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2016海门中学数学考前一卷_图文

江苏省海门中学 2016 届高三适应性测试
数学 I 必做题部分 2016.5.31
注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求 1.本试卷共 4 页,包含填空题(第 1 题~第 14 题) 、解答题(第 15 题~第 20 题) .本卷满分为 160 分, 考试时间为 120 分钟.考试结束后,请将答题卡交回. 2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定 位置. 3.作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答,在其它位置作答一律无效. 4.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.

参考公式:
1 Sh ,其中 S 为底面积, h 为高. 3 1 n 1 n 2 2 2.样本数据 x1 , x2 , ???, xn 的方差 s ? ? ( xi ? x) ,标准差为 s 2 ,其中 x ? ? xi . n i ?1 n i ?1
1.锥体的体积公式: V ? 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 . ........ 1.已知集合 A ? {x | x 2 ? x ? 6 ? 0}, B ? {x | 2 x≥ 1}, 则 A ? B ? 答案: A ? B ? (?2,??) ▲ . 2.若复数 z 满足 (2 ? i) z ? 4 ? 3i ( i 为虚数单位) ,则 z ? 答案: 1 ? 2i 3. 右图是一个算法流程图, 当输入的 x 值为 ?2 时, 则输出的 y 的值为 ▲ 答案:-7 .

.

4.用系统抽样的方法从 480 名学生中抽取容量为 20 的样本,将 480 名学生 ……, 25 ? 48 号, 随机地编号为 1 ? 480 , 按编号顺序平均分成 20 个组 ( 1 ? 24 号, 457 ? 480 号) 若第 1 组中用抽签的方法确定抽出的号码为 3,则第 4 组抽取 ▲ . 的号码为 答案:75

lg( x ? 1) 的定义域为 x ?1 答案: (?1,1) ? (1, ??)
5.函数 f ( x) ?



.

6.盒中有 3 张分别标有 1,2,3 的卡片.从盒中随机抽取一张记下号码后放回,再随机抽取一张记下号码, 则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 ▲ . 【解析】两次有放回抽取卡片所有可能的结果为:(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1), (3,2),(3,3),共有 9 种可能,其中至少有一个为偶数的结果为(2,2),(2,1),(1,2),(2,3),(3,2), 5 共 5 种,所以所求概率 P= . 9 7.已知点 P( x, y) 在由双曲线

z ? 2 x ? y 的最大值为
答案:

x2 y 2 ? ? 1 的两条渐近线和直线 x ? 1 围成的三角形(含边界)区域内,则 8 2




5 2

1

8.将函数 f(x)的图象向右平移 答案:4

π π π 个单位后得到函数 y ? 4sin 2 x ? 的图象,则 f 的值为 6 3 4

?

?

??

▲ .

9.已知一个正四棱锥的底面边长为 2 ,侧棱与底面所成的角为 60 ? ,则该棱锥的体积为 答案:
2 3 3



.

10.设直线 l 是函数 y ? 4 x3 ? 3ln x 图像的切线,则直线 l 的斜率的最小值为 答案:9



.
C

11.如图,在△ABC 中,AB=3,AC=4,∠BAC=60°,若 CD ? 2DB ,则 AD ? BC 的 值为 ▲ . 答案:

D A B

4 3

(第 11 题)

12. 在平面直角坐标系 xOy 中, 圆 x2 ? y 2 ? 1 交 x 轴于 A, B 两点, 且点 A 在点 B 左边, 若直线 x+ 3 y ? m ? 0 上存 在点 P ,使得 PA ? 2 PB ,则 m 的取值范围为 答案: [? ▲

13 ,1] 3

2 13.设函数 f ( x) = x + 2 x + a ,若函数 y = f ( f ( x)) 有且只有 2 个不同的零点,则实数 a 的取值范围

为 答案





? ?1 ? 5 ?1 ? 5 ? , ? ? ? 2 2 ? ? ?

ì a< 1 ? ? ? 2 解析 设 t = f ( x) ,由 f (t ) = 0 得 t + 2t + a = 0 ,所以 ? í - 1 + 1- a > a - 1 , ? ? ? ? ? - 1- 1- a < a - 1 - 1- 5 - 1+ 5 解得 < a< 2 2
14.已知数列 {an } 的奇数项依次构成公差为 d 1 的等差数列,偶数项依次构成公差为 d2 的等差数列,且对 任意 n ? N * ,都有 an ? an ?1. 若 a1 ? 1, a2 ? 2, 且数列 {an } 的前 10 项和 S10 ? 75, 则 a8 的值是 ▲ . 答案: a8 ? 11 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、证明过 ....... 程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)
[来源:学

? 在 ? ABC 中,三个内角分别为 A,B,C ,已知 sin( A ? ) ? 2cos A . 6 6 (1)若 cos C ? ,求证: 2a ? 3c ? 0 . 3 ? 4 (2)若 B ? (0, ) ,且 cos( A ? B) ? ,求 sin B . 3 5
2

3 1 ? sin A ? cos A ? 2 cos A , 15. 因为 sin(A ? ) ? 2cos A ,得 2 2 6

即 sin A ? 3 cos A ,因为 A ? ? 0, ? ? ,且 cos A ? 0 , 所以 tan A ? 3 ,所以 A ?

? . 3
6 3 , C ? ? 0, ? ? ,所以 sin C ? 3 3

…………4 分

(1)因为 sin 2 C ? cos 2 C ? 1, cos C ?

3 a sin A 3 a c ? 2 ? ,即 2a ? 3c ? 0 由正弦定理知 ,即 ? ? c sin C sin A sinC 3 2 3

.…………8 分

? ? ? ?? (2)因为 B ? (0, ) ,所以 A ? B ? ? B ? ? 0, ? , 3 3 ? 3?
因为 sin 2 ( A ? B) ? cos2 ( A ? B) ? 1 ,所以 sin( A ? B) ?

3 , 5
4 3 ?3 10

…………10 分 .……14 分

所以 sin B ? sin ? A ? ? A ? B ? ? ? sin A cos( A ? B ) ? cos A sin( A ? B ) ?

16. (本小题满分 14 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? AC ? 2 AA1 , ?BAA1 ? ?CAA1 ? 60? , D, E 分别为 AB, AC 的中点. 1 (1)求证: DE ∥平面 BB1C1C ; (2)求证: BB1 ⊥平面 A1 BC ; 16.(1)连接 AC1 , BC1 ,因为 AA1C1C 为平行四边形,所以 AC1 与 A1C 互相平分。 因为 E 是 A1C 的中点,所以 E 是 AC1 的中点. 又 D 为 AB 的中点. 所以在 ?ABC1 中, DE ∥ BC1 又 BC1 ? 平面 BB1C1C 所以 DE ∥平面 BB1C1C (2)设 AA1 ? a ,则 AB ? AC ? 2a
A

A1 E B1 C B

C1

D

因为 ?BAA1 ? 60? ,所以在 ?AA1 B 中, A1B2 ? AA12 ? AB2 ? 2 AA1 ? AB cos ?BAA1 ? a2 ? 4a2 ? 4a2 ? 所以 AA12 ? A1B2 ? AB2 ,因此 AA1 ? A1B 又 BB1 ∥ AA1 ,所以 BB1 ? A1 B 同理可证: BB1 ? AC 1
? 平面 A1 BC , A1 B ? A1C ? A1 因为 A1B ? 平面 A1 BC , AC 1

1 ? 3a2 2

所以 BB1 ? 平面 A1 BC 17. (本小题满分 14 分) x2 y2 如图,椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0) 的左焦点为 F ?过点 F 的直线与椭圆 C 交于 A, B 两点, AF 的最大值 a b 3 为 M, BF 的最小值为 m ,满足 Mm ? a2 4 A y (1)求该椭圆的离心率; G O
B F D E
x

3

(2)设线段 AB 的中点为 G , AB 的中垂线与 x 轴、 y 轴分别交于 D, E 两点, O 为坐标原点,记 ?GFD 的 2S S 面积为 S1 , ?OED 的面积为 S2 ,求 2 1 2 2 的取值范围。 S1 ? S 2 解: (1)设 F (?c,0)(c ? 0) 则根据椭圆性质得: M ? a ? c, m ? a ? c

3 3 Mm ? a2 ? a2 ? c2 ? a2 4 4 ? a 2 ? 4c 2 ? a ? 2c c 1 所以椭圆的离心率为 e ? ? ; a 2
(2)由(1)知: a ? 2c, b ? a2 ? c2 ? 3c x2 y2 于是,椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1 4c 3c 设 A( x1 , y1 ) B( x2 , y2 ) 由题意,AB的斜率存在且不为0,设 lAB:y ? k ( x ? c) ,代入椭圆方程得:
(4k 2 ? 3) x2 ? 8ck 2 x ? 4k 2c2 ? 12c2 ? 0

? 8ck 2 x ? x ? ? 2 2 ? ? 1 4k 2 ? 3 所以 G(? 4ck , 3ck ) 则? 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 ? y ? y ? 6ck 2 ? 1 4k 2 ? 3 ?

因为 DG ? AB ,所以 G(?

4ck 2 3ck , 2 ) 2 4k ? 3 4k ? 3

3ck ck 2 4k 2 ? 3 ? k ? ?1 ? xD ? ? 2 2 4ck 4k ? 3 ? 2 ? xD 4k ? 3 S GD 2 由 Rt ?FGD ? Rt ?EOD 知 1 ? S2 OD 2
4ck 2 ck 2 2 3ck 2 ? ) ?( 2 ) 2 2 4k ? 3 ? 4k ? 3 4k ? 23 ck (? 2 )2 4k ? 3 9 ?9? 2 ? 9 k S1 ? t ,则 t ? 9 令 S2 2S S 2 2 9 ? ? 故 2 1 22 ? S1 ? S2 t ? 1 9 ? 1 41 t 9 2S S 9 从而 2 1 2 2 ? (0, ) S1 ? S2 41 (?

18. (本小题满分 16 分) 为备战高二足球联赛,高二某班足球队进行射门训练. 如图,已知这种训练用足球场地的球门框的长 AB 为 8 码,一名队员位于垂直于 AB 的直线 CD 上的点 D 处,已知 CD 为 24 码,且 BC=8 码. (1)若该队员一直沿着射线 DC 方向突破,则他跑几码后起脚射门可以使得射 门角度(即射门瞬间足球与球框两端点 A, B 连线所成角)最大? A (2)假设该队员沿任何方向直线突破 8 码后射门, 则要使此时射门角度最大他 该向哪个方向跑?
B
4

C

D

18.解: (1)设 CE ? x, 则 DE ? 24 ?x .记 ?AEB ? ? ,

16 8 ? 8 x x , tan ? ? tan ? ?AEC ? ?BEC ? ? ? 16 8 128 1? ? x? x x x 则当 x ? 8 2 时, tan ? 有最大值,又因为 ? 是锐角,故此时 ? 最大.
故当他跑 24 ? 8 2 米后起脚射门可以使得射门角度最大.

A B α C E D

?

?

(2)队员突破 8 码后在以 D 为圆心,8 为半径的圆上.问题转化为圆上的动点 与点 A, B 连线所成的角最大. 以 AB 为弦作圆 M , 当圆 M 与圆 D 相切时, 切点所在位置的射门角度最大(可以利用三角形外角计算公式及圆中圆周 角的性质证明这个基本事实) .此时,设圆 M 的半径为 r ,点 M 到 AB 的 2 2 距离为 a, 则 a ? 16 ? r ;又在 RT ?MND 中, MN ? 12 , ND ? 8 ? a, ,由 12 勾股定理,联立解得 r ? 5 , a ? 3 ,故 tan ?MDN ? , 5 所以 ?MDN ? ?0 .要使此时射门角度最大他该沿偏离 CD 靠向球门 ? 0 (tan ? 0 ?

M

N

12 ) 大小的方向跑. 5

5

19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? . (1) 若函数 f ( x) 在定义域上单调递减,求 a 的取值范围;

a x

a2 )?0; 2 (3)若 f ( x) 恰有三个不同的零点,求 a 的取值范围. 19.【命题意图】本题考查导数几何意义、利用导数证明不等式、利用导数研究函数零点等基础知识,意 在考查学生转化与化归能力、综合分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力. 1 a 【解析】(1)因为 f ?( x) ? ? a ? 2 ,所以 f ?( x) ? 0 在 (0, ??) 恒成立, x x 1 1 a?( ) x ? 1 (0, ?? ) a ? 1 max 即 在 恒成立,所以 1 1 x? 1? 2 x ? x x x 1 所以 a ? ………4 分 2 a2 a 2 a3 2 a3 2 a3 2 ? ? ? 2ln a ? ? ? ln 2 ,所以令 g (a) ? 2ln a ? ? ? ln 2 , (2)因为 f ( ) ? ln 2 a 2 2 2 a 2 a 2 4 2 3a 2 ?3a ? 4( a ? 1) ? 2 ? 则 g ?( a ) ? ? .因为 0 ? a ? 1 ,所以 g ?(a) ? 0 , a 2 a 2a 2 1 a2 从而 g (a) ? g (1) ? 2 ? ? ln 2 ? 0 ,即 f ( ) ? 0 . ………8 分 2 2 1 a ? ax 2 ? x ? a ( x ? 0) , ? ? 1 ? 4a 2 , (3) f ?( x ) ? ? a ? 2 ? 2 x x x 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增,不合题意; 1 当 a ? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减,不合题意; ………10 分 2
(2)若 0 ? a ? 1 ,求证: f (
[来源:学科网 ZXXK]

1 1 ? 1 ? 4a 2 1+ 1 ? 4a 2 时, f ?( x) ? 0 有两个根 x1 ? ? (0,1), x2 ? ? (1, +?), 2 2a 2a 所 以 f ( x) 在 (0, x1 ) 上单调递减, ( x1 , x2 ) 上单调递增, ( x2 ,+?) 上单调递减,所以 f ( x) 至多有 3 个零 点,………12 分

当0?a ?

a2 a2 ) ? 0 , f ( x1 ) ? f (1) ? 0, 所以由零点存在性定理得 ?x0 ? ( , x1 ), f ( x0 ) ? 0, 2 2 1 1 又 f ( ) ? ? f ( x0 ) ? 0, 所以 f ( x) 恰有三个不同零点 , x0 ,1. x0 x0
又因为 f (
1 所以 a 的取值范围为 (0, ). 2

………16 分.

20. (本小题满分 16 分) 在数列 ?an ? , ?bn ? 中,已知 a1 ? 2 , b1 ? 4 ,且 an , ?bn , an ?1 成等差数列, bn , ? an , bn ?1 也成等 差数列. (1)求证: ?an ? bn ? 是等比数列; (2)设 m 是不超过 100 的正整数,求使

an ? m a ?4 ? m 成立的所有数对 (m, n) . an?1 ? m am?1 ? 4

20.解: (1)由 an , ?bn , an ?1 成等差数列可得, ?2bn ? an ? an ?1 ,① 由 bn , ? an , bn ?1 成等差数列可得, ?2an ? bn ? bn ?1 , ②
6

① ? ②得, an ?1 ? bn ?1 ? ?3(an ? bn ) ,

所以 ?an ? bn ? 是以 6 为首项、 ?3 为公比的等比数列. (2)由(1)知, an ? bn ? 6 ? (?3)n?1 ,③ ① ? ②得, an?1 ? bn?1 ? an ? bn ? ?2 , ③ ? ④得, an ?
n ?1



6 ? (?3) ? 2 ? 3 ? (?3) n ?1 ? 1 , 2 an ? m am ? 4 3 ? (?3) n ?1 ? 1 ? m 3 ? (?3) m ?1 ? 3 ? ? 代入 ,得 , an ?1 ? m am ?1 ? 4 3 ? (?3) n ? 1 ? m 3 ? (?3) m ? 3
所以 [3 ? (?3)n?1 ? 1 ? m][3 ? (?3)m ? 3] ? [3 ? (?3)n ? 1 ? m][3 ? (?3)m?1 ? 3] , 整理得, (m ? 1)(?3)m ? 3 ? (?3)n ? 0 , 所以 m ? 1 ? (?3)n?m?1 , 由 m 是不超过 100 的正整数,可得 2 ≤ (?3)n?m?1 ≤101 , 所以 n ? m ? 1 ? 2 或 4 , 当 n ? m ? 1 ? 2 时, m ? 1 ? 9 ,此时 m ? 8 ,则 n ? 9 ,符合题意; 当 n ? m ? 1 ? 4 时, m ? 1 ? 81 ,此时 m ? 80 ,则 n ? 83 ,符合题意. a ?m a ?4 ? m 故使 n 成立的所有数对 ( m, n ) 为 (8,9) , (80,83) . an ?1 ? m am ?1 ? 4

江苏省海门中学 2016 届高三适应性测试
数学Ⅱ附加题部分
21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作 .................. 答 .若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或 . 演算步骤. A.选修 4—1:几何证明选讲(本小题满分 10 分) 如图,四边形 ABCD 是圆的内接四边形,BC= BD,BA 的延长线交 CD 的延长线于点 E. 求证:AE 是四边形 ABCD 的外角 ?DAF 的平分线.

2016.5.29

7

B.选修 4—2:矩阵与变换(本小题满分 10 分) ?x ? ?x '? ?x ? 2 y? -1 已知变换 T: ? y ? ? ? y '? ? ? y ? ,试写出变换 T 对应的矩阵 A ,并求出其逆矩阵 A ? ? ? ? ? ?

C.选修 4—4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 在极坐标系中, 设直线 ? ? π 与曲线 ? 2 ? 10? cos? ? 4 ? 0 相交于 A ,B 两点, 求线段 AB 中点的极坐标 . ... 3 解:将直线 ? ? π 化为普通方程得, y ? 3x , 3 将曲线 ? 2 ? 10? cos? ? 4 ? 0 化为普通方程得, x2 ? y 2 ? 10x ? 4 ? 0 , …… 4 分

? ? y ? 3x , 联立 ? 并消去 y 得, 2 x 2 ? 5 x ? 2 ? 0 , 2 2 ? ? x ? y ? 10 x ? 4 ? 0
解得 x1 ? 1 , x2 ? 2 , 2 所以 AB 中点的横坐标为 化为极坐标为 5 ,π . 2 3
?? ? π , ? 3 C (方法 2)联立直线 l 与曲线 的方程组 ? 2 ? ? ? ? 10 ? cos? ? 4 ? 0 ,

x1 ? x2 5 ? ,纵坐标为 5 3 , 2 2 4

…… 8 分 …… 10 分

? ?

…… 2 分

消去 ? ,得 ? 2 ? 5? ? 4 ? 0 , 解得 ?1 ? 1 , ?2 ? 4 , …… 6 分
8

? π , ? ,即 ? 5 ,π ? . ?? ? 2 3 2 3 (注:将线段 AB 中点的极坐标写成 ? 5 ,π ? 2kπ ? (k ? Z) 的不扣分. ) 2 3
所以线段 AB 中点的极坐标为
1 2

…… 10 分

D.选修 4—4:不等式证明选讲(本小题满分 10 分) 已知 a,b>0,且 a ? b ? 1,求证: 2a ? 1 ? 2b ? 1≤2 2 . 证明:因为

?

2a ? 1 ? 2b ? 1 ≤ (2a ? 1 ? 2b ? 1)(12 ? 12) ? 8,

?

2

…… 8 分 …… 10 分

所以 2a ? 1 ? 2b ? 1≤2 2 .

【必做题】第 22、23 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说 ....... 明、证明过程或演算步骤. 22、如图,抛物线关于 y 轴对称,它的顶点在坐标原点,点 P(2,1), A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 均在抛物线上。 (1)求抛物线的方程; (2)若 ?APB 的平分线垂直于 y 轴,证明直线 AB 的斜率为定值。 解: (1)由题意设抛物线方程为 x2 ? 2 px( p ? 0) 因为点 P(2,1) 在抛物线上,所以 22 ? 2 p ?1 ,得: p ? 2 所以抛物线的方程为 x 2 ? 4 y (2)设 A( x1 ,
x12 x2 ), B ( x2 , 2 ) 4 4
2 x12 x2 ?1 ?1 x ? 2 x2 ? 2 ? 0 ,所以 4 ? 4 ?0? 1 ? ?0 x1 ? 2 x2 ? 2 4 4

…… 4 分

由题意 k AP ? kBP 所以 x1 ? x2 ? ?4

…… 8 分

k AB

2 x12 x2 ? 4 ? x1 ? x2 ? ?1 ? 4 x1 ? x2 4

故直线 AB 的斜率为定值。

…… 10 分

23.已知数列 T: a1,a2,…,an (n∈N*,n≥4)中的任意一项均在集合{-1,0,1}中,且对?i∈N*, 1≤i≤n-1,有|ai+1-ai |=1. (1)当 n=4 时,求数列 T 的个数; (2)若 a1=0,且 a1+a2+…+an≥0,求数列 T 的个数. 【解答】 (1)当 n=4 时,符合条件的数列为:0,1 ,0,-1; 0,1,0,1; 0,-1,0,-1; 0,-1,0,1;1,0,-1,0;1,0,1,0;-1,0,1,0;-1,0,-1,0.共 8 个. (2)①当 n=4k(k∈N*)时, 由 a1=0,得 a3=a5=…=a4k-1=0, 所以 a2,a4,…,a4k 中的每一个任取±1. 又 a1+a2+…+an≥0, 所以 a2,a4,…,a4k 中 1 的个数不小于-1 的个数. 所以数列 T 的个数为: 1 0 1 k 1 2k 1 2k 1 k-1 k k+ 1 2k k C2kk+Ck+ 2k +…+C2k= ( C2k+C2k+…+C 2k +C2k+C 2k +…+C2k)+ C2k= (2 +C2k). 2 2 2
9

②当 n=4k+1(k∈N*)时, 1 则 a1=a3=a5=…=a4k+1=0,同①,可知数列 T 的个数为 (22k+C2kk). 2 ③当 n=4k+2(k∈N*)时,则 a1=a3=a5=…=a4k+1=0, +1 k+2 2k+1 2k 则数列 T 的个数为 C2kk +1+C2k+1+…+C2k+1=2 . ④当 n=4k+3(k∈N*)时,则 a1=a3=a5=…=a4k+3=0, 同③,可知数列 T 的个数为 22k. 1 综上,当 n=4k 或 n=4k+1,k∈N*时,数列 T 的个数为 (22k+C2kk). 2 2k 当 n=4k+2 或 n=4k+3,k∈N*时,数列 T 的个数为 2 . 【说明】本题考查组合计数.要能从已知条件中发现数列 T 所满足的特性,再利用相关的特性求出数列的 个数.

10


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