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最新人教版高中数学选修2-1第二章《双曲线及其标准方程》教材梳理


疱丁巧解牛 知识· 巧学 双曲线 1 .第一定义:平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的 轨迹叫做双曲线(hyperbola). 两定点 F1、F2 是焦点,两焦点间的距离|F1F2|是焦距,用 2c 表示.常数用 2a 表示. 双曲线第二定义:平面内到一定点 F 与定直线 l,(F 不在 l 上)的距离之比为 e,当 e>1 时动点轨迹叫双曲线. ①若|MF1|-|MF2|=2a 时,曲线只表示焦点 F2 所对应的一支双曲线; ②若|MF1|-|MF2|=-2a 时,曲线只表示焦点 F1 所对应的一支双曲线; ③若 2a=2c 时,动点的轨迹不再是双曲线,而是以 F1、F2 为端点向外的两条射线; ④若 2a>2c 时,动点的轨迹不存在. 深化升华 当题目中出现双曲线上的点到焦点的距离,常用椭圆的第二定义转化为点到准线 的距离来研究.①定义的“双向运用”,即:一方面,符合定义的条件的动点轨迹为双曲线; 另一方面,双曲线上点有定义中条件的性质.②两个定义的综合运用是解决有些双曲线问题 的捷径. 2.双曲线的方程 (1)双曲线的标准方程(a>b>0) x2 y2 ①焦点在 x 轴上: 2 ? 2 =1(a>0,b>0); a b ②焦点在 y 轴上: y2 x2 ? =1(a>0,b>0). a2 b2 由给定条件求出双曲线的方程,常用待定系数法,其步骤是:定型,定量 .涉及几个独 立的参变量,那么需要列出与参数变量个数相同的独立等式转化为解方程组来解决.当焦点 位置不确定时,方程可以有两种形式,应防止遗漏. (2)中心在(x0,y0)的双曲线方程 ①焦点在直线 y=y0 上: ( x ? x0 ) 2 ( y ? y 0 ) 2 ? =1; a2 b2 ②焦点在直线 x=x0 上: ( y ? y 0 ) 2 ( x ? x0 ) 2 ? =1. a2 b2 (3)双曲线的参数方程 x= ? ? x ? a sec? , (α 为参数). ? y ? b tan? 方法点拨 判定焦点在哪条坐标轴上,不像椭圆似的比较 x2、y2 的分母的大小,而是 x2、y2 的系数的符号,焦点在系数为正的那条轴上.注意区分和椭圆相似相近的地方,两种曲线有 许多共同点,但是也有许多不同点要注意比较两种曲线的定义. 问题· 探究 问题 1 学习双曲线的许多问题都要化做标准方程,在学习标准方程时要注意些什么? 探究:(1)把双曲线的标准位置(位置特征)与标准方程(方程特征)统一起来 .如果双曲 线的中心在原点,焦点在坐标轴上,那么这个位置是标准位置.若使方程的右边为 1,则左边 两项中含 x2 的项为正且分母为 a2,含 y2 的项为负且分母为 b2,所以方程为 x2 y2 ? =1. a2 b2 (2)“定量”和“定位”.要求出双曲线的标准方程,就要求出 a2,b2 两个“待定系数”,于是需 要两个独立的条件,按条件列出关于 a2,b2 的方程组,解得 a2,b2 的具体数值后,再按位 置特征写出标准方程.因此“定量”是指 a,b,c 等数值的确定;“定位”则是指除了中心在原点以 外,判断焦点在哪条坐标轴上,以便在使方程的右边为 1 时,确定方程的左边哪一项为正, 哪一项为负,同时也就确定了 a2,b2 在方程中的位置. 问题 2 有些天体运动的轨迹是圆,有些天体运动的轨迹是椭圆,天体运动的轨迹有没有可 能是双曲线?运动的轨迹是有什么决定的? 探究:物理学中,每一个公式都有其各自的物理涵义.这就是数学

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