1 ) ? f (?2) ? a ?3 ， f (?2.1) ? a ?3.1 100
x

当 a ? 1 时， y ? a 在 (??, ??) 上为增函数， ∵?3 ? ?3.1 ，∴ a 即 f (lg
?3

? a ?3.1 .

1 ) ? f (?2.1) . 100
x

当 0 ? a ? 1 时， y ? a 在 (??, ??) 上为减函数， ∵?3 ? ?3.1 ，∴ a 即 f (lg
?3

? a ?3.1 .
……………………………………… 8 分

1 ) ? f (?2.1) . 100
lg a ?1

⑶由 f (lg a) ? 100 知， a 所以， lg a
lg a ?1

? 100 .

? 2 （或 lg a ?1 ? loga 100 ）.

∴ (lg a ? 1) ? lg a ? 2 . ∴ lg a ? lg a ? 2 ? 0 ，
2

……………………………………… 10 分

∴ lg a ? ?1 或 lg a ? 2 ， 所以， a ?

1 或 a ? 100 . 10

……………………………………… 12 分

说明：第⑵ 问中只有正确结论，无比较过程扣2分. 18．解：（1） f ( x) ? A ， g ( x) ? A . ……………………………………… 2 分

对于 f ( x) ? A 的证明. 任意 x1 , x2 ? R 且 x1 ? x2 ，

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x x 2 ? x2 2 x ?x x 2 ? 2 x1 x2 ? x2 2 ? f( 1 2)? 1 ? ( 1 2 )2 ? 1 2 2 2 2 4 1 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 0 4
即

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x ? f ( 1 2 ) . ∴ f ( x) ? A …………………………… 3 分 2 2

对于 g ( x) ? A ，举反例：当 x1 ? 1 ， x2 ? 2 时，

g ( x1 ) ? g ( x2 ) 1 1 ? (log 2 1 ? log 2 2) ? ， 2 2 2 x1 ? x2 1? 2 3 1 g( ) ? log 2 ? log 2 ? log 2 2 ? ， 2 2 2 2 g ( x1 ) ? g ( x2 ) x ?x ? g ( 1 2 ) . ∴g ( x) ? A . ……………………… 4 分 不满足 2 2

2 1 ?2? ⑵ 函数 f ( x) ? ? ? ，当 x ? (0, ??) 时，值域为 (0,1) 且 f (1) ? ? .…… 6 分 3 2 ?3?
任取 x1 , x2 ? (0, ??) 且 x1 ? x2 ，则
x1 ? x2 x x ? ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) x1 ? x2 1 ?? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ?2? 2 ? ? f( ) ? ? ? ? ? ? ? 2?? ? ? 2 2 2 ?? 3 ? ? 3 ? ?3? ? ? x1 2 x1 ?? ? 1 ? ?? 2 ? 2 ? 2 ? ?2 ? ? ? ? ? 2?? ? 2 ? ?? 3 ? ? ?3? ? ?? x2 x2 ? ? 2 2 2 ? ? ? ?2 ? ? ? ? ?? ? ? ?? 3 ? ? ?3? ? ? 2 x1 x2 2 ? ? ? ? 1 ?? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0 ? 2 3 ? ? ?3? ? ? ? ?

x

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x ?2? ? f ( 1 2 ) . ∴ f ( x) ? ? ? ? A . 即 2 2 ?3?

x

………………… 8 分

x 说明：本题中 f ( x) 构造类型 f ( x) ? a ( ? a ? 1) 或 f ( x) ?

1 2

k (k ? 1) 为常见. x?k

15、已知集合 A ? ? 1,2,3, m?，集合 B ? 4,7, a 4 , a 2 ? 3a ，其中

?

?

m ? N * , a ? N * , x ? A, y ? B. f : x ? y ? 3x ? 1 是从集合 A 到集合 B 的函数，求
m, a, A, B

16、 已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? 3 ， 当 x ? [?2,2] 时， f ( x) ? a 恒成立， 求 a 的最小值．

17、已知函数 f ( x) ? 2 x?1 ，将函数 y ? f １个单位，就得到 y ? g ( x) 的图象． (1)写出 y ? g ( x) 的解析式； (2)求 F ( x) ? g ( x 2 ) ? f
?1

?1

( x) 的图象向左平移２个单位，再向上平移

( x) 的最小值.

18、一片森林面积为 a ，计划每年砍伐一批木材，每年砍伐面积的百分比相等，则砍伐 到面积的一半时，所用时间是 T 年．为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的

1 2 ．已知到今年为止，森林剩余面积为原来的 ． 4 2
(1)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (2)今后最多还能砍伐多少年？

15、由对应法则，1 对应 4，2 对应 7，3 对应 10， m 对应 3m ? 1 ．

? m ? N * , a ? N * ,? a 4 ? 10, a 2 ? 3a ? 10, a ? 2 （ a ? ?5 舍去）

又 3m ? 1 ? 2 4 , ? m ? 5, 故 A ? ? 1,2,3,5?, B ? ?4,7,10,16? . 16、设 f ( x) 在 [?2,2] 上的最小值为 g (a ) ，则满足 g (a) ? a 的 a 的最小值即为所求． 配方得 f ( x) ? ( x ?

a 2 a2 ) ?3? (| x |? 2) 2 4
a ?2 2
时 ，

(1)

当

?2? ?

g (a) ? 3 ?

a2 4

，

由

3?

a2 ?a 4

解

得

? 6 ? a ? 2, ? ?4 ? a ? 2 ；
（2）当 ?

a ? 2 时 g (a) ? f (2) ? 7 ? 2a, 由 7 ? 2a ? a 得 a ? ?7 ? ?7 ? a ? ?4 2 a 7 (3) 当 ? ? ?2 时， g (a) ? f (?2) ? 7 ? 2a, 由 7 ? 2a ? a 得 a ? ，这与 a ? 4 矛 3 2
综上讨论，得 ? 7 ? a ? 2

盾，此种情形不存在． 17 、 (1) f
?1

? amin ? ?7

( x) ? log2 x ? 1 ， 向 左 平 移 ２ 个 单 位 ， 向 上 平 移 １ 个 单 位 ， 得 到

y ? 1 ? log2 ( x ? 2) ? 1 ，? y ? log2 ( x ? 2) ，即 g ( x) ? log2 ( x ? 2)(x ? ?2) ．
(2) F ( x) ? log2 ( x ? 2) ? (log2 x ? 1) ? log2
2

x2 ? 2 2 5 ? 1 ? log2 2 x ? ? 1 ? x x 2

当且仅当 x ?

2 5 即 x ? 2 ( x ? 0) 时， F ( x ) min ? x 2

18、设每年降低的百分比为 x （ 0 ? x ? 1 ） (1)设经过 M 年剩余面积为原来的

1 1 2 T ．则 a (1 ? x) ? a ? T lg(1 ? x) ? lg . 2 2 2

又 a(1 ? x)

M

?

2 2 T 1 T ．? a ? M lg(1 ? x) ? lg ? log 2 ? 2 ? M ? 2 2 M 2 2 2
T 年． 2

? 到今年为止，已砍伐了

(2)设从今年开始，以后砍了 N 年，则再砍伐 N 年后剩余面积为

2 a(1 ? x) N ． 2

由题意，有

2 1 2 1 a(1 ? x) N ? a, 即 (1 ? x) N ? 2 4 2 4

1 1 2 1 T 1 由(1)知 (1 ? x) ? ? 1 ? x ? ( ) T ．? ?( ) ? ． 2 2 2 2 4
T

1

N

化为 ( ) T ?

1 2

N

N 3 3 1 ? ( )2 ? ? ? N ? T T 2 2 2 2 2

1

3

故今后最多还能砍伐

3 T 年． 2

17、（本小题满分 12 分）如下图(2),建造一个容积为 16m ，深为 2 m ，宽为 2 m 的长方体 无盖水池，如果池底的造价为 120元/m ，池壁的造价为 80元/m ，求水池的总造价。 解：分别设长、宽、高为 am, bm, hm ；水池 的总造价为 y 元
2 2

3

2m

V ? abh ? 16, h ? 2, b ? 2 ，
? a ? 4m —————————————3 分

2m

则有 S底 ? 4 ? 2 ? 8m ————————6 分
2

图（2）

S壁 ? 2 ? ? 2 ? 4? ? 2 ? 24m2 —————9 分

y ? S底 ?120 ? S壁 ? 80 ? 120 ? 8 ? 80 ? 24 ? 2880 （元）———————12 分
18、（本小题满分 12 分）如下图(3)，在四棱锥 P ? ABCD 中，四边形 ABCD 是平行四边 形， M , N 分别是 AB, PC 的中点，求证： MN//?平面PAD 。 P 证明：如图，取 PD 中点为 E ，连接 AE, EN ———1 分

E
D

N C

E , N 分别是 PD, PC 的中点
? EN // 1 DC 2
———————————————4 分

M 是 AB 的中点 ? A M//
A M B

1 D C ——————7 分 2
—9 分

? EN // AM
? AE//MN

? 四边形 AMNE 为平行四边形

图(3)
又

———————————————11 分

AE ? 面APD

M N? 面 A P D ? M N //?平面 P A D 。 ————————12 分

19、（本小题满分 12 分）如下图（4），在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中，

D A B E

C

（1）画出二面角 A ? B1C ? C1 的平面角； 证：面 BB1DD1 ? 面 AB1C

（2）求

解：（1）如图，取 B1C 的中点 E ,连接 AE, EC1 。

D1

C1 B1

AC, AB1 , B1C 分别为正方形的对角线 ? AC ? AB1 ? B1C
E 是 B1C 的中点

A1

图 （4）
分 又

? AE ? B1C

——————2

在正方形 BB1C1C 中

? EC1 ? B1C ——————————3 分

? ?AEC1 为二面角 A ? B1C ? C1 的平面角。 ———————————4 分
（2） 证明： 又

D1D ? 面ABCD ， AC ? 面ABCD
? AC ? BD

? D1 D? A C ——6 分

在正方形 ABCD 中

—————————————8 分 ————————————10 分 ———————————12 分

D1D BD ? D
又

? AC ? 面DD1B1B

AC ? 面AB1C

? 面 BB1DD1 ? 面 AB1C

21、（本小题满分 12 分）已知三角形 ABC 的三个顶点是 A? 4,0? , B ? 6,7 ? , C ? 0,8? （1） 求 BC 边上的高所在直线的方程； （2） 求 BC 边上的中线所在直线的方程解： （1） y 如图，作直线 AD ? BC ，垂足为点 D 。

? 0,8? C

E ? x0 , yD 0?

k BC ?

7 ?8 1 ?? 6?0 6

—————2 分

B ? 6,7?

BC ? AD
x

? k AD ? ?

1 ?6 4分 k BC

0

A? 4,0?

由直线的点斜式方程可知直线 AD 的方程为：

y ? 0 ? 6 ? x ? 4? 化简得：
（2）如图，取 BC 的中点 E ? x0 , y0 ? ，连接 AE 。

y ? 6x ? 2 4 6 分

0?6 ? x0 ? ?3 ? ? ? 15 ? 2 由中点坐标公式得 ? ，即点 E ? 3, ? ? 2? ? y ? 8 ? 7 ? 15 0 ? ? 2 2

———————9 分

15 ?0 y?0 2 由直线的两点式方程可知直线 AE 的方程为： ——————11 分 ? x ? 4 3?0 5 化简得： y ? x ? 10 ——————————————————————12 分 2
22、（本小题满分 14 分）如下图（5），在三棱锥 A ? BCD 中， O, E 分别是 BD, BC 的中 点， CA ? CB ? CD ? BD ? 2 , AB ? AD ? （1） 求证： AO ? 平面 BCD ； （3） 求点 E 到平面 ACD 的距离。 A （1）证明：连接 OC

2。

（2） 求异面直线 AB 与 BC 所成角的余弦值；

BO ? DO, AB ? AD

? AO ? BD
D

————————1 分

BO ? DO, BC ? CD
C

O
B

? CO ? BD

———————2 分 而

E

图（5）

在 AOC 中，由已知可得 AO ? 1, CO ? 3 ，

AC ? 2,? AO2 ? CO2 ? AC 2
O ? O C ??AOC ? 90 ， 即A
—————5 分 （2）解：取 AC 的中点 M ，连接 OM , ME, OE A 由 E 为 BC 的中点知 ————4 分

BD OC ? O ? AO ? 平面BCD

M D

ME//AB, OE//DC

? 直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与 CD
所成的角。 C ——————6 分 在 OME 中, EM ? 1 AB ? 2 ， OE ? 1 DC ? 1 2 2 2 OM 是 Rt AOC 斜边 AC 上的中线

O
B

E 图（5）

? OM ?

1 AC ? 1 —————————8 分 2

? cos ?OEM ?

2 4

———————————————————10 分

（3）解：设点 E 到平面 ACD 的距离为 h 。

VE ? ACD ? VA?CDE

——————12 分? h ? S

1 3

ACD

1 ? ? AO ? S 3

CDE

在 ACD 中， CA ? CD ? 2, AD ? 2

?S

ACD

? 2? 1 7 ? ? 2 ? 22 ? ? ? ? ? 2 ? 2 2 ? ?

2

而 AO ? 1, S

CDE

1 3 2 3 ? ? ?2 ? 2 4 2

?h ?

AO ? S CDE 21 ? S ACD 7

? 点 E 到平面的距离为

21 ————————14 分 7

18、（10 分）已知点 A（-4，-5），B（6，-1），求以线段 AB 为直径的圆的方程。

19、（10 分）已知三角形 ABC 的顶点坐标为 A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M 是 BC 边上的中点。（1）求 AB 边所在的直线方程；（2）求中线 AM 的长。 20、（15 分）如图，在边长为 a 的菱形 ABCD 中， ?ABC ? 60? , PC ? 面ABCD ， E,F 是 PA 和 AB 的中点。 （1）求证： EF||平面 PBC ; （2）求 E 到平面 PBC 的距离。 E P

D A

C

F

B

21、（15 分）已知关于 x,y 的方程 C: x ? y ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 .
2 2

（1）当 m 为何值时，方程 C 表示圆。 （2）若圆 C 与直线 l:x+2y-4=0 相交于 M,N 两点，且 MN=

4 5

,求 m 的值。

22 、 （ 15 分 ） 如 图 ， 在 底 面 是 直 角 梯 形 的 四 棱 锥 S-ABCD 中 ，

1 ?ABC ? 90 , SA ? 面ABCD，SA ? AB ? BC ? 1, AD ? . 2
?

(1)求四棱锥 S-ABCD 的体积; (2)求证： 面SAB

? 面SBC;

S

(3)求 SC 与底面 ABCD 所成角的正切值。

B

C

A

D

18、解：所求圆的方程为： ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ??????2 由中点坐标公式得线段 AB 的中点坐标为 C（1，-3）??5

r ? AC ? (1 ? 4) 2 ? (?3 ? 5) 2 ? 29 ????????7
故所求圆的方程为： ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 29??????10
2 2

19、解：（1）由两点式写方程得 即 或

y ?5 x ?1 ? ，????????2 ?1? 5 ? 2 ?1

6x-y+11=0????????????????????3

直线 AB 的斜率为

k?

?1? 5 ?6 ? ? 6 ???????????1 ? 2 ? (?1) ? 1

直线 AB 的方程为 即

y ? 5 ? 6( x ? 1) ???????????????3

6x-y+11=0?????????????????????????5

（2）设 M 的坐标为（ x0 , y0 ），则由中点坐标公式得

x0 ?

?2?4 ?1? 3 ? 1, y 0 ? ?1 2 2

故 M（1，1）?????????8

AM ? (1 ? 1) 2 ? (1 ? 5) 2 ? 2 5 ????????????????10
20、（1）证明：

? AE ? PE, AF ? BF , ????????????????1 ? EF || PB

又 EF ? 平面PBC, PB ? 平面PBC,

故 EF || 平面PBC ??????????????????5 （2）解：在面 ABCD 内作过 F 作 FH ? BC于H ?????????????6

? PC ? 面ABCD, PC ? 面PBC
? 面PBC ? 面ABCD ?????????????????8
又 面PBC ? 面ABCD ? BC ， FH ? BC ， FH ? 面ABCD

? FH ? 面ABCD
又 EF || 平面PBC ，故点 E 到平面 PBC 的距离等于点 F 到平面 PBC 的距离 FH。 ???????????????????10 在直角三角形 FBH 中， ?FBC ? 60 , FB ?
?

a ， 2

FH ? FB sin ?F B C ?

a a 3 3 ? sin 600 ? ? ? a ?????12 2 2 2 4

故点 E 到平面 PBC 的距离等于点 F 到平面 PBC 的距离， 等于

3 a 。????????????????????????15 4

21、解：（1）方程 C 可化为 显然

( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5 ? m ??????2

5 ? m ? 0时,即m ? 5 时方程 C 表示圆。??????5

（2）圆的方程化为

( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5 ? m r ? 5 ? m ????????????8

圆心 C（1，2），半径

则圆心 C（1，2）到直线 l:x+2y-4=0 的距离为

d?

1? 2? 2 ? 4 1 ?2
2 2

?

1 5

??????????????????10

? MN ?

4

1 1 2 2 2 2 , 则 MN ? ，有 r ? d ? ( MN ) 2 2 5 5

?5 ? M ? (

1 5

)2 ? (

2 5

)2 ,得

m ? 4 ??????????15

22、（1）解：

1 1 1 Sh ? ? ? ( AD ? BC ) ? AB ? SA 3 3 2 1 1 1 ? ? ( ? 1) ? 1 ? 1 ? 6 2 4 ??????5 （2）证明： ? SA ? 面ABCD，BC ? 面ABCD, v?

? SA ? BC
??????????????6 又? AB ? BC，SA ? AB ? A,

? BC ? 面SAB

? BC ? 面SAB

????????????8 ??????????10

?面SAB ? 面SBC

（3）解：连结 AC,则 ?SCA就是 SC 与底面 ABCD 所成的角。 在三角形 SCA 中，SA=1,AC=

1 ?1 ? 2,
2 2

???15

tan ?SCA ?

SA 1 2 ? ? AC 2 2