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2015年高考数学(课标通用)二轮复习专题训练:集合与函数(6)

集合与函数(6)

4、设奇函数 f(x)在(0,+∞)上为单调递减函数,且 f(2)=0,则不等式 的解集为( )

A. (﹣∞,﹣2]∪(0, B. [﹣2,0]∪[2,+∞) C. (﹣∞,﹣2]∪[2, D. [﹣2,0)∪(0,2] 2] +∞﹚

7、函数 A. (0,+∞)

单调递增区间是(

) C. D. (1,+∞)

B. (﹣∞,1)

10、定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(2﹣x)=f(x),且在[﹣3,﹣2]上是减函数,α,β是钝角三角形 的两个锐角,则下列结论正确的是( )

A. f (sinα) >f (cosβ) B. f (cosα) <f (cosβ) C. f (cosα) >f (cosβ) D. f (sinα) <f (cosβ)

13、已知函数

是奇函数,则

=(



A.

B.

C. 2

D. ﹣2

15、如图,函数 y=f(x)的图象为折线 ABC,设 g (x)=f[f(x)],则函数 y=g(x)的图象为(



A.

B.

C.

D.

24、已知函数

.若

,且

,则

的取值范围是(



A.

B.

C.

D.

25、设集合

,集合

.若

中恰含有一个整数,则实

数 的取值范围是(

)A.

B.

C.

D.

26、已知函数

(a∈R).(1)试判断 f(x)的单调性,并证明你的结论;(2)若
2

f(x)为定义域上的奇函数,①求函数 f(x)的值域;②求满足 f(ax)<f(2a﹣x )的 x 的取值范围.

27、已知函数

,函数



(Ⅰ)判断函数

的奇偶性;

(Ⅱ)若当

时,

恒成立,求实数 的最大值。

29、 已知二次函数

,若对任意

,恒有

成立,

不等式 子集,求

的解集为 的取值范围。



(Ⅰ)求集合

;(Ⅱ)设集合

,若集合

是集合



31、已知定理:“若 a,b 为常数,g(x)满足 g(a+x)+g(a﹣x)=2b,则函数 y=g(x)的图象关于点(a,

b)中心对称”.设函数 成中心对称;

,定义域为 A.(1)试证明 y=f(x)的图象关于点(a,﹣1)

(2)当 x∈[a﹣2,a﹣1]时,求证:

;(3)对于给定的 x1∈A,设计构造过程:

x2=f(x1),x3=f(x2),?,xn+1=f(xn).如果 xi∈A(i=2,3,4?),构造过程将继续下去;如果 xi?A, 构造过程将停止.若对任意 x1∈A,构造过程都可以无限进行下去,求 a 的值. 34、函数 f(x)的定义域为 D,若对于任意 x1,x2∈D,当 x1<x2 时,都有 f(x1)≤f(x2),则称函数 f(x) 在 D 上为非减函数.设函数 f(x)为定义在[0,1]上的非减函数,且满足以下三个条件:

①f(0)=0;②f(1﹣x)+f(x)=1x∈[0,1]; ③当 = .

时,

恒成立.则

35、已知函数 f(x)=

在区间(﹣2,+∞)上为增函数,则实数 a 的取值范围是



38、已知集合 A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9},B= B= .

,则集合 A∩

39、|x+2|+|x﹣3|的取值范围是

.40、函数

的单调递减区间是

4、解:∵函数 f(x)在(0,+∞)上为单调递减函数,且 f(2)=0∴函数 f(x)在(0,2)的函数值为正,

在(2,+∞)上的函数值为负当 x>0 时,不等式

等价于 3f(﹣x)﹣2f(x)

≤0 又奇函数 f(x),所以有 f(x)≥0 所以有 0<x≤2 同理当 x<0 时,可解得﹣2≤x<0 综上,不等式

的解集为[﹣2,0)∪(0,2]故选 D

7、解:令

故答案为 C.

10、解:∵α,β是钝角三角形的两个锐角可得 0°<α+β<90°即 0°<α<90°﹣β ∴0<sinα<sin(90°﹣β)=cosβ<1∵f(x)满足 f(2﹣x)=f(x),∴函数关于 x=1 对称∵函数为偶 函数即 f(﹣x)=f(x)∴f(2﹣x)=f(x),即函数的周期为 2∴函数在在[﹣3,﹣2]上是减函数,则根据 偶函数的性质可得在[2,3]单调递增,根据周期性可知在 0,1]单调递增∴f(sinα)<f(cosβ)故选 D

13、解:∵函数

是奇函数,∴f(0)=0,即,

=0,解得,a=2∴



=f(1)=

=

故选 A

15、解:如图:函数 y=f(x)的图象为折线 ABC,函数 f(x)为偶函数,我们可以研究 x≥0 的情况即可,

若 x≥0,可得 B(0,1),C(1,﹣1),这直线 BC 的方程为:lBC:y=﹣2x+1,x∈[0,1],其中﹣1≤f(x) ≤1;

若 x<0,可得 lAB:y=2x+1,∴f(x)=

,我们讨论 x≥0 的情况:如果 0≤x

≤ ,解得 0≤f(x)≤1,此时 g(x)=f[f(x)]=﹣2(﹣2x+1)=4x﹣2;若 <x≤1,解得﹣1≤f(x)<

0,此时 g(x)=f[f(x)]=2(﹣2x+1)﹣4x+2;∴x∈[0,1]时,g(x)=

;故

选 A;24、C 25、B 26、解:(1)函数 f(x)为定义域(﹣∞,+∞),且 x2∈(﹣∞,+∞),且 x1<x2 则

,任取 x1,

∵y=2 在 R 上单调递 增,且 x1<x2

x









,∴f(x2)﹣f(x1)>0,即 f(x2)

>f(x1),∴f(x)在(﹣∞,+∞)上的单调增函数.?(5 分)(2)∵f(x)是定义域上的奇函数,∴f

(﹣x)=﹣f(x),即

对任意实数 x 恒成立,化简得

,∴2a﹣2=0,即 a=1,?(8 分)(注:直接由 f(0)=0 得 a=1 而不检验扣

2 分) ①由 a=1 得

, ∵2 +1>1, ∴

x

, ? (10 分) ∴





故函数 f(x)的值域为(﹣1,1).?(12 分)

②由 a=1,得 f(x)<f(2﹣x ),∵f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增,∴x<2﹣x ,?(14 分)解得﹣ 2<x<1, 故 x 的取值范围为(﹣2,1).?(16 分)

2

2

27、

法 2: 由

得,

,(





时,



,(

)式化为

,(

)设



,则(

) 式化为

, 再



,则

恒成立等价于





,解得

,故实数 的最大值为 12

29、答案】(Ⅰ)对任意 成立,所以

,有

要使上式恒



是二次函数知





所以不等式

的解集为

(Ⅱ)解得



解得

31、 (1) ∵

, ∴



由已知定理,得 y=f(x)的图象关于点(a,﹣1)成中心对称.(3 分) (2)先证明 f(x)在[a﹣2,a﹣1]上是增函数,只要证明 f(x)在(﹣∞,a)上是增函数.

设﹣∞<x1<x2<a, 则



∴f(x)在(﹣∞,a)上是增函数.再由 f(x)在[a﹣2,a﹣1]上是增函数,得

当 x∈[a﹣2,a﹣1]时,f(x)∈[f(a﹣2),f(a﹣1)],即

.(7 分)

(3)∵构造过程可以无限进行下去, ∴

对任意 x∈A 恒成立. ∴方程



解,即方程(a+1)x=a +a﹣1 无解或有唯一解 x=a.∴ (13 分)

2



由此得到 a=﹣1

34、 解: ∵函数 f (x) 满足: f (1﹣x) +f (x) =1, x∈[0, 1], 则f ( ) = , 且当 恒成立,

时,

则 f( )≥ ,又∵函数 f(x)为定义在[0,1]上的非减函数,∴当 x∈[ , ]时,f(x)= ,恒成立, 故 f( )= ,f( )= ,则 f( )= ,则 =1 故答案为 1.

35、解:函数 f(x)= 增函数,

=a+

,由复合函数的增减性可知,若 g(x)=

在 (﹣2,+∞)为

∴1﹣2a<0,a> ,故答案为 a> . 38、解:集合 A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9},所以 A={x|﹣4≤x≤5};集合

, 所以 B={x|x≥﹣2}所以 A∩B={x|﹣5﹣4≤x≤5}∩{x|x ≥﹣2}={x|﹣2≤x≤5}故答案为:{x|﹣2≤x≤5}

39、解:令 f(x)=|x+2|+|x﹣3|=

∵x≥3,2x﹣1≥5;x≤﹣2 时,﹣2x+1≥5 根据分

段函数的性质 可知, f (x) 的取值范围 f (x) ≥5 故答案为: [5, +∞) 40、