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河北省石家庄市2016届高三数学上学期期末调研检测试题 理


石家庄市 2016 届高三年级调研检测试卷 高三数学(理科)
一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.已知集合 A ? {x | ( x ? 1)( x ? 2) ? 0}, B ? {x | ?3 ? x ? 0} ,则 A ? B 等于 A. (??, ?2) 2.已知复数 z ? B. (?2, 0) C. (0,1) D. (1, ??)

2?i (其中 i 是虚数单位,满足 i 2 ? ?1) ,则 z 的共轭复数是 i3 A. 1 ? 2i B. 1 ? 2i C. ?1 ? 2i D. ?1 ? 2i 3.下面四个条件中,使 a ? b 成立的充分而不必要条件是 1 1 2 2 A. | a |?| b | B. ? C. a ? b D. lg a ? lg b a b
4.设 Sn 为等差数列 {an } 的前 n 项和,若 a1 ? 1, S7 ? 70 ,则 a2 等于 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

5. 已知偶函数 y ? f ( x) 满足 f ( x ? 5) ? f ( x ? 5), 且 0 ? x ? 5 时 , f ( x) ? x2 ? 4x , 则 f (2016) 等 于 A. ?1 B. 0 C. 1 6.执行如图所示的程序框图,若输入 c 的值为 3 ,则输出的结果为 A. 27 B. 9 C. 8 7.设函数 f ( x) ? sin ? x(? ? 0) ,将 y ? f ( x) 的图象向左平移 图象与 y ? cos ? x 的图象重合,则 ? 的最小值是 A.

D. 12 D. 3

? 个单位长度后,所得 6
D. 9

1 3

B. 3

C. 6

?3 x ? y ? a ? 0 ? 8.设 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,若目标函数 z ? x ? y 的最大值为 2 ,则实数 ?2 x ? y ? 0 ?

a 的值为
A. 2 B. 1 C. ?1 D. ?2

? ? ? 1? ? ? 9. 设单位向量 e1 , e2 对于任意实数 ? 都有 | e1 ? e2 |?| e1 ? ? e2 | , 则向量 2 ? ? e1 , e2 的夹角为

? 6 2? C. 3
A.

B.

? 3 5? D. 6
1

10.一个三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积为 A. 2 ? 2 5 ? 14 C. 8 ? 2 14 B. 16 ? 2 14 D. 8 ? 14

x2 y 2 b 11. 过双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点 F 作直线 y ? ? x 的垂线,垂足为 A ,交双曲线的 a a b
左支于 B 点,若 FB ? 2 FA ,则该双曲线的离心率为 A. 3 B.2 C. 5 D. 7

??? ?

??? ?

12.在菱形 ABCD 中, A ? 60? , AB ? 3 ,将 ?ABD 沿 BD 折起到 ?PBD 的位置,若二面角

P ? BD ? C 的大小为
A.

2? ,则三棱锥 P ? BCD 的外接球的体积为 3
B.

4 ? 3

3 ? 2

C.

7 7 ? 6

D.

7 7 ? 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请将答案填在答题卡的相应位置 13.在 (1 ? 2 x)5 的展开式中, x 的系数为
3

14.某同学从语文,数学,英语,物理,化学,生物六科中选择三个学科参加测试 ,则数学和物理不同时 被选中的概率为 15. 已知 a ? 0 且 a ? 1 , 设函 数 f ( x) ? ?

? x ? 2, x ? 3 的最大 值为 1 , 则 实数 a 的 取 值范围 是 2 ? log x , x ? 3 a ?

16. 已知 P 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上的一个动点 , 点 A(?2,1), B(2, ?1) , 设直线 AP 和 BP 分别与直线 8 2

x ? 4 交于 M , N 两点,若 ?ABP 与 ?MNP 的面积相等,则 | OP | 的值为
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17(本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中, BC ? 7, ?A ? 60? . (Ⅰ)若 cos B ?

6 ,求 AC 的长度; 3

(Ⅱ)若 AB ? 2 ,求 ?ABC 的面积.

2

18(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和 S n ? (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? an ? log3 an ,求数列 {bn } 的前 n 项和.

3n ?1 3 ? (n ? N * ) 2 2

19(本小题满分 12 分) 某上市公司为 了了解 A 市用户对其产品的满意度,从该市随机调查了 20 个用户,得到用户对其产品 的满意度评分,并用茎叶图记录分数如左图所示. (Ⅰ)根据样本数据估计 A 市用户对其产品的满意度评分的平均值; (Ⅱ)根据用户满意度评分,若评分在 70 分以上(含 70 分),用户对产品满意 ,根据所给数据,以事件发 生的频率作为相应事件发生的概率,若从 A 市随机抽取 3 个用户,记 X 表示对产品满意的用户个数, 求 X 的分布列及均值.

3

20(本小题满分 12 分)

ABC 内的射影 D 为棱 AC 的中点,侧面 A1 ACC1 是边 如图,在三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,点 A 1 在平面
长为 2 的菱形, AC ? CB, BC ? 1. (Ⅰ)证明: AC1 ? 平面 A 1BC ; (Ⅱ)求二面角 B ? AC 1 ?B 1 的大小.

21(本小题满分 12 分) 已知抛物线 C1 : x2 ? 2 py( p ? 0) ,点 A( p, (Ⅰ)求抛物线 C1 的方程; (Ⅱ)过点 A 作圆 C2 : x2 ? ( y ? a)2 ? 1 的两条切线,分别交抛物线于 M , N 两点,若直线 MN 的斜率 为 ?1 ,求实数 a 的值.

p ) 到抛物线 C1 的准线的距离为 2 . 2

4

22(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? mx . (Ⅰ)若 f ( x ) 的最大值为 ?1 ,求实数 m 的值; (Ⅱ)若 f ( x ) 的两个零点为 x1 , x2 且 ex1 ? x2 ,求 y ? ( x1 ? x2 ) f '( x1 ? x2 ) 的最小值.(其中 e 为自然对 数的底数, f '( x) 是 f ( x ) 的导函数)

5

高三调研检测数学理科答案 一、选择题 1-5 BADCB 6-10 CBACD 11-12 CC 二、填空题 13 .

?80

14.

4 5
107 4

15.

?1 ? ? 3 ,1? ? ?

16.

三、解答题:(每个题只给一种答案和相应的评分细则,其他解答请参照给分) 17.解:(1)在 ?ABC 中, BC ? 7, ?A ? 60? . 因为 cos B ?

6 3 ,则 sin B ? ,..................................................2 分 3 3
定 理 得 :







AC BC ? sin B sin A





AC 7 ? 3 3 3 2





AC ?

2 7 .....................................5 分 3

(2)在 ?ABC 中, BC ? 7, ?A ? 60? , AB ? 2 . 由余弦定理得: cos ?A ?

AC 2 ? 4 ? 7 1 ? ,则 AC 2 ? 2 AC ? 3 ? 0 , 2 ? 2 ? AC 2

得 AC ? 3 ...................... .............................8 分 所 以

?ABC









1 3 3 3 ... ................................................10 分 S ? ? 2 ? 3? ? 2 2 2
18. 解 : ( 1 ) 因 为

Sn ?

3n?1 3 ? 2 2





n?2





3n 3 Sn?1 ? ? ,........................................2 分 2 2
两式相减得: an ? 3 (n ? 2) ,
n

因为 a1 ? 3 也满足. 综上, an ? 3 (n ? N ) ..................................................4 分
n ?

6

(2) bn ? an ? log3 an ? n ? 3n ................................. ..................6 分 设数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn . 则 Tn ? 3 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? ? ? n ? 3n

3Tn ? 1? 32 ? 2 ? 33 ? ? ? (n ? 1) ? 3n ? n ? 3n?1 ............................................
......8 分 两式相减得: ?2Tn ? 3 ? 32 ? 33 ? ?? 3n ? n ? 3n?1 则: ?2Tn ?

3 ? (1 ? 3n ) ? n ? 3n?1 1? 3

..................................................1 0 分

(2n ? 1) ? 3n ?1 ? 3 化简得: Tn ? ..................................................12 分 4
19. 解:样本平均数为:

1 (50 ? 60 ? 3 ? 70 ? 6 ? 80 ? 8 ? 90 ? 2 ? 8 ? 6 ? 7 ? 9 ? 3 ? 5 ? 7 ? 8 ? 3 ? 2 ? 4 ? 5 ? 6 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 6 ? 8) 20
………………………2 分 =80 估计 A 市用户对产品的满意度评分的平均值约为 80 分............................4 分 (2)样本数据中对产品满意的用户为 16 个,由题意得,从 A 市随机抽取一个用户,该用户对产品满意 的 概 率 为 0 . 8 , 记 X 表 示 对 产 品 满 意 的 用 户 个 数 , X 的 可 能 取 值 为

0,1,2,3, ............................. 6 分

0 P( X ? 0) ? C3 (1 ? 0.8)3 ? 0.008 1 P( X ? 1) ? C3 (1 ? 0.8)2 ? 0.8 ? 0.096 2 P( X ? 2) ? C3 (1 ? 0.8) ? 0.82 ? 0.384 3 P( X ? 3) ? C3 0.83 ? 0.512

.................................................8 分

所以 X 的分布列为

X P

0 0.008

1 0.096

2 0.384

3 0.512
7

.................... ....... ..............10 分 X 的均值 EX ? 0 ? 0.008 ? 1? 0.096 ? 2 ? 0.384 ? 3 ? 0.512 ? 2.4 . ( 或

X ? B(3,0.8)





X







EX ? 3 ?
20.

?

0.)..............................................12 . 8 2 . 4 分

z

A1

C1

B1

x

A

D

C

B y

解:(1)由题意得 A1 D ? 平面 ABC ,

? 平面 A1 ACC1 ? 平面 ABC , ? 平面 A1 ACC1 ? 平面 ABC ? AC , CA ? CB ? BC ? 平面 A1 ACC1 ? BC ? AC1
连接 AC 1 , ------------------2

? 侧面 A1 ACC1 为菱形 ? A1C ? AC1 , ? AC1 ? 平面 A1BC ,
-------------------4 -------------------5

8

(2) 直角三角形 A 1 AD 中,

? AA1 ? 2 , AD ? 1 ,? A1D ? 3 ,
过 C 作 CM// A1D 交 AC 1 1 于 M 点,

-------------6

分别以 C 为坐标原点,以 CA, CB, CM 的方向为 x 轴, y 轴, z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐 标系 C ? xyz , 则 C(0,0,0), B(0,1,0), D(1,0,0), A(2,0,0), A ,0, 3) , 1 (1

??? ? ??? ? ???? ?

AA ,0, 3) , ? AC1 ? (?3,0, 3) , 1 ? CC1 ,得 C1 (?1

???? ???? ???? ???? AA1 ? BB1 得 B1 (?1,1, 3) , ? CB1 ? (?1,1, 3) , CA 1 ? (1,0, 3) --------8
设平面 A 1B 1C 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) , 由?

? ?? x ? y ?

3z ? 0

? ?x ? 0 ? y ? 3 ? z ? 0 ? 解得 n ? (? 3, ?2 3,1) ,

令 z ? 1,

----------------------10

由题得 AC1 ? (?3,0, 3) 为平面 A 1 BC 的一个法向量,-----------11

???? ? ? ???? ? ? AC1 ? n 3 3? 3 1 cos ? AC1 , n ?? ???? ? ? ? ? 3 ? 12 ? 1 ? 9 ? 3 2 AC1 ? n
因此二面角 B ? AC1 ? C 的大小为 解法二 (略解) 交于 O ,易证 ?B1OC1 为二面角 B1 ? AC AC1 与 AC 1 ? C1 的平面角,--------8 1

? . 3

------------12

tan ?B1OC1 ?
?B1OC1 ?

3 , 3

--------------10

?
6

,

?
2

?

?
6

?

?
3



? .------------12 3 p p ? ? 2 ,? p ? 2 21.解:(1)由抛物线定义可得: 2 2
因此二面角 B ? AC1 ? C 的大小为

? 抛物线 C1 的方程为: x2 ? 4 y .………………4 分
9

(2)设直线 AM , AN 的斜率分别为 k1 , k2 , 将 lAM : y ?1 ? k1 ( x ? 2) 代入 x2 ? 4 y 可得:

x2 ? 4k1x ? 8k1 ? 4 ? 0 , ? ? 16(k1 ?1)2 ? 0 ,? k1 ? R 且 k1 ? 1
由韦达定理可得: xM ? 4k1 ? 2 ,同理 xN ? 4k2 ? 2 ………………6 分

? kMN ?

yM ? yN 1 ? ( xM ? xN ) ? k1 ? k2 ? 1 xM ? xN 4 ………………8 分
a ? 2k1 ? 1 1 ? k12 ? 1,

又因为直线 lAM : y ?1 ? k1 ( x ? 2) 与圆相切: 整理可得: 3k12 ? 4k1 (a ?1) ? a2 ? 2a ? 0 , 同理 3k22 ? 4k2 (a ?1) ? a2 ? 2a ? 0
2 2

………………10 分

所以 k1 、 k2 是方程 3k ? 4k (a ?1) ? a ? 2a ? 0 的两个根,……………11 分

? k1 ? k2 ? ?

4(a ? 1) 代入 kMN ? k1 ? k2 ?1 ? ?1 可得: a ? 1 . 3
12 分

…………12 分 22.解: f '( x) ?

1 1 ? mx ?m ? . x x

m ? 0 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 在 (0, ??) 单调递增, f ( x) ? ln x ? mx 在 (0, ??) 无最大值. 2 分 m ? 0, 易知当 x ? (0,

1 1 1 ) 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 在 (0, ) 单调递增; 当 x ? ( , ?? ) 时, f '( x) ? 0 , m m m 1 1 1 f ( x) 在 ( , ?? ) 单调递减,故 f ( x) max ? f ( ) ? ln ? 1 ? ?1 . 即 m ? 1 m m m 综上: m ? 1 . 4分

(2) y ? ( x1 ? x2 ) f '( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 )(

x ?x 1 ? m) ? 1 2 ? m( x1 ? x2 ) . x1 ? x2 x1 ? x2
6分

又?

? ln x1 ? mx1 ? 0 x 故 ln x1 ? ln x2 ? mx1 ? mx2 ,即 ln 1 ? m ? x1 ? x2 ? . x2 ?ln x2 ? mx2 ? 0
1?

x2 x ? x2 x ?x x x1 x ? m( x1 ? x2 ) ? 1 2 ? ln 2 ? ? ln 2 . 故y? 1 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 1 ? x2 x1 x1

8分

10

令 g (t ) ?

x 1? t ? ln t (t ? 2 ? e) . 1? t x1

10 分

?2 1 t 2 ?1 而 g '(t ) ? ? ? ? 0 ,故 g (t ) 在 [e, ??) 单调递增. (1 ? t )2 t t (t ? 1)2
故 g (t ) min ? g (e) ?

2 . 1? e 2 y 的最小值 为 1? e

12 分

11


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