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51887com:高三数学专题复习 1.6.3直线与圆锥曲线的综合问题教案(第1课时)

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直线与圆锥曲线的综合问题
专题六 知识模块 解析几何

课 时

共 3 课时 课 型

本节第 1 课时 复习

选用教材 教学目标 重 难 关 点 点 键

熟练掌握直线与圆锥曲线的综合问题的相关知识 熟练掌握直线与圆锥曲线的综合问题的相关知识 熟练掌握直线与圆锥曲线的综合问题的相关知识 熟练掌握直线与圆锥曲线的综合问题的相关知识

教学方法 及课前准备

多媒体辅助教学

学生自主探究

讲练结合 多媒 体辅 助教 学内 容









复习知识 点,用多 媒 体 展 示,带领 学生对相 关知识进 行回忆与 记忆

[思考 1] 如何判定直线与椭圆的位置关系? 提示:将直线方程与椭圆方程联立,消去一个未知数,得到一个一元二次方程,若 Δ >0,则 直线与椭圆相交;若 Δ =0,则直线与椭圆相切;若 Δ <0,则直线与椭圆相离. [思考 2] 如何判定曲线过某定点? 提示:将曲线方程中的参变量集中在一起,令其系数为 0,得定点或借助直线(曲线)系方程过 定点判定. [思考 3] 求圆锥曲线中的几何最值有哪些常用方法? 提示:(1)借助几何性质,数形结合.(2)利用基本不等式.(3)借助条件换元或消元转化为函 数,利用函数的性质求最值等.

考向一 直线与圆锥曲线的位置关系 在高考中,直线与圆锥曲线的位置关系是热点.常围绕弦长、面积、焦点弦、弦中点问题来展 开,关键是采用“设而不求”的思想,利用韦达定理来解题. 【例 1】 (2013·天津高考)设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,离心率为

x2 y2 a b

3 ,过点 F 且与 3

x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为
(1)求椭圆的方程;

4 3 . 3

→ → (2)设 A, B 分别为椭圆的左、 右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点. 若AC·DB → → +AD·CB=8,求 k 的值. [思路点拨](1)由离心率和椭圆基本量之间的关系建立方程,求得椭圆方程;(2)联立直线与椭 圆方程,由韦达定理,结合向量的坐标运算求解. 解 (1)设 F(-c,0),由 =
2 2

c a

3 ,知 a= 3c.过点 F 且与 x 轴垂直的直线为 x=-c, 3

?-c? y 6 代入椭圆方程 + 2=1,解得 y=± b, a2 b 3 2 6 4 于是 b= 3,∴b= 2, 3 3 又 a -c =b , 从而可得 a= 3,c=1, ∴椭圆的方程为 + =1. 3 2 (2)设点 C(x1,y1),D(x2,y2),由 F(-1,0)得直线 CD 的方程为 y=k(x+1),
2 2 2

x2 y2

y=k?x+1?, ? ? 2 2 由方程组?x y + =1 ? ?3 2
2 2 2 2

消去 y,

得(2+3k )x +6k x+3k -6=0. 由于 Δ =48k +48>0 恒成立, 6k 3k -6 则 x1+x2=- 2,x1x2= 2, 2+3k 2+ 3k 因为 A(- 3,0),B( 3,0),所以 →
2 2 2

AC·DB+AD·CB=(x1+ 3,y1)·( 3-x2,-y2)+(x2+ 3,y2)·( 3-x1,-y1)
=6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k (x1+1)(x2+1) =6-(2+2k )x1x2-2k (x1+x2)-2k
2 2 2 2

→ → →

2k +12 =6+ 2 . 2+3k 2k +12 由已知得 6+ 2 =8,解得 k=± 2. 2+3k [探究提升] 1.(1)本题最常见的是计算错误, 关键在于细心认真, 平 时强化计算能力训练. (2) 用代数方法研究曲线的性质,关键是方程思想的应用. 2.直线与圆锥曲线的位置关系问题,常联立方程,充分利用根与系数的关系建立等式(或不等 式)整体代入求解,并注意判别式满足的条件限制,防止增解. 【变式训练 1】 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F1(- 1 ,0),且点 P(0,1)在 C1 上. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2:y =4x 相切,求直线 l 的方程. 解 (1)因为椭圆 C1 的左焦点为 F1(-1,0),
2 2

2

x2 y2 a b

所以 c=1.将点 P(0,1)代入椭圆方程 2+ 2=1, 1 得 2=1,即 b=1.

x2 y2 a b

b

所以 a =b +c =2. 所以椭圆 C1 的方程为 +y =1. 2 (2)由题意可知,直线 l 的斜率显然存在且不等于 0 ,设直线 l 的方程为 y =kx+m,由

2

2

2

x2

2

x ? ? +y2=1, ?2 ? ?y=kx+m
2 2

2

消去 y 并整理得

(1+2k )x +4kmx+2m -2=0. 因为直线 l 与椭圆 C1 相切, 所以 Δ 1=16k m -4(1+2k )·(2m -2)=0. 整理,得 2k -m +1=0,
?y =4x, ? 由? ?y=kx+m ?
2 2 2 2 2 2 2

2

消 y,得

k2x2+(2km-4)x+m2=0.
∵直线 l 与抛物线 C2 相切, ∴Δ 2=(2km-4) -4k m =0,整理,得 km=1,
2 2 2

2 ? ?k= , 2 联立①、②,得? ? ?m= 2, ∴l 的方程为 y=

2 ? ?k=- , 2 或? ? ?m=- 2,

2 2 x+ 2或 y=- x- 2. 2 2

考向二 考查定点与定值问题 常考查直线过定点、直线与圆锥曲线中定值的计算,题型以解答题为主,常先用变量表示要求 的量或点的坐标,再通过推理计算导出这些量或点的坐标和变量无关. 【例 2】 (2013·陕西高考)已知动圆过定点 A(4,0),且在 y 轴上截 得弦 MN 的长为 8. (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (2)已知点 B(-1,0), 设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P, Q, 若 x 轴是∠PBQ 的角平分线,证 明:直线 l 过定点. [思路点拨] (1)设出圆心坐标, 利用圆在 y 轴上截得的弦长构建方程, 求得圆心的轨迹方程. (2) 设出直线 l 的方程,与曲线 C 联立,得关于 x 的方程,依据根与系数的关系和 x 轴平分∠PBQ, 得 P、Q 两点的坐标关系,进而可证直线 l 过定点. 解 (1)如图,设动圆圆心为 O1(x,y),由题意,得|O1A|=|O1M|,

当 O1 不在 y 轴上时,过 O1 作 O1H⊥MN 交 MN 于 H,则 H 是 MN 的中点.

∴|O1M|= x +4 , 又|O1A|= ?x-4? +y , ∴ ?x-4? +y = x +4 , 化简得 y =8x(x≠0). 又当 O1 在 y 轴上时,O1 与 O 重合,点 O1 的坐标为(0,0) 也满足方程 y =8 x, ∴动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y =8x.
2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

(2)依题意 ,设直线 l 的方程 为

y=kx+b(k≠0),
设两交点 P(x1,y1),Q(x2,y2),

将 y=kx+b 代入 y =8x 中, 得 k x +(2bk-8)x+b =0. 其中 Δ =-32kb+64>0. 由根与系数的关系得,x1+x 2= 8-2bk , 2
2 2 2

2

k

b2 x1x2= 2, k
因为 x 轴是∠PBQ 的角平分线, ∴ =- , x1+1 x2+1

y1

y2

即 y1(x2+1)+y2(x1+1)=0. ∴(kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0, 整理得 2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0, 将①,②代入③得 2kb +(k+b)(8-2bk)+2k b=0, ∴k=-b,此时 Δ >0, ∴直 线 l 的 方程为 y=k(x-1),即直线 l 过定点(1,0). [探究提升] 1.(1)定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题,基本思想是使用参数 表示要解决的问题,证明要解决的问题与参数无关.在这类试题中选择消元的方向是非常关键 的. (2)解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况,找出定点或定值,再视具体 情况进行研究. 2.解直线与圆锥曲线的综合问题,要把握好以下几个“不”:①不能缺少“Δ ”;②不能忽 视直线的斜率;③不能小视“基本”变形;④不能弱化几何证明;⑤不能忘记解题结论.
2 2

x2 y 2 3 【变式训练 2】 (2013·江西高考)椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= ,a+b=3. a b 2
(1)求椭圆 C 的方程; (2)如图,A、B、D 是椭圆 C 的顶点,P 是椭圆 C 上除顶点外的任意一点,直线 DP 交 x 轴于点

N,直线 AD 交 BP 于点 M,设 BP 的斜率为 k,MN 的斜率为 m.证明:2m-k 为定值.

(1)解 因为 e=

3 c = , 2 a

所以 a=

2 3

c,b=

1 3

c.

代入 a+b=3 得,c= 3,a=2,b=1. 故椭圆 C 的方程为 +y =1. 4 1 (2)证明 因为 B(2,0),P 不为椭圆顶点,则直线 BP 的方程为 y=k(x-2)(k≠0,k≠± ), 2 将①代入 +y =1, 4 解得 P?

x2

2

x2
2

2

k ? ?8k2-2,- 4 . 2 4k +1? ?4k +1 ?

1 直线 AD 的方程为 y= x+1. 2 ①与②联立解得 M?

?4k+2, 4k ?. ? ?2k-1 2k-1?

4k ? ?8k -2 由 D(0,1),P? 2 ,- 2 ?,N(x,0 )三点共线知 4k +1? ?4k +1 - 4k -1 2 4k +1 0-1 ?4k-2,0?. = ,解得 N? ? 2 8k -2 x-0 ?2k+1 ? -0 2 4k +1

2

4k -0 2k-1 所以 MN 的斜率为 m= 4k+2 4k-2 - 2k-1 2k+1 多媒 体辅 助教 学内 容









考 点探究 突破 1. (2013·新课标全国Ⅱ)设抛物线 C: y2=4x 的焦点为 F, 直线 l 过 F 且与 C 交于 A, B 两点. 若 典 型例题 |AF|=3|BF|,则 l 的方程为( ). 讲解, A.y=x-1 或 y=-x+1 先让学 生自己 3 3 B.y= (x-1)或 y=- (x-1) 思考, 3 3 老师再 C.y= 3(x-1)或 y=- 3(x-1) 给出思 路,最 2 2 后用多 D.y= (x-1)或 y=- (x-1) 2 2 媒体展 2 示解答 解析 y =4x,知焦点 F(1,0),设 B(x0,y0),由|AF|= 过程, → → 要求学 3|BF|,知AF=3FB, 生自己 做题时 ?1-xA=3?x0-1?, ? 则? 从而得 A(4-3x0,-3y0), 要 规 ? ?-yA=3y0. 范。 同时给 又点 A、B 在抛物线上, 出做这 2 ?y0=4x0, ? 种题的 ∴? 2 ??-3y0? =4?4-3x0?, ? 思路指 导,并 1 2 解之得 x0= 且 y0=± 3. 3 3 且加以 总结, ∴直线 l 的方程为 y=± 3(x-1). 指出要 答案 C 记 住 2 2 的,要 x y 2.(2013·新课标全国Ⅱ)已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交 a b 注 意 的,易 椭圆于 A、B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为( ). 错 点 等。 课堂同步练习:

A. C.

+ =1 45 36

x2

y2

B. + =1 36 27 D. + =1 18 9

x2

y2

+ =1 27 18

x2

y2

x2

y2

解析

? ? 设 A(x ,y )、B(x ,y ),所以? x y ?a +b =1, ?
1 1 2 2 2 2 2 2 2 2

x2 y2 1 1 + =1, a2 b2

运用点差法,

b2 所以直线 AB 的斜率为 k= 2, a b2 设直线方程为 y= 2(x-3), a
联立直线与椭圆的方程得(a +b )x -6b x+9b -a =0, 所以 x1+x2=
2 2 2 2 2 2 4

6b =2, 2 a +b2
2 2

2

又因为 a -b =9,解得 b =9,a =18. ∴椭圆的方程为 + =1. 18 9 答案 D

2

x2

y2

课堂要求学生掌握的内容: 熟练掌握直线与圆锥曲线的综合问题的相关知识 板书设计 1、 网络构建 2、 考点溯源 3、题型: 4 总结

课 后 作 业

知能提升.演练


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