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10.4 直线与圆锥曲线的位置关系


10.4 直线与圆锥曲线的位置关系
【知识梳理】
一.直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时,通常将直线 l 的方程 Ax+By+C=0(A、B 不 同时为 0)代入圆锥曲线 C 的方程 F(x,y)=0,消去 y(也可以消去 x)得到一个关于变量 x(或 变量 y)的一元方程.
? ?Ax+By+C=0, 即? 消去 y 后得 ax2+bx+c=0. ?F?x,y?=0, ?

1.当 a≠0 时,设一元二次方程 ax2+bx+c=0 的判别式为 Δ,则 Δ>0?直线与圆锥曲线 C① Δ=0?直线与圆锥曲线 C② Δ<0?直线与圆锥曲线 C③ ; ; .

2.当 a=0,b≠0 时,即得到一个一次方程,则直线 l 与圆锥曲线 C 相交,且只有一个交点, 此时,若 C 为双曲线,则直线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是④ 则直线 l 与抛物线的对称轴的位置关系是⑤ 二.圆锥曲线的弦长 1.圆锥曲线的弦长 直线与圆锥曲线相交有两个交点时, 这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的 弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段),线段的长就是弦长. 2.圆锥曲线的弦长的计算 设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A,B 两点,A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|= ⑥ =⑦ =⑧ . (抛物线的焦点弦长|AB|=x1+x2+p= . ;若 C 为抛物线,

2p ,θ 为弦 AB 所在直线的倾斜角). sin2θ 3. 圆锥曲线的中点弦问题 ( 1 )椭圆的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解 . 在椭圆

x2 y2 ? ? 1 中,以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率⑨ a2 b2

.

(2)双曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在双曲线

x2 y 2 ? ? 1 中,以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率⑩ a 2 b2
2

. .

(3)在抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 中,以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 ? 答案:①相交②相切③无公共点④平行⑤平行⑥ ?x2-x1?2+?y2-y1?2⑦ 1+k2|x1-x2|



b x b x0 p 1 1+ 2· |y -y |⑨ .⑩k= 2 0 .? k ? . k 1 2 k ? ? a2 y y0 a y0 0

2

2

【课前自测】
x2 y2 1.(人教 A 版教材习题改编)直线 y=kx-k+1 与椭圆 + =1 的位置关系为( 9 4 A.相交 C.相离 答案: A 提示: 直线 y=kx-k+1=k(x-1)+1 恒过定点(1,1), 而点(1,1)在椭圆内部, 故直线与椭圆相 交. 2. 过点(0,1)作直线,使它与抛物线 y2=4x 仅有一个公共点,这样的直线有( ). A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 答案: C 提示:与抛物线相切有 2 条,与对称轴平 行有 1 条,共 3 条. x2 3. 已知斜率为 1 的直线过椭圆 +y2=1 的右焦点交椭圆于 A,B 两点,则弦 AB 的长为 4 ( ) . A. B.相切 D.不确定 ).

4 5

B.

4 3 5

C.

8 3 5

8 D. 5

答案: D 提示: 右焦点( 3,0),直线 AB 的方程为 y=x- 3,

? ?y=x- 3, 由?x2 2 ? ? 4 +y =1,

得 5x2-8 3x+8=0.

8 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=,x1x2= , 5 8 8 ? 8 3?2 |AB|= (1+k2)?? ??5 ? -4×5?=5. 4. 【2013 年浙江高考】设 F 为抛物线 C : y ? 4 x 的焦点,过点 P(?1,0) 的直线 l 交抛物线
2

C 于两点 A, B ,点 Q 为线段 AB 的中点,若 | FQ |? 2 ,则直线的斜率等于________.
答案: ?1 提示:

5. 【 安 徽 省 江 淮 名 校 2013 届 高 考 最 后 一 卷 】 已 知 抛 物 线 y ? x2 ? 2 与 双 曲 线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线没有公共点,则双曲线离心率的范围 a 2 b2
答案: (1,3)

.

? y ? x2 ? 2 b ? 2 提示: ? b 联立,消去 y 得 x ? x ? 2 ? 0 ,由题意,此方程无解,故而 ? ? 0 ,即 a ? y? x a ?

b2 ? 8a2 ,?c2 ? a2 ? 8a2 ,?e2 ? 9, 解得 e ? (1,3) .
【课标示例题】 【例 1】直线与圆锥曲线的位置关系 【成都龙泉驿区 2013 届 5 月高三数学押题试卷】已知抛物线 C 的方程为 x =
2

1 y ,过点 2


A(0,-1)和点 B( t ,3)的直线与抛物线 C 没有公共点,则实数 t 的取值范围是( A.(-∞,- 1)∪(1,+∞) C.(-∞,-2 2)∪(2 2,+∞) B.(-∞,- 2 2 )∪( ,+∞) 2 2

D.(-∞,- 2)∪( 2,+∞)

4 ? y ? x ?1 ? 4 ? t 解析:据已知可得直线 AB 的方程为 y = x -1,联立直线与抛物线方程,得 ? , t 1 2 ?x ? y ? ? 2
消元整理,得 2 x -
2

4 4 x +1=0,由于 直线与抛物线无公共点,即方程 2 x 2 - x +1=0 无 t t

解,故有 ( ? ) -8<0,解得 t > 2 或 t <- 2 .故应选 D.
2

4 t

【举一反三】1.若直线 mx+ny=4 与⊙O:x2+y2=4 没有交点,则过点 P(m,n)的直线与椭 x2 y2 圆 + =1 的交点个数是( 9 4 A.至多为 1 )

B.2 C.1 D.0 4 >2,即 m2+n2<2, m +n2
2

答案与提示:由题意知:

x2 y2 ∴点 P(m,n)在椭圆 + =1 的内部,故所求交点个数是 2 个. 9 4 【例 2】弦长及中点弦问题

【2013 年新课标Ⅱ高考】平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 右焦 a 2 b2
1 . 2

点的直线 x ? y ? 3=0 交 M 于 A,B 两点,P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 (Ι )求 M 的方程;

(Ⅱ)C,D 为 M 上的两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB,求四边形面积的最大值.

【举一反三】2.

答案与提示:

【例 3】 圆锥曲线中的最值(或取值范围)问题

【 2013 年 广 东 高 考 】 已 知 抛 物 线 C 的 顶 点 为 原 点 , 其 焦 点 F ? 0, c?? c? 0 ? 到直线

l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为
PA, PB ,其中 A, B 为切点.

3 2 . 设 P 为直线 l 上的点 , 过点 P 作抛物线 C 的两条切线 2

(Ⅰ) 求抛物线 C 的方程; (Ⅱ) 当点 P ? x0 , y0 ? 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (Ⅲ) 当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值. 解析: (Ⅰ) 依题意,设抛物线 C 的方程为 x 2 ? 4cy ,由 解得 c ? 1 . 所以抛物线 C 的方程为 x ? 4 y .
2

0?c?2 2

?

3 2 结合 c ? 0 , 2

(Ⅱ) 抛物线 C 的方程为 x2 ? 4 y ,即 y ? 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ( 其 中 y1 ?

1 2 1 x ,求导得 y? ? x . 4 2

x12 x2 , y2 ? 2 ), 则 切 线 P A , P B的 斜 率 分 别 为 4 4

1 1 x1 , x2 , 2 2

x1 x12 x1 ? x ? x1 ? ,即 y ? x ? ? y1 ,即 x1x ? 2 y ? 2 y1 ? 0 2 2 2 同理可得切线 PB 的方程为 x2 x ? 2 y ? 2 y2 ? 0 .
所以切线 PA 的方程为 y ? y1 ? 因为切线 PA, PB 均过点 P ? x0 , y0 ? ,所以 x1x0 ? 2 y0 ? 2 y1 ? 0 , x2 x0 ? 2 y0 ? 2 y2 ? 0 所以 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? 为方程 x0 x ? 2 y0 ? 2 y ? 0 的两组解. 所以直线 AB 的方程为 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 . (Ⅲ) 由抛物线定义可知 AF ? y1 ? 1 , BF ? y2 ? 1 , 所以 AF ? BF ? ? y1 ? 1?? y2 ? 1? ? y1 y2 ? ? y1 ? y2 ? ? 1 . 联立方程 ?

? x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 ?x ? 4 y
2

2 2 2 ,消去 x 整理得 y ? 2 y0 ? x0 y ? y0 ? 0

?

?

由一元二次方程根与系数的关系可得 y1 ? y2 ? x02 ? 2 y0 , y1 y2 ? y02 . 所以 AF ? BF ? y1 y2 ? ? y1 ? y2 ? ? 1 ? y0 ? x0 ? 2 y0 ? 1 .
2 2

又点 P ? x0 , y0 ? 在直线 l 上,所以 x0 ? y0 ? 2 . 所以 y0 2 ? x0 2 ? 2 y0 ? 1 ? 2 y0 2 ? 2 y0 ? 5 ? 2 ? y0 ? 所以当 y0 ? ? 【举一反三】

? ?

1? 9 ? ? . 2? 2

2

1 9 时, AF ? BF 取得最小值,且最小值为 . 2 2

x2 y 2 3.【2013 年长春市高中毕业班第四次调研测试】已知 F 1 、 F2 是椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0) a b

的左、右焦点,且离心率 e ? 值为 4? .
3

1 ,点 P 为椭圆上的一个动点, ?PF 1F 2 的内切圆面积的最大 2

(1) 求椭圆的方程;

? ???? ???? ???? ???? (2) 若 A, B, C , D 是椭圆上不重合的四个点,满足向量 F1 A 与 FC 共线, F1B 与 F 共线,且 1D 1 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AC ? BD ? 0 ,求 | AC | ? | BD | 的取值范围.
答案与提示: (1)由几何性质可知:当 ?PF 1F 2 内切圆面积取最大值时, 即 S?PF1F2 取最大值,且 ( S ?PF1F2 ) max 由? r ?
2

1 ? 2c ? b ? bc . 2

4 2 3 ? 得r ? 3 3
r C?PF1F2 , 2

又 C?PF1F2 ? 2a ? 2c 为定值, S ?PF1F2 ? 综上得

bc 2 3 ; ? 2a ? 2c 3 c 1 又由 e ? ? ,可得 a ? 2c ,即 b ? 3c , a 2 经计算得 c ? 2 , b ? 2 3 , a ? 4 , x2 y 2 ? ? 1. 故椭圆方程为 16 12 ??? ? ??? ? (2) ①当直线 AC 与 BD 中有一条直线垂直于 x 轴时, | AC | ? | BD |? 6 ? 8 ? 14 . ②当直线 AC 斜率存在但不为 0 时,设 AC 的方程为: y ? k ( x ? 2) ,由 ? y ? k ( x ? 2) ? 2 消去 y 可得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 48 ? 0 ,代入弦长公式得: ?x y2 ?1 ? ? ?16 12 ???? 24(k 2 ? 1) | AC |? , 3 ? 4k 2 1 ? y ? ? ( x ? 2) ? 1 2 1 1 ? k 同理由 ? 2 消去 y 可得 (3 ? 4 2 ) x ? 16 2 x ? 16 2 ? 48 ? 0 , 2 k k k ?x ? y ?1 ? ?16 12 ??? ? 24(k 2 ? 1) 代入弦长公式得: | BD |? , 3k 2 ? 4 ???? ??? ? 168(k 2 ? 1) 2 168 所以 | AC | ? | BD |? ? 2 2 1 (3 ? 4k )(4 ? 3k ) 12 ? 1 ? 2 2 k ? 1 (k ? 1) 2 ???? ??? ? 96 1 49 ? t ? (0,1) ,则 ?t 2 ? t ? 12 ? (12, ] ,所以 | AC | ? | BD |? [ ,14) , 令 2 k ?1 4 7

由①②可知, | AC | ? | BD | 的取值范围是 [

??? ?

??? ?

96 ,14] . 7

【例 4】圆锥曲线中的定值(定点)问题 【 湖 北 省 黄 冈 市 黄 冈 中 学 2013 届 高 三 下 学 期 6 月 适 应 性 考 试 】 已 知 抛 物 线

C1 : y2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 以及椭圆 C2 :
右顶点均在圆 O : x2 ? y 2 ? 1 上. (1)求抛物线 C1 和椭圆 C2 的标准方程;

y 2 x2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的上、下焦点及左、 a 2 b2

( 2 ) 过 点 F 的 直 线 交 抛 物 线 C1 于 A, B 两 不 同 点 , 交 y 轴 于 点 N , 已 知

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? NA ? ?1 AF , NB ? ?2 BF ,则 ?1 ? ?2 是否为定值?若是,求出其值;若不是,说明理
由. 解析: (1) 由抛物线 C1 : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F (

p p2 , 0) 在圆 O : x2 ? y 2 ? 1 上得: ? 1 , 2 4

? p ? 2 ,∴抛物线 C1 : y 2 ? 4x
同 理 由 椭 圆 C2 :

y 2 x2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的 上 、 下 焦 点 (0, c), (0, ?c) 及 左 、 右 顶 点 a 2 b2

(?b, 0), (b, 0) 均 在 圆 O : x2 ? y 2 ? 1 上 可 解 得 : b ? c ? 1 , ?a ? 2. 得 椭 圆

C2 : x 2 ?

y2 ?1 . 2

(2) ?1 ? ?2 是定值,且定值为-1. 设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ?1), A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 N (0, ?k ) .

? y2 ? 4x 联立方程组 ? ,消去 y 得: k 2 x2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0, ? y ? k ( x ? 1)

? 2k 2 ? 4 ?x ? x ? ?? ? 16k 2 ? 16 ? 0, 且 ? 1 2 k2 ?x x ? 1 ? 1 2
由 NA ? ?1 AF , NB ? ?2 BF 得: ?1 (1 ? x1 ) ? x1 , ?2 (1 ? x2 ) ? x2 , 整理得: ?1 ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

x1 x , ?2 ? 2 1 ? x1 1 ? x2

2k 2 ? 4 ?2 x ? x ? 2 x1 x2 k2 ? ?1 ? ?2 ? 1 2 ? ? ?1 . 2k 2 ? 4 1 ? ( x1 ? x2 ) ? x1 x2 1? ?1 k2
【举一反三】 4.【2013 年安徽省马鞍山市高中毕业班第二次教学质量检测】 1 已知抛物线 C1:y = x 2 - 1 的顶点为 P, 6 两条互相垂直的直线恒与 C1 相切,切点分别为 M,N 两点. (Ⅰ)若 3OG = OP + OM + ON ,求 G 点的轨迹 C2 的方程; (Ⅱ) 若直线 L:mx - 2 y + 1 = 0 与 C1 相交于 A,B 两点, 与 C2 相 交于 C,D 两点, 设 DPAB , D PCD 的面积分别是 S1 , S 2 ,求证:不 论实数 m 取何值,
S1 为定值,并求出这个定值. S2

y

uuu r

uu u r

uuur

uuu r

M

O

x
N

P

答案与提示: 1 1 (Ⅰ)由 y = x 2 - 1 得 y ?= x 6 3 m2 n2 设 M (m, - 1) , N (n, - 1) , 6 6 1 1 由 LPM ^ LPN 得 m ? n - 1 ? mn - 9 3 3 uuu r uu u r uuur uuu r 再设 G ( x, y ) ,由 P (0, - 1) 及 3OG = OP + OM + ON ì 3x = m + n ? ? 2 2 ? ? í m2 + n2 - 18 ? 18 y (m + n) - 2mn - 18 = 9 x ? 3y = ? ? 6 ? ? 故 G 点的轨迹 C2 的方程为 x 2 = 2 y
ì ? ? y = 1 x2 - 1 S1 | AB | = ,由 ? ? x 2 3mx - 9 = 0 6 í ? S 2 | CD | ? ? ? mx - 2 y + 1 = 0 2 ì ? x1 + x2 = 3m m 记 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,∴ ? ? | AB | 3 1 + ? m2 í ? x ? x 9 4 ? ? 1 2 ì ? 2 y = x2 ? x 2 mx - 1 = 0 记 C ( x3 , y3 ) , D( x4 , y4 ) , ? í ? mx y + 1 = 0 ? ?

(Ⅱ)显然

4=

3 2 (m + 4) 2

ì ? x3 + x4 = m ∴? ? | CD | í ? ? ? x1 ?x2 - 1

1+

m ? m2 4

2

4=

1 2 (m + 4) 2



S1 = S2

3 1+

m2 ? m2 4 4 = 3 为常数 m2 2 1+ ? m 4 4

∴命题成立,这个常数为 3. 【课标创新题】 【2013 年江西高考】

【举一反三】 5. 【江西省南昌市 2013 届二模考试】 已知椭圆 C:

3 x2 y2 ? 2 ? 1 的离心率等于 , 点 P 2, 3 2 2 a b

?

?

在椭圆上. ?求椭圆 C 的方程; ?设椭圆 C 的左右顶点分别为 A,B,过点 Q(2,0) 的动直线 l 与椭圆 C 相交于 M,N 两点,是 否存在定直线 l : x ? t ,使得 l 与 AN 的交点 G 总在直线 BM 上?若存在,求出一个满足条 件的 t 值;若不存在,说明理由. 答案与提示:
' '

3 c2 3 ? 2 ? ? a 2 ? 4b 2 , (1)由 e ? 2 a 4

又点 P(2, 3) 在椭圆上, 所以椭圆方程是:

4 3 ? 2 ? 1 ? b2 ? 4 , 2 4b b

x2 y 2 ? ? 1; 16 4 y ? 3 ?

(2)当 l 垂直 x 轴时, M (2, 3), N (2, ? 3) ,则 AN 的方程是:

x?4 , 6

y x?4 ? ,交点 G 的坐标是: (8, ?2 3) ,猜测:存在常数 t ? 8 , ?2 3 即直线 l ' 的方程是: x ? 8 使得 l ' 与 AN 的交点 G 总在直线 BM 上, 证明:设 l 的方程是 y ? k ( x ? 2) ,点 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) , G(8, yG )
BM 的方程是:
将 l 的方程代入椭圆 C 的方程得到: x2 ? 4k 2 ( x ? 2)2 ? 16 , 即: (1 ? 4k 2 ) x2 ?16k 2 x ? 16k 2 ?16 ? 0 ,

16k 2 16k 2 ? 16 , x x ? , 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ???? ???? 因为: AG ? (12, yG ) , AN ? ( x2 ? 4, y2 ) A, N , G 共线 12 y2 所以: 12 y2 ? ( x2 ? 4) yG , yG ? , x2 ? 4 ??? ? ???? ? 又 BG ? (4, yG ) , BM ? ( x1 ? 4, y1 ) 12 y2 要证明 B, M , G 共线,即要证明 4 y1 ? ( x1 ? 4) , x2 ? 4 即证明: k ( x1 ? 2)( x2 ? 4) ? 3k ( x2 ? 2)( x1 ? 4) ,
从而: x1 ? x2 ? 即: x1 x2 ? 2x2 ? 4x1 ? 8 ? 3x1 x2 ? 6x1 ?12x2 ? 24 , 即: x1 x2 ? 5( x1 ? x2 ) ? 16 ? 0 因为: x1 x2 ? 5( x1 ? x2 ) ? 16 ?

16k 2 ? 16 80k 2 ? ? 16 ? 0 成立, 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

所以点 G 在直线 BM 上. 综上:存在定直线 l ' : x ? 8 ,使得 l ' 与 AN 的交点 G 总在直线 BM 上, t 的值是 8 . 【课标自测题】 一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) x2 y2 1. 已知任意 k∈R,直线 y-kx-1=0 与椭圆 + =1 恒有公共点,则实数 m 的取值范围 5 m 是( ). A.(0,1) B.(0,5) C.[1,5)∪(5,+∞) D.[1 ,5) 答案: C x2 y2 提示:直线 y=kx+1 过定点(0,1),只要(0,1)在椭圆 + =1 内部即可.从而 m≥1.又因为 5 m x2 y2 椭圆 + =1 中 m≠5,所以 m 的取值范围是[1,5)∪(5,+∞). 5 m 2. 已知直线 x-y-1=0 与抛物线 y=ax2 相切,则 a 等于( ).

答案: C 提示:

x2 y2 3. 已知 A,B,P 是双曲线 2- 2=1 上不同的三点,且 A,B 连线经过坐标原点,若直线 a b 2 PA,PB 的斜率乘积 kPA· kPB= ,则该双曲线的离心率为( ). 3 5 6 15 A. B. C. 2 D. 2 2 3 答案: D 提示:设 A(x1,y1),P(x2,y2),根据对称性,B(-x1,-y1), 因为 A,P 在双曲线上, x12 y12 - =1, a2 b2 所以 x22 y22 - =1, a2 b2 b2 2 两式相减,得 kPA· kPB= 2= , a 3

? ? ?

a2+b2 5 15 所以 e = 2 = .故 e= . a 3 3
2

4. 【北京市东城区普通校 2012-2013 学年第二学期联考试卷】 已知椭圆

x2 y2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 . 当 | AB |? 3 ,则 b 的值为( 2 3 a b
C. 3 D. 4



A.1 B. 2 答案:A 提示:∵ ? e?

c 2

6 2 ,? a 2 ? 3b 2 , c 2 ? a 2 ? 2b 2 . 椭圆的方程可化为: x 2 ? 3 y 2 ? 3b 2 3 3
2 2

①,

4 x ? 6 2bx ? 3b ? 0 易知右焦点 F ( 2b,0) , 据题意有 AB: ②有: y ? x ? 2b ②,由①,
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), x1 ? x2 ?

3 2 3b2 , x1 x2 ? , 2 4
72b 2 ? 48b 2 24b 2 ? 2 ? ? 3b ? 3 42 42

| AB |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? (1 ? 12 )

? b ? 1.

5. 已知抛物线 x2=4y,过点 A(0,1)任意作一条直线 l 交抛物线 C 于 M,N 两点,O 为坐标 → → 原点.则OM·ON的值为( ) A.-2 B. -3 C. 2 D.3

答案:B 提示:依题意直线 l 的斜率存在,设直线 l 方程为 y=kx+1, M(x1,y1),N(x2,y2), ? ?y=kx+1, 联立方程组? 2 消去 y 得 x2-4kx-4=0, ?x =4y, ? 所以 x1+x2=4k,x1x2=-4, y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1=-4k2+4k2+1=1, → → 故OM·ON=x1x2+y1y2=-4+1=-3. 6.已知椭圆

5 x2 y2 ? ? 1 直线 l : y ? kx ? 交椭圆 C 于 A , B 两点,若点 A , B 都在以点 2 12 4 ) M (0,3) 为圆心的圆上,则 k 的值为(

A.

2 2

B. ?

2 2

C.

2 3

D. ?

2 3

答案:D

5 ? y ? kx ? ? ? 2 提示:由 ? 2 ,得 4(1 ? 3k 2 ) x2 ? 60kx ? 27 ? 0 , 2 ?x ? y ?1 ? ? 12 4 3 2 2 2 ∵ ? ? 3600k ?16(1 ? 3k ) ? 27 ? 0 ,∴ k ? , 16 15k 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,∴ x1 ? x2 ? , 1 ? 3k 2 设线段 AB 的中点为 D ,则 x ?x 15k 5 ?5 xD ? 1 2 ? , yD ? kxD ? ? . 2 2 2 ? 6k 2 2 ? 6k 2 ∵点 A , B 都在以点 (0,3) 为圆心的圆上, 5 3? 2 ? 6k 2 ? k ? ?1 , ∴ kMD ? k ? ?1 ,∴ ?15k 2 ? 6k 2 2 2 2 解得 k ? ,符合题意.∴ k ? ? . 9 3
7. 【2013 年大纲全国高考】 已知抛物线 C : y ? 8x 与点 M (?2, 2) , 过 C 的焦点且斜率为 k
2

的直线与 C 交于 A、B 两点,若 MA ? MB ? 0 ,则 k ? (

???? ????



A.

1 2

B.

2 2

C. 2

D.2

答案:D 提示:由题意知抛物线 C 的焦点坐标为(2,0) ,则直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,将其代 入 y ? 8x , 得 kx
2

22

?4 k (

2

? 2 )x 4 ?k

2

0 ?

4(k 2 ? 2) .设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ? , k2

? y1 ? k ( x1 ? 2) ? y ? y ? k ( x ? x ) ? 4k x1 x2 ? 4 .由 ? ?? 1 2 2 1 2 ? y2 ? k ( x2 ? 2) ? y1 y2 ? k ( x1 x2 ? 2( x1 ? x2 )+4) ???? ???? ∵ MA ? MB ? 0 ,∴ ( x1 ? 2, y1 ? 2) ? ( x2 ? 2, y2 ? 2) ? 0 .
即 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4 ? 0 . 整理得: k 2 ? 4k ? 4 ? 0,? k ? 2. 8. 【2013 年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试长春三模】 已知抛物线 y 2 ? 8x 的焦点为 F ,直线 y ? k ( x ? 2) 与此抛物线相交于 P, Q 两点,则 1 1 ) ?( ? | FP | | FQ | 1 A. B. 1 2 C. 2 D. 4 答案:A 提 示 : 设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) , 由 题 意 可 知 , | PF |? x1 ? 2 , | QF |? x2 ? 2 , 则

x1 ? x2 ? 4 1 1 1 1 , ? ? ? ? | FP | | FQ | x1 ? 2 x2 ? 2 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4
联立直线与抛物线方程消去 y 得, k 2 x2 ? (4k 2 ? 8) x ? 4k 2 ? 0 ,可知 x1 x2 ? 4 , 故

x1 ? x2 ? 4 x ?x ?4 1 1 1 ? ? ? 1 2 ? . 故选 A. | FP | | FQ | x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 2( x1 ? x2 ) ? 8 2

x2 y2 9. 【2013 年新课标(I)高考】已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F a b 的直线交椭圆于 A、B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为 ( x2 y2 A 、 + =1 45 36 答案:D x2 y2 B、 + =1 36 27 x2 y2 x2 y2 C、 + =1 D、 + =1 27 18 18 9 )

? x12 y12 ? ?1 ? ? a 2 b2 提示:设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,所以 ? ,运用点差法,所以直线 AB 的斜率为 2 2 x y ? 2 ? 2 ?1 ? ? a 2 b2
k? b2 b2 y ? ( x ? 3) , 联 立 直 线 与 椭 圆 的 方 程 , 设 直 线 方 程 为 a2 a2
6b2 ? 2 ;又因为 a 2 ? b 2 ? 9 ,解得 2 2 a ?b

(a2 ? b2 ) x2 ? 6b2 x ? 9b2 ? a4 ? 0 ,所以 x1 ? x2 ?

b2 ? 9, a2 ? 18 .

10.已知双曲线方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,离心率为 2, F1、F2 分别是它的左、右焦 a 2 b2

点,A 是它的右顶点,过 F 1 作一条斜率为 k (k ? 0) 的直线与双曲线交于两个点 M 、N ,则

?MAN 为(
A.锐角 答案:B

) B.直角
2

C.钝角
2

D.锐角、直角、钝角都有可能

提示:由离心率为 2,可得 c ? 2a , b ? 3a ,则双曲线方程为 3x 2 ? y 2 ? 3a 2 . 设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,因直线 MN 的斜率不为零,则可设其方程为 x ? my ? 2a ,与双曲
2 线方程联立得 (3m2 ?1) y 2 ?12amy ? 9a2 ? 0 ,从而有 3m ? 1 ? 0 , y1 ? y2 ?

12am ,且 3m 2 ? 1

y1 y2 ?

???? ? ???? 9a 2 . 则 AM ?AN ? ( x1 ? a)( x2 ? a) ? y1 y2 ? (my1 ? 3a)(my2 ? 3a) ? y1 y2 3m2 ? 1

9a 2 (m2 ? 1) 36a 2 m2 ? ? 9a 2 ? 0 ,故选 B. 3m2 ? 1 3m2 ? 1 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) y2 x2 11. 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的右顶点为 A(1,0),过其焦点且垂直于长轴的弦长为 1,则 a b 椭圆方程为__________. y2 答案: +x2=1 4 y2 x2 提示:∵椭圆 2+ 2=1 的右顶点为 A(1,0),∴b=1,焦点坐标为(0,c),过焦点且垂直于长 a b c2 2b2 2 y2 2 轴的弦长为 1,即 1=2|x|=2b 1- 2= = ,a=2,则椭圆方程为 +x =1. a a a 4 12. 已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(0,-1),直线 l 与抛物线 C 相交于 A,B ? (m2 ? 1) y1 y2 ? 3am( y1 ? y2 ) ? 9a 2 ?
两点,若 AB 的中点为(2,-2),则直线 l 的方程为________. 答案: x+y=0 提示:由题意知,抛物线的方程为 x2=-4y,设 A(x1,y1),B(x2,y2),且 x1≠x2,联立方程
2 ? ?x1=-4y1, y1-y2 x1+x2 2 得? 2 两式相减得 x2 = =-1, 1-x2=-4(y1-y2),∴ x1-x2 -4 ?x2=-4y2, ?

∴直线 l 的方程为 y+2=-(x-2),即 y=-x. 13. 已知 F 为抛物线 y2=8x 的焦点, 过点 F 且斜率为 1 的直线交抛物线于 A, B 两点, 则||FA| -|FB||的值为 . 答案: 8 2. 提示:依题意知 F(2,0),所以直线的方程为 y=x-2. ?y=x-2, ? 联立方程,得? 2 ?y =8x, ? 2 消去 y,得 x -12x+4=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1x2=4,x1+x2=12, 则||AF|-|BF||=|(x1+2)-(x2+2)| =|x1-x2|= (x1+x2)2-4x1x2
[来源 :学科网 ZXXK]

= 144-16=8 2. 14.【2013 届河北唐山二模改编】已知椭圆 C 1 :

x2 ? y 2 ? 1 和动圆 4

C2 : x 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) ,直线 l:y=kx+m 与 C1 和 C 2 分别有唯一的公共点 A 和 B,则 r 的取
值范围为 答案: [1,2)
2

.

? ?x +y2=1, 提示:由? 4 得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0. ?y=kx+m, ?
由于 l 与 C1 有唯一的公共点 A,故 Δ1=64k2m2-16(1+4k2)(m2-1)=0, 从而 m2=1+4k2. ① ?x2+y2=r2, 由? 得(1+k2)x2+2kmx+m2-r2=0. ?y=kx+m, 由于 l 与 C2 有唯一的公共点 B,故 Δ2=4k2m2-4(1+k2)(m2-r2)=0, 从而 m2=r2(1+k2). ② 2 r - 1 由①、②得 k2= . 4-r2 由 k2≥0,得 1≤r2<4,所以 r 的取值范围是[1,2). 三.解答题(本大题共 4 小题,共 50 分)
3 x2 y 2 , 过 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F, 离心率为 2 3 a b 4 3 点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 . 3

15 (12 分) 【2013 年天津高考】 设椭圆

(Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设 A, B 分别为椭圆的左右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点. 若
???? ??? ? ???? ??? ? AC· DB ? AD· CB ? 8 , 求 k 的值.

16(12 分)已知斜率为 ?2 的直线与椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 交于 A, B 两点,且线段 AB 的中 2 a

1 1 2 2 ???? ? ???? ? ??? ? ???? ???? ? 原点,且 PM ? ? MQ, OP ? ? OQ ? 4OM , ? ? R .

点为 E ( , ) .直线 l2 与 y 轴交于点 M (0, m)(m ? 0) ,与椭圆 C 交于相异两点 P, Q ,O 为坐标

(1)求椭圆 C 的方程; (2)求 ? 的值; (3)求 m 的取值范围. 解: (1)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 1, y1 ? y2 ? 1,
x2 y1 ? y2 ? ?2 .∵ 12 ? y12 ? 1, x1 ? x2 a

x2 2 x ?x y ? y2 ( x ? x )( x ? x ) ? y2 2 ? 1 ,∴两式相减得 1 2 2 1 2 ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 ,即 1 2 2 ? ( y1 ? y2 ) 1 2 x1 ? x2 a a a
? 0 ,即
1 1 ? 1? (?2) ? 0 ,得 a 2 ? ,∴椭圆 C 的方程为 2 x 2 ? y 2 ? 1 . 2 2 a

(2)解法 1:设 P( x3 , y3 ), Q( x4 , y4 ) , l2 : y ? kx ? m (∵ l2 与 y 轴相交,∴ l2 的斜率存在) . ???? ? ???? ? ? PM ? ? MQ, ? (? x3 , m ? y3 ) ? ? ( x4 , y4 ? m), ? ? x3 ? ? x4 , ? 由 ? ??? 得? ? ???? ???? ?得? ?( x3 ? ? x4 , y3 ? ? y4 ) ? (0, 4m), ? y3 ? ? y4 ? 4m, ? ?OP ? ? OQ ? 4OM 即?
x3 ? ?? x4 ,??① 将①代入②得 (? ? 3)m ? 0 ,∵ m ? 0 ,∴ ? ? 3 . ?(kx3 ? m) ? ? (kx4 ? m) ? 4m,??② ?

???? ? ???? ? ???? ? ??? ? ???? ???? ? ??? ? ???? ???? ? 解法 2:∵ PM ? ? MQ ,∴ OM ? OP ? ? (OQ ? OM ) ,∴ OP ? ? OQ ? (1 ? ? )OM ,又∵ ??? ? ???? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? OP ? ? OQ ? 4OM ,∴ (1 ? ? )OM ? 4OM ,∴ (? ? 3)OM ? 0 ,又∵ OM ? 0 ,∴ ? ? 3 .

(3)将 y ? kx ? m 代入 2 x 2 ? y 2 ? 1 得 (k 2 ? 2) x 2 ? 2kmx ? (m 2 ? 1) ? 0 .∵ ? ? 3 ,
? ? x3 ? ?3 x4 , ? 2(1 ? m 2 ) 2(1 ? m 2 ) ?2km ? ? ∴由 ? x3 ? x4 ? 2 .由 ? ? 0 得 k 2 ? 2(m 2 ? 1) ,即 , 消去 x3 、 x4 得 k 2 ? 2 4m ? 1 4m 2 ? 1 k ?2 ? ? m2 ? 1 ? x3 x4 ? 2 k ?2 ?
2(m 2 ? 1) ,即

(m 2 ? 1)m 2 (m ? 1)(m ? 1) 1 1 ? 0 ,即 ? 0 ,得 ?1 ? m ? ? ,或 ? m ? 1 . (2m ? 1)(2m ? 1) 2 2 4m 2 ? 1

17. (12 分) 【2013 年浙江高考】

18. (12 分) 【东北三省三校 2013 届高三 3 月第一次联合模拟考试】 已知点 E(m,0)为抛物线内的一个定点,过 E 作斜率分别为 k1、k2 的两条直线交抛物线于点 A、B、C、D,且 M、N 分别是 AB、CD 的中点 (1)若 m = 1,k1k2 = -1,求三角形 EMN 面积的最小值; (2)若 k1 + k2 = 1,求证:直线 MN 过定点. 解析: (Ⅰ)当 m ? 1 时,E 为抛物线 y ? 4 x 的焦点,
2

∵ k1k2 ? ?1,∴AB⊥CD 设 AB 方程为 y ? k1 ( x ? 1) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 由?

? y ? k1 ( x ? 1) ? y ? 4x
2

,得 k1 y2 ? 4 y ? 4k1 ? 0 , y1 ? y2 ?

4 , y1 y2 ? ?4 k1

AB 中点 M (

x1 ? x2 y1 ? y2 2 2 , ) ,∴ M ( 2 ? 1, ) ,同理,点 N (2k12 ? 1, ?2k1 ) 2 2 k1 k1

∴ S?EMN ?

1 1 2 2 1 | EM | ? | EN |? ( 2 )2 ? ( )2 ? (2k12 )2 ? (?2k1 )2 ? 2 k12 ? 2 ? 2 2 2 k1 k1 k1

? 2 2?2 ? 4
当且仅当 k1 ?
2

1 ,即 k1 ? ?1时,△EMN 的面积取最小值 4. k12

(Ⅱ)证明:设 AB 方程为 y ? k1 ( x ? m) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 由?

? y ? k1 ( x ? m) ? y ? 4x
2

,得 k1 y2 ? 4 y ? 4k1m ? 0 , y1 ? y2 ?

4 , y1 y2 ? ?4m k1

AB 中点 M (

x1 ? x2 y1 ? y2 2 2 2 2 , ) ,∴ M ( 2 ? m, ) ,同理,点 N ( 2 ? m, ) 2 2 k1 k1 k2 k2

∴ kMN ?

yM ? yN kk ? 1 2 ? k1k2 xM ? xN k1 ? k2 2 2 ? k1k2 [ x ? ( 2 ? m)] ,即 y ? k1k2 ( x ? m) ? 2 k1 k1

∴MN: y ?

∴直线 MN 恒过定点 (m, 2) .


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