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江苏省新丰中学2014-2015学年高一数学下学期第二次学情调研试题

江苏省新丰中学 2014—2015 学年第二学期第二次学情调研 高一年级数学试题
一、填空题: (每小题 5 分,共 14 题,合计 70 分) 1. 直线 ax ? y ? ?2和x ? ay ? 6 ? 0 互相垂直,则 a 的值为__________. 2. 若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为________. 3. 已知等比数列{an}中,若 a1 ? 0,a 2 a4 ? 2a3a5 ? a4 a6 ? 25 ,则 a3 ? a5 ? __________ 4. 已知数列{an}中,a1 = 1,3an+1 = 3an + 2,则 an 为__________. 5. 直线 x ? 2 y ? 0 被曲线 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 2 y ? 15 ? 0 截得的弦长等于 6. 直线 .

y ? kx ? 2k ? 3 必过定点,该定点为

.

7. 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,二面角 C1-AB-C 的平面角等于________. 8. 已 知 点 M(a,b) 在 圆 O : x2 ? y 2 ? 1 外 , 则 直 线 ax + by = 1 与 圆 O 的 位 置 关 系 是 . 9. .如图,已知三棱锥 A—BCD 的底面是等边三角形,三条侧棱长都等于 1, 且∠BAC=30°,M、N 分别在 AC 和 AD 上,则 BM+MN+NB 的最小 值为 10. 设等差数列{an}满足 a3=5,a10=-9.求数列{|an|}的前 n 项和 Tn=_______ 11.a,b,c 表示直线,M 表示平面,给出下列四个命题:①若 a∥M,b∥M,则 a∥b;②若

b ? M,a∥b,则 a∥M;③若 a⊥c,b⊥c,则 a∥b;④若 a⊥M,b⊥M,则 a∥b.
⑤a⊥M,b ? M,若 b∥M,则 b⊥a 其中正确命题的序号是 .

12. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 2, an?2 ? an?1 ? an (n ? N * ) , S n 是?a n ?的前 n 项的和,则

S2015=
13. 已知圆 ?x ? 3? ? y 2 ? 4 和过原点的直线 y ? kx 的交点为 P, Q 则 OP ? OQ 的值为
2

_______ 14 设{an}是等差数列, Sn 是其前 n 项和, 且 S5<S6, S6=S7>S8, 则下列结论正确的是________(只 填序号).①d<0;②a7=0;③S9>S5;④S6 与 S7 均为 Sn 的最大值 二、解答题: (第 15、16、17 题每题 14 分,第 18、19、20 题每题 16 分,合计 70 分) 15. 已知直线 l : x ? y ? 1 ? 0 , (1)若直线 l1 过点(3,2)且 l1 // l ,求直线 l1 的方程; (2)若直线 l 2 过 l 与直线 2 x ? y ? 7 ? 0 的交点,且 l 2 ? l ,求直线 l 2 的方程.

1

16 如图,在三棱锥 S-ABC 中,平面 SAB⊥平面 SBC,AB⊥BC,AS=AB,过 A 作 AF⊥SB,垂足为 F,点 E,G 分别是棱 SA,SC 的中点.

求证:(1)平面 EFG∥平面 ABC. (2)BC⊥SA.

17.设数列 ?an ? 满足: a1 ? 1 , an?1 ? 3an , n ? N ? . (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式及前 n 项和 Sn ; (Ⅱ)已知 ?bn ? 是等差数列, Tn 为前 n 项和,且 b1 ? a2 , b3 ? a1 ? a2 ? a3 ,求 T20 .

18. 如图,在矩形 ABCD 中,AB = 4,BC = 3,沿对角线 AC 把矩形折成二面角 D-AC-B,并 且 D 点在平面 ABC 内的射影落在 AB 上. (1)证明:AD⊥平面 DBC; (2)求三棱锥 D-ABC 的体积.; (3)若在四面体 D-ABC 内有一球, 当球的体积最大时,球的半径是多少?

2

19. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) ,直线 l : y ? 2 x ? 4 。设圆 C 的半径为 1 , 圆心在 l 上。 (1)若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M ,使 MA ? 2 MO ,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围。

20. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 3a2 ? 3 a3 ? ? ? 3
2

n ?1

n an ? .(n ? N ? ) 。 3

?1? 求 ?an ? 的通项公式; ? 2 ? 设 bn ?

n ,求数列 ?bn ? 前 n 项和 Sn 。 an

3

4

2014~2015 年度高一第二学期第二次学情调研 (数 学 答题纸) 一.填空题:(70 分) 1. 3. 姓名 线 5. 7. 9. 11. 13. 二.解答题: 15.(14 分) 2. 4. 6. 8. 10. 12. 14.

学号 座位号 密 班级 封

16.(14 分)

5

17.(15 分)

18.(15 分)

6

19.(16 分)

20.(16 分)

7

高一数学模拟试卷答案 解答题 15、解:⑴ 设直线 l1 的方程为 x ? y ? m ? 0 ,? 过点(3,2) ∴ m ? ?5 ⑵ ? ∴直线的方程为 x ? y ? 5 ? 0

?x ? y ? 1 ? 0 ? x ? ?2 ?? ? 交点为 (?2,3) 2 x ? y ? 7 ? 0 y ? 3 ? ?
∵ l2 ? l ∴直线方程为 x ? y ? 5 ? 0

16.【证明】(1)因为 AS=AB,AF⊥SB,垂足为 F,所以 F 是 SB 的中点.又因为 E 是 SA 的中点, 所以 EF∥AB. 因为 EF?平面 ABC,AB? 平面 ABC, 所以 EF∥平面 ABC. 同理 EG∥平面 ABC. 又因为 EF∩EG=E, 所以平面 EFG∥平面 ABC. (2)因为平面 SAB⊥平面 SBC,且交线为 SB,又因为 AF? 平面 SAB,AF⊥SB, 所以 AF⊥平面 SBC,因为 BC? 平面 SBC, 所以 AF⊥BC. 又因为 AB⊥BC,AF∩AB=A,AF? 平面 SAB,AB? 平面 SAB,所以 BC⊥平面 SAB. 又因为 SA? 平面 SAB,所以 BC⊥SA. 17.(Ⅰ)由题设知 ?an ? 是首项为 1, 公比为 3 的等比数列,所以 an ? 3n?1 ,

Sn ?

1 ? 3n 1 n ? 3 ?1 . 1? 3 2

?

?

(Ⅱ) b1 ? a2 ? 3, b3 ? 1 ? 3 ? 9 ? 13, b3 ? b1 ? 10 ? 2d , 所以公差 d ? 5 , 故 T20 ? 20 ? 3 ?

20 ? 19 ? 5 ? 1010 . 2

8

18(1)略(2) (3)如下

19.【解析】(1)由题设知,圆心 C 是直线 y=2x-4 和 y=x-1 的交点,解得点 C(3,2),于是切线 的斜率必存在.设过 A(0,3)的圆 C 的切线方程为 y=kx+3, 由题意,

| 3k ? 1| k 2 ?1

= 1, 解得 k=0 或-

3 , 4

故所求切线方程为 y=3 或 3x+4y-12=0.

9

(2)因为圆心在直线 y=2x-4 上,所以圆 C 的方程为 (x-a) +[y-2(a-2)] =1. 设点 M(x,y),因为 MA=2MO,
2 2 2 2 所以 x ? ( y ? 3) ? 2 x ? y ,
2 2

化简得 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 , 所以点 M 在以 D(0,-1)为圆心,2 为半径的圆上. 由题意知,点 M(x,y)在圆 C 上,所以圆 C 与圆 D 有公共点, 则 2-1≤CD≤2+1,
2 2 即 1≤ a ? (2a ? 3) ≤3.

由 5a -12a+8≥0,得 a∈R; 由 5a -12a≤0,得 0≤a≤错误!未找到引用源。. 所以圆心 C 的横坐标 a 的取值范围为[0, 错误!未找到引用源。]. 20、解:⑴当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2a1 ? 2 ∴ a1 ? 2
2

2

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2an ? 2 ? (2an?1 ? 2) ? 2an ? 2an?1 ∴ an ? 2an?1 ∴ an 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,即 an ? 2n 由题意可知,

bn ? b1 bn ? b1 ? ? 2 ∴ bn ? 2n ? 1 n ?1 n ?1
b 2 n?1

⑵ 由⑴可知: ab n ? 2 n ? 2 数列 ab



? n ?的前 n 项和为 2

1

? 23 ? 25 ? ? 22 n?1 ?
n?1

2 ? 22 n?1 ? 4 22 n?1 ? 2 ? 1? 4 3

由⑴可知: ba n ? 2an ?1 ? 2 数列 ?ba n ? 的前 n 项和为

?1 ,

10

???22 ? 1 ? 23 ? 1 ? 24 ? 1 ? ? ? 2n ?1 ? 1 ? (22 ? 23 ? 24 ? ? ? 2n ?1 ) ? (1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1) 22 ? 2n ?1 ? 2 ?n 1? 2 ? 2n ? 2 ? n ? 4 ?

21、解法一: B(a,0), D(0, b), C (a, b) 则 a ? b ? 12 ∴直线 AC 的方程为 bx ? ay ? 0 ∵B 与 B’关于 AC 对称 ∴ B' (

a 3 ? ab2 2a 2 b 12a 2 ? 72a 12a 2 ? a 3 , ) B ' ( , )) (或 a2 ? b2 a2 ? b2 a 2 ? 12a ? 72 a 2 ? 2a ? 72
2ab x a ? b2
2

∴AB’的方程为 y ? ∵CD 的方程为 y ? b

① ②

12 a ? 72 a2 ? b2 ,12 ? a ) , b) 即 ( ①②联立,得 P 点的坐标为 ( a a

S ?ADP ?

1 12a ? 72 6a ? 36 (a ? 6) ? ? b? ? (12 ? a ) ? ? 6?(12 ? a ) ? 2 a a a ? ? ?

? a 2 ? 18a ? 72 ? 6? a 72 ? 6(18 ? a ? ) a 72 ? 6(18 ? 2 a ? ) a ? 6(18 ? 12 2 ) ? 36(3 ? 2 2 ) ? 108 ? 72 2
当a ?

72 即 a ? 6 2 时, ?ADP 取得最大值 108? 72 2 a

其他解法:设 B' (m, n) ,则有 AB' ? a, B' C ? b ,利用两点间距离公式可以得到 B ' 的坐标. 利用 DB’(与 AC 平行)与 AB’(倾斜角是 AC 的 2 倍)的交点也可以得到 B ' 的坐标. 利用 PA=PC 也可以得到 P 点坐标.

11


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