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高考数学一轮复习高考大题专项练2高考中的三角函数与解三角形(含答案)

高考大题专项练二 数与解三角形 高考中的三角函 1.(2017 山师大附中一模)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bsin A= (1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,sin C=2sin A,求 a,c 的值. acos B. 1 2.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 b+c=2acos B. (1)证明:A=2B; (2)若 cos B= ,求 cos C 的值. 3.在△ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠BAC,△ABD 的面积是△ADC 面积的 2 倍. (1)求 ; (2)若 AD=1,DC= ,求 BD 和 AC 的长. 2 4.(2017 湖北武汉五月调考)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足 (1)求角 A 的大小; (2)若 D 为 BC 上一点,且 . =2 ,b=3,|AD|= ,求 a. 3 5.已知在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a+b= (1)求角 C; (2)若 S△ABC= ,求 c. c,2sin2C=3sin Asin B. 6.(2017 辽宁鞍山一模)已知锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 b=2,c=3,△ABC 的面积为 ,又 =2 ,∠CBD=θ . (1)求 a,A,cos∠ABC; (2)求 cos 2θ 的值. 4 7.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 cos 2C-cos 2A=2sin (1)求角 A 的值; (2)若 a= ,且 b≥a,求 2b-c 的取值范围. sin . 5 8. 如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,点 D 为斜边 BC 上一点,且 AC=CD=2. (1)若 CD=2BD,求 AD 的长; (2)若 AD= BD,求角 B 的正弦值. 6 参考答案 高考大题专项练二 高考中的三角函数与解三角形 1.解(1)∵bsinA= acosB,由正弦定理得 sinBsinA= ,∴B= sinAcosB. 在△ABC 中,sinA≠0,即得 tanB= (2)∵sinC=2sinA,由正弦定理得 c=2a, 由余弦定理 b =a +c -2accosB, 即 9=a +4a -2a·2acos 解得 a= ,∴c=2a=2 2 2 2 2 2 . , . 2.(1)证明由正弦定理得 sinB+sinC=2sinAcosB,故 2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,于是 sinB=sin(A-B). 又 A,B∈(0,π ),故 0<A-B<π , 所以 B=π -(A-B)或 B=A-B, 因此 A=π (舍去)或 A=2B,所以 A=2B. (2)解由 cosB= 得 sinB= ,cos2B=2cos B-1=- , 2 故 cosA=- ,sinA= , 所以 cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB= . 3.解(1)S△ABD= AB·ADsin∠BAD, S△ADC= AC·ADsin∠CAD. 因为 S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以 AB=2AC. 7 由正弦定理可得 . . (2)因为 S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以 BD= 在△ABD 和△ADC 中,由余弦定理知 AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB, AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC. 故 AB +2AC =3AD +BD +2DC =6. 由(1)知 AB=2AC,所以 AC=1. 2 2 2 2 2 4.解(1)由 ,则(2c-b)cosA=acosB, 由正弦定理可知 则 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC, 得(2sinC-sinB)cosA=sinAcosB, =2R, 整理,得 2sinCcosA-sinBcosA=sinAcosB, 由 A=π -(B+C),则 sinA=sin[π -(B+C)]=sin(B+C), 即 2sinCcosA=sin(A+B)=sinC, 由 sinC≠0,则 cosA= ,即 A= ,∴角 A 的大小为 . (2)过点 D 作 DE∥AC 交 AB 于点 E,则在△ADE 中,ED= AC=1,∠DEA= . 由余弦定理可知 AD =AE +ED -2AE·EDcos 2 2 2 2 2 2 ,则 AE=4,即 AB=6. ,解得 BD= ,则△BED 为直角 在△BED 中,由余弦定理可知 BD =BE +ED -2BE·EDcos 三角形,故△ACB 为直角三角形,则 a=BC=3 ,a 的值为 3 . 8 5.解(1)∵2sin C=3sinAsinB, 2 ∴sin2C= ∵a+b= sinAsinB,∴c = 2 ab. c,∴a2+b2+2ab=3c2. ∴cosC= ,∴C= . (2)∵C= ,∴S△ABC= absinC= ab= .∴ab=4. 又c= 2 ab,∴c= . 6.解(1)由△ABC 的面积为 bcsinA, 可得 ×2×3×sinA= ,可得 sinA= 2 2 . 2 2 2 又 A 为锐角,可得 A= 解得 a= , ,再由余弦定理可知 a =b +c -2bccosA=2 +3 -2×2×3×cos =7, 可得 cos∠ABC= (2)由 . ,知 CD=1,则△ABD 为正三角形,即 BD=3,且 sin∠ =2 ABC= ,cosθ =cos =cos cos∠ABC

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