当前位置:首页 >> 数学 >>

离散型随机变量及其分布_图文

§2.2离散型随机变量及其分布律
如果随机变量的取值是有限个或可数个 (即能与自然数的集合一一对应),则称该变
量为离散型随机变量。
为了描述随机变量 X ,我们不仅需要知 道随机变量X的所有可能取值,而且还应知道 X 取每个值的概率.为此我们有以下定义:
1

定义 设X是一个离散型随机变量,它可

能取值为 x1, x2 ,?, xk ,?,并且取各个值的
对应概率为 p1, p2 ,?, pk ,?, 即
P( X ? xk ) ? pk (k ? 1,2,?)
则称上式为离散型随机变量X的概率分布,又

称分布律。

分布律也可以通过列表表示:

X

x1 x2 ? xk ?

P

p1 p2 ? pk ?

其中第一行表示随机变量所有可能的取

值,第二行表示这些取值所对应的概率。 2

分布律的性质
? pk ? 0, k ? 1,2,?
?
? ? pk ? 1
k ?1

非负性 规范性

反过来,假如有一列数 ?pk ? 满足
?
pk ? 0 且 ? pk ? 1 k ?1
则该数列可以定义为某离散型随机变量的分 布律。
3

例1 如右图所示,从中任取3个

球。取到的白球数X是一个随机变

量。X可能取的值是0,1,2。取每个值的概率为

P

(

X

?0)?CC5333

?1 10

P(

X

?1)?CC32C53 21

?6 10

P(

X

?2)?CC31C53 22

?3 10

其分布律为
X 012
pk 0.1 0.6 0.3

4

例2 某射手连续向一目标射击,直到命中
为止,已知他每发命中的概率是p,求所需射
击发数X的概率函数分布列. 解: 显然,X 可能取的值是1,2,… ,
设 Ak = {第 k 发命中},k ? 1,2,? ,
于是
P(X ?1)?P(A1)? p P(X ?2)?P(A1A2 )? (1? p) p P(X ?3)?P( A1A2 A3)? (1? p)2 p
5

类似地,有
P(X ?k)?(1? p)k?1?p, k ? 1,2,?
这就是求所需射击发数X的分布列.
称 X 服从参数为 p 的几何分布。
对于离散型随机变量,如果知道了它的 概率函数,也就知道了该随机变量取值的概率 规律.下一节,我们将介绍连续型随机变量。
6

例3 进行独立重复试验,每次成功的概率为p, 令X表示直到出现第m次成功为止所进行的试 验次数,求X的分布律。 解:m=1时, P{X ? k} ? (1? p)k?1 p, k ?1,2,...
m>1时,X的全部取值为:m,m+1,m+2,…
P{X=m+1}=P{第m+1次试验时成功并 且在前m次试验中成功了m-1次}
7

常见的离散型随机变量的分布 (1) 0 – 1 分布

X = xk 1

0

Pk

p 1-p

0<p<1

应用场合 凡试验只有两个可能的结果,常用 0 – 1分布描述,如产品是否合格、人口性别统 计、系统是否正常、电力消耗是否超标等等.

注 其分布律可写成

P( X ? k) ? pk (1? p)1?k , k ? 0,1

8

(2) 二项分布 n 重Bernoulli 试验中, X 是事件A 在 n 次试 验中发生的次数 , P (A) = p ,若
Pn (k) ? P( X ? k) ? Cnk pk (1? p)n?k , k ? 0,1,?, n
则称 X 服从参数为n, p 的二项分布,记作
X ~ B(n, p)
0–1 分布是 n = 1 的二项分布
9

二项分布的取值情况 设

X

~

B( 8,

1 3

)

P8 (k)

?

P( X

? k) ? C8k ( 13)k (1?

)1 8?k 3

,

k ? 0,1,?,8

0 1 2 34 5 6 7 8

.039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .0000

P 0.273?

由图表可见 , 当 k ? 2或3 时, 分布取得最大值
P8(2) ? P8(3) ? 0.273 此时的 k 称为最可能成功次数

????????? 012345678

x

10

0.25 0.2
0.15 0.1
0.05

2

4

6

8

11

设 X ~ B(20,0.2)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ~ 20 .01 .06 .14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 < .001

P

由图表可见 , 当 k ? 4 时,

0.22 ?

分布取得最大值

P20(4) ? 0.22

? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

20

12

0.2 0.15
0.1 0.05

5

10

15

20

13

二项分布中最可能出现次数的定义与推导
若P(X ? k) ? P(X ? j), j ? X 可取的一切值
则称 k 为最可能出现的次数
记 pk ? P(X ? k) ? Cnk pk (1? p)n?k , k ? 0,1,?, n
pk?1 ? (1? p)k ? 1 pk p(n ? k ?1)
pk ? (1? p)(k ?1) ? 1 pk?1 p(n ? k)
(n ?1) p ?1 ? k ? (n ?1) p
14

当( n + 1) p = 整数时,在 k = ( n + 1) p与 ( n + 1) p – 1 处的概率取得最大值
当( n + 1) p ? 整数时, 在 k = [( n + 1) p ]
处的概率取得最大值
对固定的 n、p, P ( X = k) 的取值呈不 对称分布 固定 p, 随着 n 的增大,其取值的分布 趋于对称
15

例4 独立射击5000次, 每次命中率为0.001, 求 (1) 最可能命中次数及相应的概率; (2) 命中次数不少于1 次的概率.
解 (1) k = [( n + 1)p ] = [( 5000+ 1)0.001] =5
P5000(5) ? C55000(0.001)5 (0.999)4995
? 0.1756
16

(2) 令X 表示命中次数,则 X ~ B(5000,0.001)

P(X ?1) ?1? P(X ?1) ?1? P(X ? 0)

?

1

?

C

0 5000

(0.001)0

(0.999)5000

? 0.9934.

※ 小概率事件虽不易发生,但重 复次数多了,就成大概率事件.

17

例5 按规定,某种型号电子元件的使用寿命超过 1500 小时的为一级品.已知某一大批产品的一级 品率为0.2, 现在从中随机地抽查20只.问20只元件 中恰有 k 只(k ? 0,1,?,20) 一级品的概率是多少?
分析 这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很 大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很 小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.
把检查一只元件看它是否为一级品看成是一次 试验,检查20只元件相当于做20 重伯努利试验.
18

解 以 X 记 20 只元件中一级品的只数,
则 X ~ B(20, 0.2), 因此所求概率为 P{X ? k} ? ???? 2k0????(0.2)k (0.8)20?k , k ? 0,1,?,20.
P{ X ? 0} ? 0.012 P{ X ? 4} ? 0.218 P{ X ? 8} ? 0.022 P{ X ? 1} ? 0.058 P{ X ? 5} ? 0.175 P{ X ? 9} ? 0.007 P{ X ? 2} ? 0.137 P{ X ? 6} ? 0.109 P{ X ? 10} ? 0.002 P{ X ? 3} ? 0.205 P{ X ? 7} ? 0.055
P{ X ? k} ? 0.001, 当 k ? 11时
19

图示概率分布
20

(3) Poisson 分布
设随机变量所有可能取的值为0, 1, 2,?,而取各个 值的概率为
P{ X ? k} ? ?ke?? , k ? 0,1,2,?,
k!
其中? ? 0是常数.则称X 服从参数为?的泊松分 布,记为 X ~ P(?).
21

例6 设某国每对夫妇的子女数X服从参数为?的泊松分 布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e-2.求 任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率。 解:由题意,
22

在某个时段内:

① 大卖场的顾客数;

应 用

② 市级医院急诊病人数; ③ 某地区拨错号的电话呼唤次数; ④ 某地区发生的交通事故的次数.

场 ⑤ 放射性物质发出的 ? 粒子数;

合 ⑥ 一匹布上的疵点个数;

⑦ 一个容器中的细菌数;

⑧ 一本书一页中的印刷错误数;

????

23

都可以看作是源源不断出现的随机 质点流 , 若它们满足一定的条件, 则称为 Poisson 流, 在 长为 t 的时间内出现的质
点数可X见t ~泊P松( ?分t )布的应用是相当广泛的,
而且由下面定理可以看到二项分布与泊松
分布有着密切的联系。

泊松定理 在二项分布 B(n, pn ) 中,如果

lim npn ? ? (? ? 0 是常数),则成立

lim
n??

Cnk

pnk

(1

?

pn )n?k

?

?k e??
k!

(k ? 0,1,?).

24

例7 某种药品的过敏反应率为0.0001,
今有20000人使用此药品,求20000人中发生过 敏反应的人数不超过3的概率。
解 以 X 表示20000人中发生过敏反应的人
数,则 X 服从二项分布 B(20000,0.0001),所
求的概率为:
P( X ? 3) ? P( X ? 0) ? P( X ? 1) ? P( X ? 2) ? P( X ? 3) ? P(20000,0.0001,0) ? P(20000,0.0001,1) ? P(20000,0.0001,2) ? P(20000,0.0001,3) ? 0.1352 ? 0.27067 ? 0.27068 ? 0.18064 ? 0.85713
25

如果利用近似公式

Cnk p k (1 ?

p)n?k

?

?k e??
k!

(? ? np)

计算,可以得到:? ? 20000?0.0001? 2,且

P(X ? 3) ? P(X ? 0) ? P(X ?1) ? P(X ? 2) ? P(X ? 3)

? 20 e?2 ? 21 e?2 ? 22 e?2 ? 23 e?2

0!

1!

2!

3!

? 19 e?2 ? 19 ? 0.13534 ? 0.85712

3

3

比较两个结果可以看到,近似程度是很高的。

26

例8 设一只昆虫所生虫卵数为随机变
量 X , 已知X ~ P(?),且每个虫卵发育
成幼虫的概率为 p.
设各个虫卵是否能发育成幼虫是 相互独立的.
求一昆虫所生的虫卵发育成幼虫 数 Y 的概率分布.
27

解:昆虫

X 个虫卵 Y 个幼虫

已知 P( X ? k) ? e?? ?k , k ? 0,1,2,?
k!

P(Y ? m X ? k) ? Ckm pm(1? p)k?m, m ? 0,1,2,?,k

?
(Y ? m) ? ?( X ? k), m ? 0,1,2,?
k ?m
(X ? k) ? (X ? l) ? ?, k ? l

由全概率公式
28

?
P(Y ? m) ? ? P(X ? k)P(Y ? m X ? k)

? ?

k?m
?
e??
k?m

?kk!Ckm

pm (1?

p)k?m

? ? e?? (?p)m ? ?k?m (1? p)k?m
m! k?m(k ? m)!

? 令k ?m?s
? e??

(?p)m

?

?s (1 ? p)s

m! s?0 s!

? e?? (?p)m e?(1?p)? e??p (?p)m , m ? 0,1,2,?



m!
Y ~ P(?p)

m!

29