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2018高中数学人教A版必修四第一章章末优化总结 练习题含答案

单元练习 章末优化总结 , ) 三角函数的值域与最值 求三角函数的值域与最值的三种途径 (1)利用函数 y=Asin(ωx+φ)+b 的值域求解. (2)将所求三角函数式变形为关于 sin x(或 cos x)的二次函数的形式,利用换元的思想进 行转化,然后再结合二次函数的性质求解. (3)利用正弦函数、余弦函数的有界性求解,同时,一般函数求值域的方法(分离常数法、 判别式法、图像法等)在三角函数中也适用. sin x-2 求 y= 的值域. cos x-2 [解] 将已知函数式看成单位圆上的点 A(cos x,sin x)与点 B(2,2) 连线的斜率,如图所示,观察得到 kAB≤y≤kCB. 设过点 B 的圆的切线方程为 y-2=k(x-2). 即 kx-y-2k+2=0. 单元练习 于是 |2-2k| 4± 7 =1,解得 k= . 3 k2+1 故函数的值域为? 已知|x|≤ ?4- 7 4+ 7? ?. ? 3 , 3 ? π ,求函数 f(x)=cos2x+sin x 的最小值. 4 [解] y=f(x)=cos2x+sin x=-sin2x+sin x+1. π 令 t=sin x,因为|x|≤ , 4 2 2 所以- ≤sin x≤ . 2 2 1 2 5 2 2 t- ? + ?- ≤t≤ ?, 则 y=-t2+t+1=-? ? 2? 4? 2 2? 当 t=- π 2 2 1 2 5 1- 2 ,即 x=- 时,f(x)有最小值,且最小值为-?- - ? + = . 2 4 2 ? 2 2? 4 三角函数的性质 1.三角函数的周期在不加说明的情况下,就是指最小正周期.求三角函数的周期一般 要先通过三角恒等变形将三角函数化为 y = Asin(ωx + φ) + k , y = Acos(ωx + φ) + k 及 y = Atan(ωx+φ)+k 的形式,然后用公式求解,另外还可以利用图像求出三角函数的周期. 2.研究函数 y=Asin(ωx+φ)的奇偶性时,应先考虑其定义域,若其定义域关于原点对 π kπ 称, 则当 φ=kπ (k∈Z)时, 函数为奇函数; 当 φ=kπ + (k∈Z)时, 函数为偶函数; 当 φ≠ 2 2 (k∈Z)时,函数为非奇非偶函数. 3. 求函数 y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx+φ)(其中 A≠0, ω >0)的单调区间时(若 ω<0, 可先利用诱导公式将 x 前的系数 ω 变成正值),应把 ωx+φ 视为一个整体,由 A 的符号来确 定单调性. π 函数 f(x)=3sin?2x- ?的图像为 C. 3? ? 11π (1)图像 C 关于直线 x= 对称; 12 π 5π (2)函数 f(x)在区间?- , ?内是增加的; ? 12 12 ? π (3)由 y=3sin 2x 的图像向右平移 个单位长度可以得到图像 C. 3 以上三个论断中,正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 [解析] (1)f? 3π ?11π? ?11π π? ?=3sin? - ?=3sin 2 =-3, ? 12 ? ? 6 3? 11π 所以直线 x= 为图像 C 的对称轴,故(1)正确; 12 π 5π (2)由- <x< , 12 12 单元练习 π π π 得- <2x- < , 2 3 2 ? π 5π? 所以函数 f(x)在?- , ?内是增加的,故(2)正确; ? 12 12 ? ? π? (3)f(x)=3sin 2?x- ?, ? 6? π ? π? 而由 y=3sin 2x 的图像向右平移 个单位长度得到函数 y=3sin 2?x- ?的图像,得不到 3 ? 3? 图像 C,故(3)错误. [答案] C 三角函数的图像及图像变换 三角函数的图像是研究三角函数性质的基础, 又是三角函数性质的具体体现. 在平时的 考查中,主要体现在三角函数图像的变换和解析式的确定,以及通过对图像的描绘、观察来 讨论函数的有关性质.具体要求如下: (1)用五点法作 y=Asin(ωx+φ)的图像时,确定五个关键点的方法是分别令 ωx+φ=0, π 3π ,π , ,2π . 2 2 (2)对于 y=Asin(ωx+φ)+b 应明确 A,ω ,φ 与单调性的关系,针对 x 的变换,即变换 多少个单位长度,向左或向右很容易出错,应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后 “平移”的区别. (3)由已知函数图像求函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω >0)的解析式时,常用的解题方法 是待定系数法,由图中的最大值或最小值确定 A,由周期确定 ω,由适合解析式的点的坐标 来确定 φ,但由图像求得的 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω >0)的解析式一般不是唯一的,只有限 定 φ 的取值范围,才能得出唯一的解,否则 φ 的值不确定,解析式也就不唯一. π 已知函数 y=f(x)=Asin(ωx+φ)?A>0,ω >0,0<φ< ?的图像上的一个最低点 2? ? 2 π 为 M? ,-2?,周期为π . ? 3 ? (1)求 f(x)的解析式; (2)将 y=f(x)的图像上的所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变), 然后再将所得 π 的图像沿 x 轴向右平移 个单位长度, 得到函数 y=g(x)的图像, 写出函数 y=g(x)的解析式; 6 π (3)当 x∈?0, ?时,求函数 f(x)的最大值和最小值. ? 12? 2π [解] (1)因为 T= =π, ω 所以 ω=2. 又因为 f(x)min=-2,所以 A=2. 因为 f(x)的最低点为 M? 所以 sin? ?2π ? ,-2?, ?3 ? ?4π ? ?=-1. ? 3 +φ? π 因为 0<φ< , 2 单元练习 4π 4π 11π 所以 < +φ< , 3 3 6 4π 3π 所以 +φ= , 3 2 π 所以 φ= , 6

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