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高二数学《等差数列》PPT课件


等差数列

复习
次序 1 .数列: 按一定的次序排成的一列数叫 做数列。 2. 2.写出下列数列的通项公式:
(1) 2,4,6,8… ) (2)1,4,9,16,25,36 … )

an = 2n

1 1 1 1 ? (3)? ,, , L ) 2 4 8 16

an = n

2
n

(?1) an = n 2

观察与思考 :下面的几个数列相邻两项有什么共同点: (1) (2) (3)
2

5,5,5,5,5,5,… , , , , , , 4,5,6,7,8,9,10. , , , , , , 2,0,-2,-4,-6,… , , , , ,
1 3 2 4 3 n

公差 d=0 公差 d=1 公差 d= -2
n?1 n+1 n

a ?a = a ?a = a ?a =...= a ?a = a ?a =d
定义:如果一个数列从第 2项 定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前 项起 第 项起, 项 等差数列。 一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列 一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列。 一个常数 同一个常数 这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 通常用字母d 这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 常数叫做等差数列 表示。 表示。

判断下列数列是否是等差数列? 如果是等差 数列,说出公差是多少?
(不是) 不是) (1)1,2,4,6,8 (2)2,4,6,8 (3)1,-1,1,-1 (4)0, 0, 0, 0,… … (5)1,1/2,1/3,1/4 (6)-5,-4,-3 (7) 1, ( 是 ) (不是) 不是) ( 是 )d 不是) (不是) ( 是 )

练习1

d =2
=0

d =1

2,

3,

4,...

(不是) 不是) 不是) (不是)

(8) 1, 2,4,7,11

练习2
填上适当的数, 填上适当的数,组成等差数列
-1 (1) 1,0 , —— ) , (2)____,2,4 ) 0 , , 7 (3)_____,3 ,5 ,____ ) 1 1 (4) –1 ,_____, 3

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问题2:如果在 与 中间插入一个数 中间插入一个数A, 问题 :如果在a与b中间插入一个数 , 使a ,A,b 成等差数列数列,那么 应满 , 成等差数列数列,那么A应满
a+b (或a + b = 2 A) a,A,b成等差数列 ? A = 2 ? A是a与b的等差中项 的等差中项. 是 与 的等差中项 由三个数a, , 组成的等差数列可 由三个数 ,A,b组成的等差数列可 以看成最简单的等差数列,这时, 叫做 以看成最简单的等差数列,这时,A叫做 a与b的等差中项 与 的等差中项.

足什么条件? 足什么条件?

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数列: , , , , , , 数列:1,3,5,7,9,11,13… 5是3和7的等差中项,1和9的等差中项; 是 和 的等差中项 的等差中项, 和 的等差中项 的等差中项; 9是7和11的等差中项,5和13的等差中项 的等差中项, 和 的等差中项 的等差中项. 是 和 的等差中项 不难发现,在一个等差数列中, 不难发现,在一个等差数列中,从第 2项起,每一项(有穷数列的末项除外) 项起, 项起 每一项(有穷数列的末项除外) 都是它的前一项与后一项的等差中项. 都是它的前一项与后一项的等差中项 思考心得(结论): 思考心得(结论):……

通项公式的推导

已知等差数列{ 已知等差数列 an } 的首项是 a1 ,公差是 d . 公差是 a 并试着推导出 写出 a2 、 3 ,并试着推导出 an .
解: 因为

{an } 是等差数列,它的公差为d.所以有
= ( a1 + d ) + d

a2 = a1 + d

a3 = a2 + d

= a1 + 2d
两边都等于a1 ,

a4 = a3 + d = (a1 + 2d ) + d = 当 + 3d1时,等式 a1 n =
a5 = a4 + d = (a1 + 3d ) + d = a1 + 4d
由此可知 an = a1 + (n ? 1)d

L L

L L 公式成立。

∴n ∈ N

等差数列的通项公式

an = a1 + (n ?1)d

例题1
的第20项 (1)求等差数列 ,5,2,…的第 项。 )求等差数列8, , , 的第
Q 解: a 1 = 8 , d = 5 ? 8 = ? 3 , n = 20 ,

∴ a 20 = 8 + ( 20 ? 1 ) × ( ? 3 ) = ? 49

an = a1 + (n ? 1)d

例题1
是不是等差数列 , , , (2) –401是不是等差数列 -5,-9,-13,… ) 是不是 的项?如果是,是第几项? 的项?如果是,是第几项?
解: a1 Q
因此, 因此,

= ?5, d = ?9 ? (?5) = ?4, an = ?401 ,

? 401 = ?5 + (n ? 1) × (?4)
n = 100
an = a1 + (n ? 1)d

解得

项是-401. 答:这个数列的第100项是 这个数列的第 项是

例后思考: 例后思考: 例后思考
等差数列的通项公式 +(nan = a1+(n-1)d 中 , an , a1 , n ,d 这四个变 量 , 知道其中三个量 就可以求余下的一个 量.

例题2
在等差数列

{a }
n

a 中, 5 = 10, a12 = 31 ,

求 首项 a1 与公差
解:

d

.

{

a5 = a1 + 4d = 10 a12 = a1 + 11d = 31

解得

{d = 3

a1 = ?2

练习3
1. 求等差数列 ,9,16,…的第 项; 求等差数列2, , , 的第 的第10项

a10 = 2 + (10 ?1) × 7 = 65
2. 求等差数列0,-7/2,-7…的第 项; 的第n项 求等差数列 , , 的第

7 7 ? 7? an = 0 + ( n ?1) ×? ? ? = ? n + 2 2 ? 2?

3、在等差数列 {an } 中,已知 a4 、

练习4

= 0,

a7 = ?6 , 求: 1)a1 = 6 ( )
(2)an )

=

?2n + 8

d = -2 ,




是不是这个数列中的项? (3)10是不是这个数列中的项? ) 是不是这个数列中的项 如果是,是第几项? 如果是,是第几项?如果不是说明 理由。 理由。

练习5
4、等差数列1,-1,-3,-5 ,…,-89,它的 、等差数列 它的 项数是 46

5、在等差数列 {an } 中, 在等差数列 则 a1

= -8

a2 = ?5, a6 = a4 + 6,

练习6
a 6、等差数列{an }中, 4 、


= 3a1 , ak = 9a1

k = 13

小结: 小结:
1、等差数列的概念: 、

an ? an?1 = d(n ≥ 2, n ∈ N )


?

an + 1 ? an = d n ∈ N ) (

?

2、等差数列的通项公式: 、等差数列的通项公式:

an = a1 + (n ?1)d
an , a1 , n ,d 这四个变量 , 知道其中三 个量就可以求余下的一个 量.

课后思考: 课后思考: 课后思考
1. 如果一个数列是等差数列,那么该数

列的通项公式能否写成 (p,q是常数)的形式?

an = pn + q

2 .如果一个数列的通项公式能写成 an = pn + q(p,q 是常数)的形式, 那么这个数列是不是等差 数列呢?

等差数列的作业

祝同学们 快乐 自信 成功


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