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浅谈数学美的表现形式

宜宾学院 毕 业 论 文
论文题目 姓 名 数学美 曾娜娜 数学系 专业 教育 12 级 5 班 宜宾市七中 15284193745 刘志平 2015.3

院(系) 班 级

实习单位 电话号码 指导老师 完成时间

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数学美
【摘要】
爱美之心,人皆有之,人们执著地追求美。但什么是美?却只能意会,不能言传。然 而当我们聆听一首优美的乐曲,观看一幅精美的图画,或置身于幽雅的大自然中,我们便 会全身心地感到愉悦,受到一种美的陶冶。 可是除了艺术的美、大自然的美外,人们是否想到科学也有美,数学也有美呢?有不 少中小学生认为学习数学很艰苦、枯燥无味,不存在什么美感的问题。只是为了考试,为 了升学而不得不学习数学。 数学果真无美感可言吗?否。古今中外有许多知名学者都认为 数学是美的,并作过精辟的论述。 古希腊学者毕达哥拉斯说: “美就是和谐,整个天体是一种和谐,宇宙的和谐是由数组 成的,因而构成了整个宇宙的美。 ” 英国哲学家、数学家罗素认为: “数学,如果正确地看它,不但拥有至高的美,是一种 冷而严肃的美。这种美不是投合我们天性脆弱的方面,这种美没有绘画或者音乐那种华丽 的装饰, 它可以纯净到崇高的地步, 能够达到只有伟大的艺术才能谱写的那种完美的境地。 ” 这就道出了美的特殊性。 香港旅美数学家、菲尔兹奖获得者丘成桐说: “数学家寻美的境界,讲求简单的定律, 解决实际问题,而这些因素都永远不会远离世界。 ”即数学有取之不尽的源泉。
数学美的表现形式是多种多样的,从数学内容看,有概念之美、公式之美、体系之美等;从数学的 方法及思维看,有简约之美、类比之美、抽象之美、无限之美等;从狭义美学意义上看,有对称之美、 和谐之美、奇异之美等。

【关键词】语言美

和谐美

奇艺美

对称美

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【引言】 在高中的时候,我学习不好,因为成绩不好的原因渐渐的也不怎么喜欢读书了。那时 我的数学老师是一个快要退休的男老师(我们班的学生都叫他梅爷) ,他人特别的慈祥也很 关心学生,时不时的再上课的时候讲一个,两个冷笑话来调节一下气氛。每次当我昏昏欲 睡的时候总会被他讲的幽默笑话给弄醒了。我很喜欢梅爷,也喜欢他讲的笑话,因此喜欢 上了数学,顺理成章的来到了数学系。记得一次在数学课上老师给我们看来一些图片(这 些图片特别的奇妙明明是一副静的图片,可是看起来确是动的)当时就被这些图片给震撼 住了,居然数学中还存在着这么多好玩儿的东西!现在的我数学根本谈不上什么造诣,但 是却总有一种好奇心激励着我去了解数学的美。伽利略曾今说过: “自然这部书由数学语言 写成的,哪里有数学,哪里就有美” 。数学是美的,数学是美的科学。数学美的表现形式是 多种多样的,从内容来看,有概念之美、公式之美、体系之美等;从数学的方法及思维看, 有简约之美、类比之美、抽象之美、无限之美等;从狭义美学意义上看,有对称之美、和 谐之美、奇异之美等。 1 语言美 数学有着自身特有的语言———数学语言,其中包括: 1.1 数的语言——符号语言 关于“ ? ” , 《九章算术》 如斯说: “割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可 割,则与圆合体,而无所失矣” ;面对“ 2 ”这一差点被无理的行为淹没的无理数,我们 一直难以忘怀那位因发现“边长为 1 的正方形,其对角线长不能表示成整数之比”这一“数 学悖论”而被抛进大海的希帕索斯(公元前五世纪毕达哥拉斯学派成员) 。还有 sin α 、 ∞ 等等,一个又一个数的语言,无不将数的完美与精致表现得淋漓尽致。 1.2 形的语言——视角语言 从形的角度来看——对称性 ( “中心对称” 、 “轴对称” 演绎了多少遥相呼应的缠绵故事) ; 比例性(美丽的“黄金分割法”分出的又岂止身材的绝妙配置?) ;和谐性(如对数中:对 数记号、底数以及真数三者之间的关联与配套实际上是一种怎样的经典的优化组合! ) ;鲜 明性( “最大值” 、 “最小值” 让我们联想起——“山的伟岸”与“水的温柔” ,并深切地感 悟到:有山有水的地方,为何总是人杰地灵的内在神韵??)和新颖性(一个接一个数学 “悖论”的出现,保持了数学乃至所有自然科学的新鲜与活力)等等。 2.简洁美

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爱因期坦说过: “美,本质上终究是简单性。 ”他还认为,只有借助数学,才能达到简 单性的美学准则。朴素,简单,是其外在形式。只有既朴实清秀,又底蕴深厚,才称得上 至美。 欧拉给出的公式:V-E+F=2,堪称“简单美”的典范。世间的多面体有多少?没 有人能说清楚。但它们的顶点数V、棱数E、面数F,都必须服从欧拉给出的公式,一个 如此简单的公式,概括了无数种多面体的共同特性,能不令人惊叹不已?! 在数学中,像欧拉公式这样形式简洁、内容深刻、作用很大的定理还有许多。比如: 圆的周长公式:C=2π R 勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方 + = 。 正弦定理:Δ ABC的外接圆半径R,则
a b c ? ? ? 2R sin A sin B sinC

数学的这种简洁美,用几个定理是不足以说清的,数学历史中每一次进步都使已有的 定理更简洁。正如伟大的希而伯特曾说过: “数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和 更简单的方法的发现密切联系着” 。 庞加莱指出: “在解中,在证明中,给我们以美感的东西是什么呢?是各部分的和谐, 是它们的对称,是它们的巧妙、平衡” 。 3.和谐美 美是和谐的.和谐性也是数学美的特征之一.和谐即雅致、严谨或形式结构的无矛盾 性. 没有那门学科能比数学更为清晰的阐明自然界的和谐性。 数论大师赛尔伯格曾经说,他喜欢数学的一个动机是以下的公式: ? 1 ? ? ? ? ,这
4

?

1 3

1 5

个公式实在美极了,奇数 1、3、5、?这样的组合可以给出? ,对于一个数学家来说,此公 式正如一幅美丽图画或风景。 欧拉公式: e i? ? ?1 ,曾获得“最美的数学定理”称号。欧拉建立了在他那个时代,数 学中最重要的几个常数之间的绝妙的有趣的联系,包容得如此协调、有序。与欧拉公式有 关的棣美弗-欧拉公式是 cos? ? i sin ? ? ei? (1) 。这个公式把人们以为没有什么共同性的 两大类函数――三角函数与指数函数紧密地结合起来了。对他们的结合,人们始则惊诧, 继而赞叹――确是“天作之合” 。 数学最伟大的和谐美要从黄金分割说起了。黄金分割又称黄金律,是指各部分间一定

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的数学比例关系,即将整体一分为二,较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比, 其比值为 1∶0.618 或 1.618∶1,即长段为全段的 0.618。0.618 被公认为最具有审美意义 的比例数字。上述比例是最能引起人的美感的比例,因此被称为黄金分割。 在正五边形中,边长与对角线的长的比例为黄金分割。在自然界中黄金分割也广泛的 存在,比如说向光的相邻两片叶子的也柄的的角度大部分是成 137 度 28 分的,而这个角度 恰好是把一个圆分成为 1:0.618,又是一个完美的黄金分割。这有什么原因呢?原来当植 物的相邻叶子呈这个角度分配的时候可以最大限度的吸收阳光,最大化的利用了阳光,为 植物自己的生长常创造了良好的条件。甚至在人体上也有大量的黄金分割,人的肚脐到脚 的距离与让你的身高之比为黄金分割,人的鼻尖到额头顶的距离与人的整个头的长度的比 为黄金分割比,一只眼睛与头的宽度之比也为黄金分割。被誉为美神的维纳斯像就是按照 黄金分割比来雕刻的。在建筑学中黄金分割的地位更不用说。建筑物的窗口,宽与高度的 比一般为 ;伟大的金字塔,巴黎圣母院都存在着大量的关于黄金分割的比例。当气温为 23 摄氏度时,人感到最舒服,此时 23:37(体温)约为 0.618;名画的主题,大都画在画 面的 0.618 处,弦乐器的声码放在琴弦的 0.618 处,会使声音更甜美。建筑设计的精巧、 人体科学的奥秘、美术作品的高雅风格,音乐作品的优美节奏,交融于数的对称美与和谐 美之中。 黄金分割比在许多艺术作品中、在建筑设计中都有广泛的应用。达·芬奇称黄金分割 比? ?
??
5 ?1 为“神圣比例” .他认为“美感完全建立在各部分之间神圣的比例关系上” 。与 2

5 ?1 有关的问题还有许多, “黄金分割” 、 “神圣比例”的美称,她受之无愧。 2

4.奇异美 全世界有很大影响的两份杂志曾联合邀请全世界的数学家们评选 “近 50 年的最佳数学 问题” ,其中有一道相当简单的问题:有哪些分数 ab ,不合理地把 b 约去得到 a ,结果却
bc c

是对的? 经过一种简单计算,可以找到四个分数:
16 26 19 49 。这个问题涉及到“运算谬误, , , , 64 65 95 98

结果正确”的歪打正着,在给人惊喜之余,不也展现一种奇异美吗。 还有一些“歪打正着等式” ,比如

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5 2 2 ? 9 ? 2592

25 5 25 2 ? ? 25 31 31 1 2 1 11 ? 9 ? 1129 3 3

人造卫星、行星、彗星等由于运动的速度的不同,它们的轨道可能是椭圆、双曲线或 抛物线,这几种曲线的定义如下:到定点距离与它到定直线的距离之比是常数e的点的轨 迹, 当e<1时,形成的是椭圆.当e>1时,形成的是双曲线.当e=1时,形成的是 抛物线. 常数e由 0.999 变为 1、变为 0.001,相差很小,形成的却是形状、性质完全不同的曲 线。而这几种曲线又完全可看作不同的平面截圆锥面所得到的截线。 椭圆与正弦曲线会有什么联系吗?做一个实验,把厚纸卷几次,做成一个圆筒。斜割 这一圆筒成两部分。如果不拆开圆筒,那么截面将是椭圆,如果拆开圆筒,切口形成的即 是 正弦曲线。这其中的玄妙是不是很奇异、很美。 5.对称美 在古代“对称”一词的含义是“和谐” 、 “美观” 。毕达哥拉斯学派认为,一切空间图形 中,最美的是球形;一切平面图形中,最美的是圆形。圆是中心对称圆形—―圆心是它的 对称中心,圆也是轴对称图形—―任何一条直径都是它的对称轴。 梯形的面积公式:S=
( a ? b) h , 2

(a ? a n ) n 等差数列的前n项和公式: S n ? 1 , 2

其中a是上底边长,b是下底边长,其中a 1是首项,an是第n项,这两个等式中, a与a1是对称的,b与an是对称的。h 与 n 是对称的。 回文数字:任意某一个数通过以下方式相加也可得到算式, 如:29+92=121 还有 194+491=685,586+685=1271,1271+1721=2992 另外个别平方数是回文数 1 的平方等于 1 11 的平方等于 121 111 的平方等于 12321

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1111 的平方等于 1234321 ?? ?? 依次类推 3×51=153 6×21=126 4307×62=267034 9×7×533=33579 上面这些算式,等号左边是两个( 或三个)因数相乘,右边是它们的乘积。如果把每个算 式中的“×”和“=”去掉,那么,它们都变成回文数,所以,我们不妨把这些算式叫做“回 文算式” 。 对称美的形式很多,对称的这种美也不只是数学家独自欣赏的,人们对于对称美的追 求是自然的、朴素的。如我们喜爱的对数螺线、雪花,知道它的一部分,就可以知道它的 全部。李政道、杨振宁也正是由对称的研究而发现了宇称不守恒定律。从中我们体会到了 对称的美与成功。 6.创新美 欧几里得几何曾经是完美的经典几何学,其中的公理 5: “过直线外一点有且只有一 条直线与已知直线平行”和结论“三角形内角和等于二直角” ,这些似乎是天经地义的绝对 真理。但罗马切夫斯基却采用了不同公理 5 的结论: “过直线外一点至少有两条直线与已知 直线平行” ,在这种几何里, “三角形内角和小于二直角” ,从而创造了罗氏几何。黎曼几何 学没有平行线。这些与传统观念相违背的理论,并不是虚无飘渺的,当我们进行遥远的天 文测量时,用罗氏几何学是很方便的,原子物理、狭义相对论中也有应用;而爱因斯坦建 立的广义相对论中,较多地利用了黎曼几何这个工具,才克服了所遇到的数学计算上的困 难。每一个理论都在需要不断创新,每一个奇思妙想、每一个似乎不合理又不可思议的念 头都可能开辟新的天地。这种开阔了我们的视野、开阔了我们心胸、给我们完全不同感受 的难到不是切入肌肤的美吗?如果我们再大胆设想一下,是不是还存在一个能包容欧氏几 何和非欧几何的更广泛的几何学呢?事实上,通过高斯曲率可以将三种几何统一在曲面的 内在几何学中,还可以通过克莱因几何学与变换群的观点将三种几何统一起来。在不断创 新的过程中,数学得到了发展。

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7.统一美 数的概念从自然数、分数、负数、无理数,扩大到复数,经历了无数次坎坷,范围不 断扩大了,在数学及其他学科的作用也不断地增大。那么,人们自然想到能否再把复数的 概念继续推广。 英国数学家哈密顿苦苦思索了 15 年,没能获得成功。后来,他“被迫作出妥协” ,牺 牲了复数集中的一条性质,终于发现了四元数,即形为 a1+a2i+a3j+a4k (a1 ,a2 ,a3 ,a4 为 实数) 的数, 其中i、 j、 k如同复数中的虚数单位。 若 a3 =a4 =0, 则四元数 a1+a2i+a3j+a4k 是一般的复数。四元数的研究推动了线性代数的研究,并在此基础上形成了线性代数理论。 物理学家麦克斯韦利用四元数理论建立了电磁理论。 数学的发展是逐步统一的过程。统一的目的也正如希而伯特所说的: “追求更有力的工 具和更简单的方法” 。 爱因斯坦一生的梦想就是追求宇宙统一的理论。 他用简洁的表达式 E=mc2 揭示了自然界 中质能关系,这不能不说是一件统一的艺术品。但他还是没有完成统一的梦想。人类在不 断探寻着纷繁复杂的世界,又在不断地用统一的观点认识世界,宇宙没有尽头,统一美也 需要永远的追求。 8. 类比美 解析几何中的代数语言具有意想不到的作用,因为它不需要从几何考虑也行。考虑方 程 + =25 我们知道,它是一个圆。圆的完美形状,对称性,无终点等都存在在哪里呢? 在方程之中!例如(x,y)与(x,-y)对称,等等。代数取代了几何,思想取代了眼睛!在这个 代数方程的性质中,我们能够找出几何中圆的所有性质。这个事实使得数学家们通过几何 图形的代数表示,能够探索出更深层次的概念。那就是四维几何。我们为什么不能考虑下 述方程呢?
+ + + =25

以及形如的方程呢?这是 + + + + =25 个伟大的进步。仅仅靠类比,就从三维空间进 入高维空间,从有形进入无形,从现实世界走向虚拟世界。这是何等奇妙的事情啊!用宋 代著名哲学家程颢的诗句可以准确地描述这一过程:道通天地有形外,思入风云变态中。 9.抽象美、自由美 从初等数学的基本概念到现代数学的各种原理都具有普遍的抽象性与一般性。正如开 普勒所说的: “对于外部世界进行研究的主要目的, 在于发现上帝赋予它的合理次序与和谐, 而这些是上帝以数学语言透露给我们的” 。 数学的第一特征在于她具有抽象思维的能力,在数学中所处理的是抽象的量,是脱离

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了具体事物内容的用符号表示的量。它可以成为任何一个具体数的代数,但它又不等于任 何具体数。比如“N”表示自然数,它不是 N 个岗位,N 只鸡或 N 张照片??也不是哪一个 具体的数,分不清是 0 ?是 1?或者说 100???“知道”中蕴含着“不知道” , “具体” 中充满了“不具体” ,它就是这样一个抽象的数! 达·芬奇是 15 至 16 世纪的一位艺术大师和科学巨匠。他用一句话概括了他的《艺术 专论》的思想: “欣赏我的作品的人,没有一个不是数学家” 历史上不少著名人物都迷恋音乐,大数学家克兰纳克就是一例。一位数学王子何以如 此迷恋音乐?原因也许是多方面的,依我看,最重要的一点就是数学和音乐均为一种抽象 语言,它们都充满了抽象美、自由美。而且,数学和音乐还是两个人造的金碧辉煌的世界, 前者仅用十个阿拉伯数字和若干符号便造出了一个无限的、绝对真的世界,后者仅用五条 线和一些蝌蚪状的音符就造出了一个无限的、绝对美的世界。如果说,音乐是人类感情活 动最优美的表现,那么数学便是人类理性活动最惊人的产品。 10.辩证美 熟悉数学的人都体会到在数学中充满着辩证法。如果说各门科学都包含着丰富的辩证 思想,那么,数学则有自己特殊的表现方式,即用数学的符号语言以及简明的数学公式能 明确地表达出各种辩证的关系和转化。 例如:初等数学中:点与坐标的对应;曲线与方程之间的关系;概率论和数理统计所 揭示出的事物的必然性与偶然性的内在联系等。以及高三数学里所涉及的:极限概念,特 别是现代的极限语言,很好地体现了有限与无限,近似和精确的辩证关系;牛顿——莱布 尼茨公式描述了微分和积分两种运算方式之间的联系和相互转化等等。 这类事例在数学中比比皆是。当然,要真正掌握好“数学美” ,仅仅知道一些数学知识 还是远远不够的,还必须善于发现各种数学结构、数学运算之间的关系,建立和运用它们 之间的联系和转化。唯其如此,才能发挥出蕴藏在数学中的辩证思维的力量。数学中 许多计算方法之灵巧,证明方法之美妙,究其思路,往往就是综合利用了各种关系并对他 们进行过适宜的转化而成的。 掌握了“两优择其重,两劣择其轻”这一辩证的比较思想,我们就掌握了解这类题目 的钥匙。其实,全部数学无处不在贯彻“两优择其重,两劣择其轻”这一原则。数学无处 不体现着辩证法,数学家们无时不在用辩证的眼光看问题。陈省身教授 80 年代在北大讲学 时说:“人们常说,三角形内角和等于 180°,但是,这是不对的!”??“说三角形内

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角和为 180°不对,不是说这个事实不对,而是说这种看问题的方法不对。应该说三角形 外角和是 360°!把眼光盯住内角,只能看到:三角形内角和是 180°;四边形内角和是 360°;五边形内角和是 540°??n 边形内角和是 (n-2 )×180°,虽然找到了一个计 算内角和的公式,但公式里包含边数 n。如果看外角呢?三角形外角和是 360°,四边形外 角和是 360°,五边形外角和是 360°,??,n 边形外角和是 360°。 这就把多种情况用一个十分简单的结论概括起来了,用一个与 n 无关的常数代替了与 n 有关的公式,找到了更一般的规律。”其实,数学又何尝不是美学?

总结 :数学的力量是无穷的,数学美犹如但丁神曲中的诗句,优美和谐的乐曲,别具
一格的绘画,雄伟壮美的建筑,同样会使数学学习者们激情荡漾,兴趣盎然!数学之美, 还可以从更多的角度去审视,而每一侧面的美都不是孤立的,她们是相辅相成、密不可分 的。她需要人们用心、用智慧深层次地去挖掘,更好地体会她的美学价值和她丰富、深隧 的内涵和思想,及其对人类思维的深刻影响。如果在学习过程中,我们能与数学家,教师 们一起探索、发现,从中获得成功的喜悦和美的享受,那么我们就会不断深入其中,欣赏 和创造美。相信我们的数学学习一定能够取得更好的学习效果。 谢辞: 从论文选题到搜集资料,从写稿到反复修改,期间经历了喜悦、聒噪、痛苦和 彷徨,在写作论文的过程中心情是如此复杂。如今,伴随着这篇毕业论文的最终成稿,复 杂的心情烟消云散,自己甚至还有一点成就感。那种感觉就宛如在一场盛大的颁奖晚会上, 我在晚会现场看着其他人一个接着一个上台领奖,自己却始终未能被念到名字,经过了很 长很长的时间后,终于有位嘉宾高喊我的大名,这时我忘记了先前漫长的无聊的等待时间, 欣喜万分地走向舞台,然后迫不及待地开始抒发自己的心情,发表自己的感想。这篇毕业 论文的就是我的舞台,以下的言语便是有点成就感后在舞台上发表的发自肺腑的诚挚谢意 与感想: 我要感谢,非常感谢我的导师刘志平老师。她为人随和热情,治学严谨细心。在闲聊 中她总是能像知心朋友一样鼓励你,在论文的写作和措辞等方面她也总会以“专业标准” 严格要求你,从选题、定题开始,一直到最后论文的反复修改、润色,刘老师始终认真负 责地给予我深刻而细致地指导,帮助我开拓研究思路,精心点拨、热忱鼓励。正是刘老师 的无私帮助与热忱鼓励,我的毕业论文才能够得以顺利完成,谢谢刘老师。

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参考文献:
[1]《九章算术》,江苏人民出版社 [2]张建国,《复变函数与积分变换》,机械工业出版社 [3]达·芬奇,《艺术专论》,湖南出版社 [4]卢万兵,《数学教学研究》—奇妙的“黄金分割”,2006 年 11 期 [5] 张维忠.文化视野中的数学与数学教育[M].北京:人民教育出版社,2005. [6] 李毓佩.好玩的数和形——数学好玩丛书[M].北京:长虹公司出版社,2004. [7] 杨之.中国数学月刊——趣谈回文数[J],2003 年第 07 期.

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