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3.1变化率与导数习题课


§3.1 变化率与导数的应用
1.函数的变化率 定义 平均 函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化 f?x2?-f?x1? 变化 Δy 率为 ,简记作: . Δx x2-x1 率 函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变 瞬时 化率是函数 f(x)从 x0 到 x0+Δx 的 变化 平均变化率在 Δx→0 时的极限, 率 f?x0+Δx?-f?x0? Δy 即lim = lim Δx→0 x? 0 Δx Δx 实例 ①平均速度; ②曲线割线的斜率. ①瞬时速度:物体在某一时 刻的速度; ②切线斜率.

2.导数的概念:一般地,函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是 Δy lim = x? 0 Δx f?x0+Δx?-f?x0? lim ,我们称它为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,记 Δx→0 Δx 为 f′(x0)或 y′|x=x0 f?x0+Δx?-f?x0? Δy 即 f′(x0) = lim =lim Δx→0 x? 0 Δx Δx 3. 导数 f′(x0)表示函数 f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率, 反映了函 数 f(x)在 x=x0 附近的变化情况(快慢) . 4.导数的几何意义 函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是曲线在该点的 切线斜率,相应地,曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线方程为 y -f(x0)=f′(x0)· (x-x0). 5.导函数 如果把 y=f(x)看做是物体的运动方程,那么导数 f′(x0)表示运 动物体在时刻 x0 的瞬时速度. 当 x=x0 时,f′(x0)是一个确定的数.这样,当 x 变化时,f′(x) 便是 x 的一个函数, 称它为 f(x)的导函数 (简称导数), 有时记作 y′, f?x+Δx?-f?x? 即 f′(x)=y′=lim . Δx→0 Δx

练习题
一、选择题 1. 当自变量从 x0 变到 x1 时, 函数值的增量与相应自变量的增量 之比是函数( A ) A.在[x0,x1]上的平均变化率 B.在 x0 处的变化率 C.在 x1 处的变化率 D.以上都不对 2.已知函数 f(x)=2x2-1 的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+Δx, Δy f(1+Δx)),则 等于( B ) Δx A.4 B.4+2Δx 2 C.4+2(Δx) D.4x 解析:∵Δy=f(1+Δx)-f(1) =2(1+Δx)2-1-2×12+1=4Δx+2(Δx)2, 2 Δy 4Δx+2?Δx? ∴ = =4+2Δx. Δx Δx 3 . 如 图 , 函 数 y = f(x) 在 A , B 两 点 间 的 平 均 变 化 率 是 B )

(

A.1 解析:

B.-1 C.2 Δy f?3?-f?1? 1-3 = = =-1. Δx 2 3-1

D.-2

4 . 设 f(x) 在 x = x0 处 可 导 , 则 lim x? 0 ( A ) A.-f′(x0) C.f′(x0)

f?x0-Δx?-f?x0? 等于 Δx

B.f′(-x0) D.2f′(x0) f?x0-Δx?-f?x0? f?x0?-f?x0-Δx? 解析: Δx→0 lim =lim - Δx→0 Δx Δx f?x0?-f?x0-Δx? =-lim =-f′(x0). Δx→0 Δx

3 5. 已知 f(x)=-x2+10, f(x)在 x= 处的瞬时变化率是( B ) 则 2 A.3 B.-3 C.2 D.-2 ?3 ? ?3? f?2+Δx?-f?2? ? ? ? Δy ? 解析: ∵ = =-Δx-3, Δx Δx Δy ∴lim =-3. Δx→0Δx 1 6.一物体的运动方程是 s= at2(a 为常数),则该物体在 t=t0 时 2 的瞬时速度是( A ) 1 A.at0 B.-at0 C. at0 D.2at0 2 Δs s?t0+Δt?-s?t0? 1 Δs 解析: ∵ = = aΔt+at0,∴lim =at0. Δt→0 Δt Δt Δt 2 7. 已知曲线 y=2x3 上一点 A(1,2), A 处的切线斜率等于( D ) 则 A.2 B.4 2 C.6+6Δx+2(Δx) D.6 3 解析: ∵y=2x , 2?x+Δx?3-2x3 Δy ∴y′=lim =lim Δx→0Δx Δx→0 Δx 3 2 2 2?Δx? +6x?Δx? +6x Δx =lim =lim [2(Δx)2+6xΔx+6x2]=6x2. →0 Δx Δx→0 Δx ∴y′|x=1=6.∴点 A(1,2)处切线的斜率为 6. 8.如果曲线 y=f(x)在点(2,3)处的切线过点(-1,2),则有( C ) A.f′(2)<0 B.f′(2)=0 C.f′(2)>0 D.f′(2)不存在 解析:由题意知切线过(2,3),(-1,2), 2-3 -1 1 ∴k=f′(2)= = = >0. -1-2 -3 3 9.下面说法正确的是( C ) A.若 f′(x0)不存在,则曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线 B.若曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则 f′(x0)必存在 C.若 f′(x0)不存在,则曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜 率不存在 D.若曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线,则 f′(x0)有可能 存在 解析: f′(x0)的几何意义是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的 斜率.

10. 若曲线 y=h(x)在点 P(a, h(a))处的切线方程为 2x+y+1=0, 那么 ( B ) A.h′(a)=0 B.h′(a)<0 C.h′(a)>0 D.h′(a)不确定 解析: 2x+y+1=0,得 y=-2x-1, 由导数的几何意义知,h′(a)=-2<0. 11. f′(x0)=0, 设 则曲线 y=f(x)在点(x0, 0))处的切线( B ) f(x A.不存在 B.与 x 轴平行或重合 C.与 x 轴垂直 D.与 x 轴相交但不垂直 解析:曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率为 0,切线与 x 轴平行或重合. 12.已知函数 f(x)的图象如图所示,下列数值的排序正确的是 ( B )

A.0<f′(2)<f′(3)<f(3)-f(2) B.0<f′(3)<f(3)-f(2)<f′(2) C.0<f′(3)<f′(2)<f(3)-f(2) D.0<f(3)-f(2)<f′(2)<f′(3) 解析:根据导数的几何意义,在 x∈[2,3]时, 曲线上 x=2 处切线斜率最大, f?3?-f?2? k= =f(3)-f(2)>f′(3). 3-2 1 13.用导数的定义,求函数 y=f(x)= 在 x=1 处的导数. x 1 1 解 ∵Δy=f(1+Δx)-f(1)= - 1 1+Δx 1- 1+Δx -Δx = , 1+Δx 1+Δx· ?1+ 1+Δx? -1 Δy ∴ = , Δx 1+Δx· ?1+ 1+Δx? -1 -1 Δy 1 ∴lim =lim = =- , Δx→0 Δx Δx→0 1+Δx· 2 ?1+ 1+Δx? 1+0· ?1+ 1+0? 1 ∴y′|x=1=f′(1)=- . 2 =

14.求过点 P(-1,2)且与曲线 y=3x2-4x+2 在点 M(1,1)处的切 线平行的直线方程. 解析:由题意知,Δy=3(1+Δx)2-4(1+Δx)+2-3+4-2 =3Δx2+2Δx, Δy ∴y′=lim =2. →0 Δx Δx ∴所求直线的斜率 k=2. 则直线方程为 y-2=2(x+1),即 2x-y+4=0. 15. 如图, 函数 y=f(x)的图象在点 P 处的切线方程是 y=-x+8, 求 f(5)+f′(5)的值.

解析 ∵点 P 在切线上,∴f(5)=-5+8=3, 又∵f′(5)=k=-1, ∴f(5)+f′(5)=3-1=2. 16.求过点 P(1,-3)且与曲线 y=x2 相切的直线的斜率.

解析:设切点坐标为(x0,y0),则有 y0=x2. 0 2 2 ?x+Δx? -x Δy 因 y′=lim =lim =2x. Δx→0Δx Δx→0 Δx

∴k=y′|x=x =2x0.
0

因切线方程为 y-y0=2x0(x-x0), 将点(1,-3)代入,得:-3-x2=2x0-2x2, 0 0 2 ∴x0-2x0-3=0,∴x0=-1 或 x0=3. ∴当 x0=-1 时,k=-2; 当 x0=3 时,k=6. ∴所求直线的斜率为-2 或 6.


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